証券価格の確率モデルへようこそ！
金融・保険数理経済学において、証券価格は予測不可能な市場ニュースや経済的要因に反応して時間とともに変動します。確率モデル（stochastic model）は、確率論を用いて連続時間にわたるこれらの動的で不確実な動きをモデル化します。この章では、証券価格の連続時間フレームワークを構築し、標準ブラウン運動、確率微分方程式、伊藤のレンマ、幾何ブラウン運動、そして平均回帰性を持つオルンシュタイン・ウーレンベック過程について学んでいきます。
1. 標準ブラウン運動（ウィーナー過程）
連続時間の確率モデリングの中心となるのが、標準ブラウン運動です。これはウィーナー過程とも呼ばれ、\( t \ge 0 \) に対して \( W_t \)（または \( B_t \)）と表記されます。
\( W_t \) の基本的性質：
1. 初期値： 確率1で \( W_0 = 0 \)。
2. 連続なサンプルパス： パス \( t \mapsto W_t \) は確率1で至る所連続である。
3. 独立増分： 任意の時点 \( 0 \le s < t \le u < v \) に対し、増分 \( W_v - W_u \) は \( W_t - W_s \) と独立である。この過程はマルコフ性を持ち、将来の増分は現在の状態にのみ依存し、過去の履歴には依存しない。
4. 定常かつ正規分布に従う増分： 任意の \( s < t \) に対し、増分 \( W_t - W_s \sim N(0, t - s) \) である。特に、\( E[W_t] = 0 \) かつ \( \operatorname{Var}(W_t) = t \) となる。
5. 微分不可能性： パスは至る所連続であるものの、確率1で至る所微分不可能であり、任意の有限区間上で無限の全変動を示す。
2. 確率微分方程式（SDE）と伊藤積分
ブラウン運動のサンプルパスは微分不可能であるため、通常の微積分を使用することはできません。私たちは、連続時間過程 \( X_t \) のダイナミクスを微分形式で書かれた確率微分方程式（SDE）を用いてモデル化します：
\( dX_t = μ(t, X_t) dt + σ(t, X_t) dW_t \)
厳密な積分形式では、これは以下を意味します：
\( X_t = X_0 + \int_0^t μ(s, X_s) ds + \int_0^t σ(s, X_s) dW_s \)
ここで：
- \( \int_0^t μ(s, X_s) ds \) は決定論的なドリフトを表す通常のリーマン（またはルベーグ）積分です。
- \( \int_0^t σ(s, X_s) dW_s \) はランダムな拡散を表す、ブラウン運動に関する伊藤積分です。
- 伊藤積分の重要な性質として、（\( \sigma \) が標準的な可積分条件を満たす場合）それがマルチンゲールであることが挙げられます。これは、現在の情報が与えられたときの将来の変動の期待値がゼロであることを意味します。
拡散過程 vs 平均回帰過程
- 一般的な拡散過程はドリフト関数と拡散関数 \( \mu(t, X_t) \)、\( \sigma(t, X_t) \) を持ち、ドリフトによって制約のないランダムウォークや成長（株式価格の指数関数的ドリフトなど）がもたらされることがあります。
- 平均回帰過程は、プロセスが長期的な中心水準から乖離した際に常にそこへ引き戻すドリフト項を備えており、無限に成長することのない経済変数のモデル化に適しています。
3. 伊藤のレンマ
確率過程の関数を扱うための基本ツールが伊藤のレンマです。これはブラウン運動のゼロではない2次変動を考慮しており、直感的には \( (dW_t)^2 = dt \) であり、\( dt \cdot dW_t = 0 \) および \( (dt)^2 = 0 \) となります。
1次元の伊藤の公式：
\( dX_t = \mu_t dt + \sigma_t dW_t \) であり、\( f(t, x) \) が2階連続微分可能な関数である場合、\( Y_t = f(t, X_t) \) は以下を満たします：
\( dY_t = \frac{\partial f}{\partial t} dt + \frac{\partial f}{\partial x} dX_t + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} (dX_t)^2 \)
\( (dX_t)^2 = \sigma_t^2 dt \) を代入すると：
\( dY_t = \left( \frac{\partial f}{\partial t} + \mu_t \frac{\partial f}{\partial x} + \frac{1}{2} \sigma_t^2 \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} \right) dt + \sigma_t \frac{\partial f}{\partial x} dW_t \)
4. 幾何ブラウン運動（連続時間対数正規モデル）
株式および証券価格の標準的なモデルは幾何ブラウン運動（GBM）であり、次のSDEに従います：
\( dS_t = \mu S_t dt + \sigma S_t dW_t \)
ここで、\( \mu \) は一定の期待収益率（ドリフト率）、\( \sigma > 0 \) は一定のボラティリティです。
伊藤のレンマを用いたSDEの解法：
\( f(S_t) = \ln S_t \) とおきます。このとき：
\( \frac{\partial f}{\partial S} = \frac{1}{S_t} \)、\( \frac{\partial^2 f}{\partial S^2} = -\frac{1}{S_t^2} \)、および \( \frac{\partial f}{\partial t} = 0 \) です。
伊藤のレンマを適用すると：
\( d(\ln S_t) = \frac{1}{S_t} dS_t + \frac{1}{2} \left(-\frac{1}{S_t^2}\right) (dS_t)^2 \)
