Introduction to extreme value theory

「めったに起こらないこと」の世界へようこそ：極値理論入門

こんにちは！CS2の学習において、最も魅力的な章の一つへようこそ。これまでの学習では、「平均的な」結果、つまりベルカーブ（正規分布）の中央値について多くの時間を割いてきたことでしょう。しかし、アクチュアリーとして考えるべきは、平均的な交通事故や平均余命だけではありません。私たちが最も警戒すべきなのは、破滅的な事象（カタストロフィ）です。

極値理論（Extreme Value Theory: EVT）は、分布の「裾（テール）」を扱う統計学の分野です。100年に一度の洪水、株式市場の暴落、あるいは会社の破綻を招きかねないような巨額の保険金請求など、稀ではあるが影響の大きい事象をモデル化する方法を学びます。最初は数式が難しく見えるかもしれませんが、大丈夫です。一つひとつ丁寧に紐解いていきましょう！

1. なぜEVTが必要なのか？

例えば、防波堤を建設するとしましょう。もし平均的な潮位だけを見て壁を作ったら、壁は非常に低くなり、最初の大きな嵐で町は飲み込まれてしまうでしょう。私たちは最大の潮位をモデル化する必要があるのです。

正規分布のような標準的な分布は、極端な事象がどれくらいの頻度で起こるかを過小評価しがちです。これらは「薄い裾（Thin tails）」を持っているからです。EVTを使えば、過去のデータでは一度も見たことがないような事象であっても、その発生確率を数学的に裏付けられた方法で推定できるようになります！

キーコンセプト：2つの主要なアプローチ

CS2では、極値を調べるための2つの方法に注目します：
1. ブロック最大値（Block Maxima）法： 一定期間ごとの最大値を見る（例：各年の最大保険金請求額）。
2. 閾値超過（Peaks Over Threshold: POT）法： 「境界線」を超えたすべての値を見る（例：100万ドルを超えたすべての請求額）。

2. ブロック最大値とGEV分布

まずはブロック最大値から始めましょう。独立同一分布（i.i.d.）に従う確率変数の系列 \( X_1, X_2, \dots, X_n \) があるとします。その最大値を次のように定義します。
\( M_n = \max(X_1, X_2, \dots, X_n) \)

フィッシャー・ティペット・グネデンコ（Fisher-Tippett-Gnedenko）の定理は、\( n \) が非常に大きくなるとき、この最大値の分布（適切な線形正規化の後）は、一般化極値（GEV）分布に収束することを教えてくれます。

GEV分布の式

GEVの累積分布関数（CDF）は以下の通りです。
\( H_{\gamma}(x) = \exp \left( -(1 + \gamma x)^{-1/\gamma} \right) \)

ただし \( 1 + \gamma x > 0 \) であり、ここで \( \gamma \)（ガンマ）は形状パラメータ（shape parameter）です。このパラメータが裾がどれくらい「重い」かを決定づけます。

GEVの3つのバリエーション

\( \gamma \) の値に応じて、分布は以下の3つのタイプに分類されます。
• タイプI：ガンベル（Gumbel）分布（\( \gamma = 0 \)）： 指数分布や正規分布のような「裾の軽い」分布に使われます。\( \gamma \to 0 \) の極限をとると、\( H_0(x) = \exp(-\exp(-x)) \) となります。裾は指数関数的に減少します。
• タイプII：フレシェ（Fréchet）分布（\( \gamma > 0 \)）： これが「重い裾」を持つタイプです。パレート分布のように巨額の損失が起こりやすいケースをモデル化するため、アクチュアリーにとって非常に重要です。
• タイプIII：ワイブル（Weibull）分布（\( \gamma < 0 \)）： 有限の上限を持つ「短い裾」のタイプです。最大の天井が存在すると考えてください。無限には続きません。

クイック復習：
- \( \gamma > 0 \)：重い裾（フレシェ） - 注意！巨額損失の可能性あり。
- \( \gamma = 0 \)：軽い裾（ガンベル） - 裾が薄い。
- \( \gamma < 0 \)：有限の裾（ワイブル） - 上限が存在する。

3. 閾値超過（POT）とGPD

ブロック最大値法は1つのブロックにつき1つの値しか使いませんが、POT法は「極端」なすべてのデータポイントを利用するため、より効率的です。

高い閾値 \( u \) を設定すると、\( X > u \) である条件の下での超過分：\( Y = X - u \) に注目することになります。

ピンカンズ・バルケマ・デハーン（Pickands-Balkema-de Haan）の定理によると、十分に高い閾値 \( u \) に対して、これらの超過分の分布は一般化パレート（GPD）分布に収束します。

GPDの式

超過分 \( y \ge 0 \) に対するGPDの累積分布関数（CDF）は以下の通りです。
\( G_{\gamma, \beta}(y) = 1 - \left(1 + \frac{\gamma y}{\beta}\right)^{-1/\gamma} \) （\( \gamma \neq 0 \) のとき）
\( G_{\gamma, \beta}(y) = 1 - \exp\left(-\frac{y}{\beta}\right) \) （\( \gamma = 0 \) のとき）

ここで \( \beta > 0 \) は尺度パラメータ（scale parameter）であり、\( \gamma \) は対応するGEVで見られるものと同じ形状パラメータです！

