生存モデルへようこそ！
皆さん、こんにちは！CS2の学習において最も基礎となる章の一つへようこそ。この章では、「イベント」が発生するまでの時間をモデル化する方法を学びます。アクチュアリー数学では通常、人間の生死に焦点を当てますが、これらの原理は機械部品の故障、ローンの債務不履行、保険金のランオフなどにも同様に当てはまります。数学が少し難しそうに見えても心配しないでください。一つずつ紐解いていきましょう。
将来生存期間の確率変数
今日ちょうどx歳の人を考えます。将来の生存期間は分からないため、残りの生存期間を連続型確率変数として表し、これを \( T_x \) と表記します。
• \( T_x \) は \( x \) 歳の方の将来生存期間です。例えば、30歳の方が75歳まで生存して亡くなる場合、\( T_{30} = 45 \) となります。
• 死亡時の年齢は確率変数 \( X = x + T_x \) となります。
整合条件（Consistency Condition）
\( x \) 歳の人が年齢 \( x + t + s \) に到達するのは、まず年齢 \( x + t \) まで生存し、かつその年齢 \( x + t \) からさらに \( s \) 年間生存する場合に限られます。ここから、異なる年齢間の生存期間確率変数を結びつける基本的な整合条件（consistency condition）が導かれます：
\( P(T_x > t + s) = P(T_x > t) \cdot P(T_x > t + s \mid T_x > t) = P(T_x > t) \cdot P(T_{x+t} > s) \)
アクチュアリー記法では、これは簡潔に次のように表されます：
\( {}_{t+s}p_x = {}_tp_x \cdot {}_sp_{x+t} \)
生存関数、分布関数、および確率密度関数
アクチュアリー数学では、\( T_x \) の分布を記述するために専門の記法を用います：
1. 生存関数： \( S_x(t) \) または \( {}_tp_x \)
生存関数は、\( x \) 歳の人が少なくともあと \( t \) 年生存する確率を与えます：
\( {}_tp_x = S_x(t) = P(T_x > t) \)
• \( t = 0 \) のとき、\( {}_0p_x = 1 \)。
• \( t \to \infty \) のとき、\( {}_tp_x \to 0 \)。
• \( t = 1 \) のときは、\( {}_1p_x \) ではなく \( p_x \) と記述します。
2. 累積分布関数： \( F_x(t) \) または \( {}_tq_x \)
これは生存の補数であり、\( x \) 歳の人が \( t \) 年以内に死亡する確率です：
\( {}_tq_x = F_x(t) = P(T_x \le t) = 1 - {}_tp_x \)
\( t = 1 \) のときは、\( q_x \) と記述します。
3. 確率密度関数 (PDF)： \( f_x(t) \)
分布関数を微分することで、将来生存期間の確率密度関数（PDF）が得られます：
\( f_x(t) = \frac{d}{dt} F_x(t) = -\frac{d}{dt} {}_tp_x \)
死力（ハザード率）： \( \mu_{x+t} \)
年齢 \( x + t \) における死力（Force of Mortality）は \( \mu_{x+t} \) と表記され、その年齢まで生存した人に対する瞬間的な死亡率を表します：
\( \mu_{x+t} = \lim_{dt \to 0^+} \frac{P(t < T_x \le t + dt \mid T_x > t)}{dt} = \frac{f_x(t)}{{}_tp_x} = -\frac{1}{{}_tp_x}\frac{d}{dt} {}_tp_x = -\frac{d}{dt} \ln({}_tp_x) \)
両辺を \( 0 \) から \( t \) まで積分することで、次の基本関係式が得られます：
\( {}_tp_x = \exp\left( -\int_0^t \mu_{x+s}\,ds \right) \)
確率と密度の積分公式
これらの関係から、試験で頻出する重要な積分表現が導かれます：
• 確率密度関数： \( f_x(t) = {}_tp_x \mu_{x+t} \)
• 死亡確率： \( {}_tq_x = \int_0^t f_x(s)\,ds = \int_0^t {}_sp_x \mu_{x+s}\,ds \)
• 年齢 \( x + t \) から \( x + t + u \) の間に死亡する確率： \( {}_{t|u}q_x = {}_tp_x - {}_{t+u}p_x = \int_t^{t+u} {}_sp_x \mu_{x+s}\,ds \)
代表的な死亡の法則
標準的な計算表が一般的になる前、アクチュアリーは死力が年齢とともにどのように推移するかを記述するためにパラメトリックモデルを考案しました。シラバスでは、以下の2つの古典的な法則を知っておく必要があります：
