金利の世界へようこそ！
金利はよく金融の世界の「心臓部」と呼ばれます。債券の評価を行う場合でも、スワップのプライシングを行う場合でも、バランスシートのリスクを管理する場合でも、金利の仕組みを理解することは欠かせません。この章では、お金が時間とともにどのように増えていくのかを支配する特性、イールドカーブの構築方法、そして金利の変動に対して債券価格がどのように反応するのかを探っていきましょう。
1. 金利のさまざまな種類
信用力、担保、流動性に応じて、金融システム全体で異なる金利が存在します。
国債利回り（Treasury Rates）
これは、政府が財務省短期証券（T-bills）、中期国債（T-notes）、長期国債（T-bonds）などの債務証券に対して支払う利回りです。政府には自国通貨を徴税・増刷する権限があるため、国債利回りには実質的にデフォルトリスクがありません。ただし、国債利回りは規制上の需要や税制上の考慮事項に影響を受けるため、他のリスクフリー・ベンチマークよりもわずかに低くなることがあります。
SOFRとリスクフリー・レートのベンチマーク
歴史的に、ロンドン銀行間取引金利（LIBOR）は変動利付ローンやデリバティブの主要なベンチマークとして機能してきました。しかし、LIBORは無担保の銀行間借入を反映していたため、銀行の信用リスクが含まれており、取引量の減少にも悩まされていました。現代の金融市場は、主要な参照金利およびリスクフリー・ベンチマークとしてSOFR（担保付翌日物調達金利）へと移行しました。SOFRは米国債によって完全に担保された翌日物金利であり、実質的に信用リスクが存在しません。
レポ金利（Repo Rates）
レポ取引（現先取引/Repurchase Agreement）では、金融機関がカウンターパーティに高格付けの証券（国債など）を売却し、将来の特定日にわずかに高い価格で買い戻すことに合意します。売却価格と買戻し価格の年率換算された差額がレポ金利です。この取引は原資産となる担保によって保全されているため、レポ金利はリスクフリー・レートに非常に近い水準で取引されます。
2. 複利の頻度と変換
複利の頻度は、得られた利息がどれくらいの頻度で将来の利息を生み出すかを決定します。年 \( m \) 回複利計算される年名目金利 \( R \) の場合、 \( n \) 年後の \( \$1 \) の将来価値（終価）は次のようになります。
\( \text{Terminal Value} = \left(1 + \frac{R}{m}\right)^{m \times n} \)
\( m \to \infty \) となると、複利は連続複利となり、次のようになります。
\( \text{Terminal Value} = e^{R_c n} \)
変換の公式
年 \( m \) 回複利の金利 \( R_m \) を、それと等価な連続複利の金利 \( R_c \) に変換する式は以下の通りです。
\( R_c = m \ln\left(1 + \frac{R_m}{m}\right) \)
連続複利 \( R_c \) から年 \( m \) 回複利 \( R_m \) に逆変換する式は以下の通りです。
\( R_m = m \left(e^{R_c / m} - 1\right) \)
3. 債券評価：スポットレート vs. 最終利回り（YTM）
ゼロレート（または \( r_n \) と表記される \( n \) 年スポットレート）とは、中間のクーポン支払いがなく、満期 \( n \) に単一の現金支払いが行われる投資から得られる利回りのことです。
スポットレートを用いた債券の評価
各クーポンはそれぞれ異なる時点で発生するため、各キャッシュフローはそれぞれの満期に対応するゼロレートを用いて割り引く必要があります。連続複利の下で、各時点 \( t_i \) にキャッシュフロー \( C_i \) を支払い、満期 \( T \) に額面 \( F \) を支払う債券の価格は次のようになります。
\( P = \sum_{i=1}^N C_i e^{-r_i t_i} + F e^{-r_T T} \)
最終利回り（Yield to Maturity: YTM）
最終利回り（\( y \)）とは、すべての将来キャッシュフローの現在価値を債券の観察された市場価格 \( P \) と等しくさせる単一の割引率です。
\( P = \sum_{i=1}^N C_i e^{-y t_i} + F e^{-y T} \)
YTMは便利な要約指標を提供しますが、イールドカーブがフラットであり、すべての中間クーポンが \( y \) で再投資できるという前提を置いています。対照的に、スポットレートは真の市場割引率を反映しています。
4. ゼロレートのブートストラップ法
ほとんどの長期債は定期的にクーポンを支払うため、長い満期のゼロレートを直接観察できることは稀です。ブートストラップ法（bootstrapping method）は、短期金融市場の金利や利付債を用いて、反復計算によってゼロカーブを決定します。
ブートストラップの手順
ステップ 1： クーポンを支払わない短期金融商品（財務省短期証券など）からゼロレートを直接取得します。
ステップ 2： 最も満期の短い利付債（例：半年ごとにクーポンを支払う1年物債券）に進みます。ステップ1で判明した短い期間の既知のゼロレートを使用して、その早期のクーポンを割り引きます。
ステップ 3： 最終満期日に対応する未知のゼロレートを算出します。
ステップ 4： より満期の長い債券に対してこの手順を順次繰り返し、これまでに算出したすべてのゼロレートを用いてそれ以前のキャッシュフローを割り引いていきます。
5. フォワードレート（先渡金利）
フォワードレートとは、将来の特定の期間における借入や貸出について、現在のスポットレートから暗黙的に示される金利のことです。
連続複利での定式化