\( d(\ln S_t) = \frac{1}{S_t} (\mu S_t dt + \sigma S_t dW_t) - \frac{1}{2 S_t^2} (\sigma^2 S_t^2 dt) = \left(\mu - \frac{1}{2}\sigma^2\right) dt + \sigma dW_t \)
0から \( t \) まで積分します：
\( \ln S_t - \ln S_0 = \left(\mu - \frac{1}{2}\sigma^2\right) t + \sigma W_t \)
\( S_t = S_0 \exp\left( \left(\mu - \frac{1}{2}\sigma^2\right) t + \sigma W_t \right) \)
対数正規モデルの性質：
1. 厳密な正値性： 指数関数は常に正であるため、\( S_0 > 0 \) である限り、すべての \( t \) に対して \( S_t > 0 \) となります。有限責任を持つ証券がマイナスの値を取ることはありません。
2. 収益率の分布： 連続複利収益率 \( \ln(S_t / S_0) \) は、期待値 \( (\mu - \frac{1}{2}\sigma^2)t \)、分散 \( \sigma^2 t \) の正規分布に従います。したがって、証券価格は対数正規分布に従います。
3. 期待値と分散：
\( E[S_t] = S_0 e^{\mu t} \)
\( \operatorname{Var}(S_t) = S_0^2 e^{2\mu t} (e^{\sigma^2 t} - 1) \)
対数正規モデルを支持する実証的証拠と反する実証的証拠：
支持する証拠：
- 有限責任を反映し、価格が常に厳密に非負にとどまる。
- 絶対的な変化ではなくパーセント変化がモデル化されており、投資家が収益率を評価する方法を反映している。
- 数学的な扱いやすさ：ブラック・ショールズの公式など、解析解が得られる。
反する証拠：
- 裾の重い分布 / ファットテール（尖度）： 現実世界の収益率分布は正規分布よりも裾が厚く、市場の暴落や大規模な急変動はGBMの予測よりもはるかに頻繁に発生する。
- ボラティリティ・クラスタリングと非一定ボラティリティ： 現実の市場のボラティリティは時間とともに変動し、クラスター化（ボラティリティが高い期間の後に高ボラティリティが続く）するため、一定の \( \sigma \) の仮定と矛盾する。
- ボラティリティ・スマイル / スキュー： オプション市場のインプライド・ボラティリティは行使価格によって異なり、市場が単一の一定ボラティリティの下でデリバティブの価格付けを行っていないことを示している。
- 連続性 / ジャンプリスク： ブラウン運動のパスは厳密に連続であるのに対し、現実の証券価格は重大なニュース発表などに伴い不連続にジャンプする。
5. オルンシュタイン・ウーレンベック過程
オルンシュタイン・ウーレンベック（OU）過程は、平均回帰性を示す連続時間の確率過程です。そのSDEは以下で与えられます：
\( dX_t = \alpha(\mu - X_t) dt + \sigma dW_t \)
ここで：
- \( \alpha > 0 \) は平均回帰速度です。
- \( \mu \) は長期平均（回帰水準）です。
- \( \sigma > 0 \) は一定のボラティリティです。
- \( W_t \) は標準ブラウン運動です。
ドリフトの働き：
- \( X_t > \mu \) のとき、ドリフト \( \alpha(\mu - X_t) < 0 \) となり、\( \mu \) に向けて下方へ押し戻す力が働きます。
- \( X_t < \mu \) のとき、ドリフト \( \alpha(\mu - X_t) > 0 \) となり、\( X_t \) を \( \mu \) に向けて上方へ引き上げる力が働きます。
性質と明示解：
\( e^{\alpha t} X_t \) に伊藤のレンマを適用することにより、厳密解は以下のようになります：
\( X_t = \mu + (X_0 - \mu) e^{-\alpha t} + \sigma \int_0^t e^{-\alpha(t - s)} dW_s \)
ブラウン運動に関する決定論的な被積分関数の積分は正規分布に従うため、\( X_t \) はすべての時点で正規分布に従います：
- 期待値： \( E[X_t] = \mu + (X_0 - \mu) e^{-\alpha t} \)。これは \( t \to \infty \) で \( \mu \) に収束します。
- 分散： \( \operatorname{Var}(X_t) = \frac{\sigma^2}{2\alpha} (1 - e^{-2\alpha t}) \)。これは \( t \to \infty \) で定常分散 \( \frac{\sigma^2}{2\alpha} \) に収束します。
6. いつ、どのようにこれらのモデルを適用するか
アクチュアリーの実務や金融工学において、モデルの選択は資産の基礎的な経済特性に依存します：
幾何ブラウン運動（GBM）を適用すべき時：
- 普通株式および株価指数： 自然な上限やアンカーが存在せず、経済の生産性とともに長期的には指数関数的に成長することが期待される資産。
- 有限責任証券： 価値がゼロを下回ることがない資産。
- ベンチマークとなるデリバティブ評価： オプションの閉形式解による評価（ブラック・ショールズ・マートン・フレームワーク）。
オルンシュタイン・ウーレンベック過程を適用すべき時：
- 短期金利： OU過程は金利の期間構造に関するヴァシチェック・モデルの基礎を形成しており、マクロ経済政策や市場の力によって金利は均衡目標へと引き戻されます。
- コモディティ価格およびエネルギー市場： 石油、ガス、農産物の価格は長期的な限界生産コストにアンカーされており、価格が高騰すると供給が増加して価格が押し戻されます。
- 確率的ボラティリティ・モデル： ボラティリティ自体を、平均的な市場ボラティリティ水準を中心とする平均回帰過程としてモデル化する場合。
OU過程に関して心に留めておくべき限界： \( X_t \) は正規分布に従うため、ゼロではない確率で負の値を取る可能性があります。歴史的にマイナス金利が観測されたことはありますが、修正を加えない限り、マイナスの価格を取り得ない資産の直接的なモデルとしては適していません。