• ゴンペルツの法則（Gompertz Law）： 加齢・老化に伴い、死力が年齢に対して指数関数的に増加すると仮定します：
\( \mu_x = B c^x \quad (B > 0, c > 1) \)
• メーカムの法則（Makeham Law）： 事故による死亡を表す、年齢に依存しないベースラインハザードを加えます：
\( \mu_x = A + B c^x \quad (A \ge -B, B > 0, c > 1) \)
短縮将来生存期間： \( K_x \)
生命保険や年金制度では、給付や保険料の支払いが年単位で行われることがよくあります。そのためアクチュアリーは、死亡するまでに \( x \) 歳の方が生きる完了した満年数として、短縮将来生存期間（curtate future lifetime） \( K_x \) を定義します：
\( K_x = \lfloor T_x \rfloor \)
\( T_x \) とは異なり、\( K_x \) は非負の整数値 \( k \in \{0, 1, 2, \dots\} \) をとる離散型確率変数です。
\( K_x \) の確率関数
\( x \) 歳の人が丸 \( k \) 年間生存し、\( (k+1) \) 年目に死亡する確率は次のようになります：
\( P(K_x = k) = P(k \le T_x < k + 1) = {}_kp_x - {}_{k+1}p_x = {}_kp_x \cdot q_{x+k} = {}_k|q_x \)
将来生存期間の期待値と分散
1. 完全期待将来生存期間： \( \mathring{e}_x \)
完全期待将来生存期間（complete expectation of life）は、連続型の将来生存期間 \( T_x \) の期待値です：
\( \mathring{e}_x = E[T_x] = \int_0^\infty t f_x(t)\,dt = \int_0^\infty {}_tp_x\,dt \)
2次モーメントは次の通りです：
\( E[T_x^2] = \int_0^\infty t^2 f_x(t)\,dt = 2 \int_0^\infty t\,{}_tp_x\,dt \)
分散は \( \text{Var}(T_x) = E[T_x^2] - (\mathring{e}_x)^2 \) によって求められます。
2. 平均余命（短縮期待将来生存期間）： \( e_x \)
短縮期待将来生存期間（curtate expectation of life）は、\( K_x \) の期待値です：
\( e_x = E[K_x] = \sum_{k=0}^\infty k P(K_x = k) = \sum_{k=1}^\infty {}_kp_x \)
2次モーメントは次の通りです：
\( E[K_x^2] = \sum_{k=1}^\infty k^2 P(K_x = k) = \sum_{k=1}^\infty (2k - 1)\,{}_kp_x \)
分散は \( \text{Var}(K_x) = E[K_x^2] - (e_x)^2 \) です。
3. \( \mathring{e}_x \) と \( e_x \) の関係
死亡が各年齢の1年間にわたって一様に分布する（UDD）と仮定すると、死亡は平均して各年齢の年の半ばで発生するため、次の標準的な近似式が得られます：
\( \mathring{e}_x \approx e_x + \frac{1}{2} \)
2状態・単一脱退モデル vs. 確率的生存期間モデル
生存モデルは、数学的に異なる2つの方法で概念化することができます：
• 確率的生存期間モデル（Random Lifetime Model）： 生存を、生存関数 \( S_x(t) \) またはハザード関数 \( \mu_{x+t} \) によって特徴づけられる、\( [0, \infty) \) 上の連続型確率変数としての死亡までの時間 \( T_x \) として定式化します。
• 2状態マルコフモデル（Two-State Markov Model）： プロセスを、状態空間 \( S = \{\text{生存 (Alive)}, \text{死亡 (Dead)}\} \) を持つ連続時間マルコフ過程 \( \{Y_t\}_{t \ge 0} \) として定式化します。ここで「死亡」状態は吸収状態であり、年齢 \( x + t \) における「生存」から「死亡」への遷移強度は \( \mu_{x+t} \) です。
比較： どちらの定式化も同一の生存確率および死亡確率を導きます： \( P(Y_t = \text{生存} \mid Y_0 = \text{生存}) = {}_tp_x = \exp\left(-\int_0^t \mu_{x+s}\,ds\right) \)。しかし、2状態マルコフの枠組みは多状態モデル（健康–疾病–死亡、就業不能、重大疾病など）や複数脱退モデルへと容易に拡張できるのに対し、確率的生存期間モデルは単一脱退における継続時間の分布に直接着目します。