豆知識：
GEVとGPDの間には直接的な関係があります。あるデータセットのブロック最大値が形状パラメータ \( \gamma \) を持つGEV分布に従うなら、その同じ基礎となる分布における高い閾値を超えた超過分は、全く同じ \( \gamma \) を持つGPDに従うことになります。

4. 裾の重さの測定と比較

CS2では、どの分布の裾がより重いかを比較するために、裾の重さの数学的測度を計算し、解釈できるようになる必要があります。主に用いられる4つのツールは以下の通りです：

1. 生存関数の極限比

生存関数 \( \bar{F}_1(x) = P(X_1 > x) \) および \( \bar{F}_2(x) = P(X_2 > x) \) を持つ2つの分布 \( X_1 \) と \( X_2 \) の裾の重さを比較するには、\( x \to \infty \) におけるそれらの比の極限を調べます：
\( \lim_{x \to \infty} \frac{\bar{F}_1(x)}{\bar{F}_2(x)} \)
• 極限が \( \infty \) の場合：\( X_1 \) は \( X_2 \) よりも裾が重い。
• 極限が 0 の場合：\( X_1 \) は \( X_2 \) よりも裾が軽い。
• 極限が有限の正の定数 \( c > 0 \) の場合：\( X_1 \) と \( X_2 \) は同等の重さの裾を持つ。

2. ハザード率（死力）

ハザード率は \( h(x) = \frac{f(x)}{\bar{F}(x)} \) と定義されます。\( x \to \infty \) における \( h(x) \) の挙動を調べることで、裾についての情報が得られます：
• 裾が重い： \( \lim_{x \to \infty} h(x) = 0 \)（例：パレート分布、対数正規分布）。値が大きくなるにつれて、条件付きの故障確率は減少します。
• 中間 / 指数型の裾： \( \lim_{x \to \infty} h(x) = \lambda > 0 \)（例：パラメータ \( \lambda \) の指数分布）。
• 裾が軽い： \( \lim_{x \to \infty} h(x) = \infty \)（例：正規分布、形状パラメータ \( > 1 \) のガンマ分布）。

3. 平均超過関数

平均超過関数とは、クレームが \( u \) を超えるという条件の下で、それが \( u \) を超過する期待額です：
\( e(u) = E[X - u \mid X > u] = \frac{\int_u^{\infty} \bar{F}(x) \, dx}{\bar{F}(u)} \)
• 重い裾： \( e(u) \) は \( u \) に関して増加する（例：\( \alpha > 1 \) のパレート分布では \( e(u) = \frac{u + \lambda}{\alpha - 1} \)）。
• 無記憶性 / 軽い裾： \( e(u) \) は一定である（例：指数分布では \( e(u) = 1/\lambda \)）。
• 短い裾 / 有限の極限： \( e(u) \) は \( u \) に関して減少する。

4. モーメントの存在

裾の重い分布は通常、ある次数を超えるモーメントが存在しません。例えば、形状パラメータ \( \alpha \) のパレート分布では、\( E[X^k] \) は \( k < \alpha \) に対してのみ存在します。すべての正のモーメント \( E[X^k] \) が存在する分布（例：正規分布、ガンマ分布、指数分布）は、高次モーメントが無限大になる分布よりも裾が軽くなります。

5. 実践的な課題：閾値の選択

POT法を適用する際、閾値 \( u \) はどれくらいの高さにすべきでしょうか？
• \( u \) が高すぎる場合：データポイントが足りず、パラメータの分散が大きくなります。
• \( u \) が低すぎる場合：漸近定理が成り立たず、推定値にバイアスがかかってしまいます。

平均超過プロット： アクチュアリーは、標本平均超過を様々な \( u \) の値に対してプロットします。ある点を超えて経験的なプロットがほぼ直線的かつ右上がりになれば、それはパレート/GPDの裾を示唆しており、適切な閾値 \( u \) を選択するのに役立ちます。

6. 避けるべきよくある間違い

1. GEVとGPDの混同： 覚えておきましょう。GEVはブロック最大値（各ブロック内の最大の観測値）用、GPDは閾値に対する超過分用です。
2. 条件を忘れる： GPDの式は、元の損失額 \( X \) ではなく、超過分 \( Y = X - u \) に対して適用されます。
3. \( \gamma \) の誤解釈： 標準的な定式化では、\( \gamma > 0 \) は重い裾（フレシェ / パレート型）、\( \gamma = 0 \) は軽い裾（ガンベル / 指数型）、\( \gamma < 0 \) は有界な上側の裾（ワイブル型）に対応します。

7. まとめと重要なポイント

• 目的： EVTは、損失分布の極端な裾に対する漸近モデルを提供します。
• ブロック最大値： 一般化極値（GEV）分布（ガンベル、フレシェ、ワイブル）を使用してモデル化されます。
• 閾値超過： 高い閾値を超えた超過分は、一般化パレート分布（GPD）を使用してモデル化されます。
• 形状パラメータ（\( \gamma \)）： GEVとGPDの双方で同一です。\( \gamma > 0 \) は重い裾を示します。
• 裾の重さの比較： 生存関数の比の極限 \( \lim \bar{F}_1(x)/\bar{F}_2(x) \)、ハザード率の挙動 \( \lim h(x) \)、平均超過関数 \( e(u) \) の傾き、および高次モーメントの存在を用いて評価されます。