\( T_1 \) を満期とするゼロレートを \( R_1 \)、 \( T_2 \) を満期とするゼロレートを \( R_2 \) （ただし \( T_2 > T_1 \) ）とします。 \( T_1 \) から \( T_2 \) までの期間について暗黙的に示されるフォワードレート \( R_F \) は次のようになります。
\( R_F = \frac{R_2 T_2 - R_1 T_1}{T_2 - T_1} \)
ゼロカーブが右肩上がり（ \( R_2 > R_1 \) ）であれば、フォワードレートはスポットレートを上回ります（ \( R_F > R_2 \) ）。ゼロカーブが逆イールド（ \( R_2 < R_1 \) ）であれば、フォワードレートはスポットレートを下回ります。
6. 金利先渡契約（FRA）
金利先渡契約（FRA）は、 \( T_1 \) から \( T_2 \) までの将来の期間にわたって、想定元本 \( L \) に対して支払うまたは受け取る金利を固定するために設計された店頭（OTC）デリバティブ契約です。
FRAのキャッシュフローの仕組み
\( R_K \) を合意された固定フォワードレート、 \( R_M \) を時点 \( T_1 \) で観察される参照市場金利（その期間にわたって複利計算されたSOFRなど）とします。満期間隔は \( \tau = T_2 - T_1 \) です。
借り手側（固定金利 \( R_K \) を支払い、変動金利 \( R_M \) を受け取る側）に対して満期 \( T_2 \) 時点で計算されるキャッシュ・ペイオフは次のようになります。
\( \text{Payoff at } T_2 = L \times (R_M - R_K) \times \tau \)
標準的な市場慣行では、FRAは借入期間の開始時（時点 \( T_1 \) ）に決済されます。即時支払いを反映するため、ペイオフはその時点の一般的な変動金利 \( R_M \) で時点 \( T_1 \) まで割り引かれます。
\( \text{Cash Flow at } T_1 = \frac{L \times (R_M - R_K) \times \tau}{1 + R_M \times \tau} \)
7. デュレーションとコンベクシティ
金利が変動すると、債券価格は逆方向に動きます。リスク管理者は、この価格感応度を定量化するためにデュレーションとコンベクシティを使用します。
マコーレー・デュレーション
マコーレー・デュレーション（\( D_{\text{mac}} \)）は、債券のキャッシュフローを受け取るまでの加重平均時間を測定するもので、各キャッシュフローの現在価値によって加重されます。
\( D_{\text{mac}} = \sum_{i=1}^n t_i \left[\frac{C_i (1 + y/m)^{-m t_i}}{P}\right] \)
修正デュレーションとダラー・デュレーション
修正デュレーション（\( D_{\text{mod}} \)）は、利回りの変化に対する価格変化率を直接結びつけます。
\( D_{\text{mod}} = \frac{D_{\text{mac}}}{1 + \frac{y}{m}} \)
注：連続複利の下では、 \( D_{\text{mod}} = D_{\text{mac}} \) となります。
ダラー・デュレーション（1ベーシス・ポイントの変動に換算した場合はDV01とも呼ばれます）は、利回りの所与の変化に対する絶対的な価格の金額変化を測定します。
\( \text{Dollar Duration} = D_{\text{mod}} \times P \)
コンベクシティと価格変動の複合近似
デュレーションは1次の線形近似を提供します。オプション条項のない債券の価格と利回りの関係は凸状（カーブ）になっているため、デュレーションは利回り低下時の価格上昇を過小評価し、利回り上昇時の価格下落を過大評価します。
コンベクシティ（\( C \)）は、利回りに対する価格の2階微分を捉えます。
\( C = \frac{1}{P} \frac{d^2 P}{dy^2} \)
デュレーションとコンベクシティを組み合わせることで、債券価格の変化に関する2次のテイラー展開が得られます。
\( \frac{\Delta P}{P} \approx -D_{\text{mod}} \Delta y + \frac{1}{2} C (\Delta y)^2 \)
または、金額ベースの変動額で表すと次のようになります。
\( \Delta P \approx -D_{\text{mod}} P \Delta y + \frac{1}{2} C P (\Delta y)^2 \)
8. 金利期間構造の理論
金利の期間構造（イールドカーブ）は、ゼロレートと満期との関係を表します。その形状を説明する主な理論が3つあります。
1. 期待仮説（Expectations Theory）
長期金利は、将来予想される短期金利の幾何平均に等しいと主張します。純粋期待仮説の下では、右肩上がりのカーブは市場が将来の短期金利の上昇を予想していることを意味します。
2. 市場分断仮説（Market Segmentation Theory）
金融機関や借り手は、自らの負債に基づいて固有の満期選好を持っていると主張します（例：年金基金は長期資産を必要とし、商業銀行は短期の流動性を好みます）。各満期の金利は、その特定のセグメントにおける需要と供給によって独立して決定され、満期間での裁定取引は行われません。
3. 流動性選好仮説（Liquidity Preference Theory）
投資家は短期の流動性を好み、価格リスクの大きい長期商品に資金を拘束されることに対してプレミアムを要求することを前提とします。その結果、フォワードレートは流動性プレミアムの分だけ予想される将来のスポットレートを過大評価することになり、将来の金利予想が横ばいであってもイールドカーブが通常右肩上がりになる理由を説明します。