総支払保険金（Aggregate Claims）の世界へようこそ！

こんにちは！Exam ASTAM（保険数理数学・短期数理）までたどり着いた皆さんなら、保険会社が単一の保険金請求額だけでなく、一定期間内に支払うべき総支払保険金（Aggregate Claim）――通常 \(S\) で表されます――を非常に重視していることは既にご存じでしょう。

この章では、この \(S\) の確率分布を計算する方法を学びます。なぜこれが重要なのでしょうか？それは、アクチュアリーが「総支払額が一定額を超える確率」を予測できなければ、会社は保険金を支払うための十分な資金を準備できない可能性があるからです！ここでは主に2つのツールキットに焦点を当てます。一つは畳み込み（Convolution）（支払回数が確定している場合）、もう一つは再帰公式（Recursive Formulas）（支払回数が確率変数の場合に用いる、パンジャーの再帰公式およびその \((a, b, 0)\) および \((a, b, 1)\) クラスへの拡張）です。

最初は数学的な内容が多くて難しく感じるかもしれませんが、大丈夫です！少しずつ噛み砕いて解説していきますからね。

1. 基本構成要素：\(S\) とは何者か？

数式に入る前に、私たちが扱う中心的な集団リスクモデル（collective risk model）を復習しましょう：

\(S = X_1 + X_2 + \dots + X_N\)

ここで：
• \(N\) は頻度（Frequency）（保険金の支払回数）。
• \(X_i\) は損害額（Severity）（\(i\)番目の請求額）。
• \(S\) は総支払保険金（Aggregate Loss）（支払われるお金の総額。\(N = 0\) のときは \(S = 0\)）。

この章では、基本的にすべての \(X_i\) が独立かつ同一の分布に従う（i.i.d.）非負の確率変数であり、かつそれらが \(N\) とも独立であると仮定します。

2. 畳み込み（Convolution）法

例えば、支払回数がちょうど2回（\(N=2\)）であることが確定しているとします。総支払額が100ドルになる確率を求めるには、2つの非負の数の和が100になるすべての組み合わせ（例：20+80、50+50、0+100など）を考える必要があります。

畳み込みとは、独立な確率変数のすべての組み合わせを合計する作業を数学的に定式化したものです。

仕組み：

離散的な損害額 \(X\) の確率質量関数（pmf）を \(f_X(x)\) とすると、\(n\) 回の請求額の合計の pmf（\(n\) 重畳み込みとして \(f_X^{*n}(s)\) と表記）は以下のように計算されます：

\(f_X^{*n}(s) = \sum_{x=0}^{s} f_X(x) \cdot f_X^{*(n-1)}(s-x)\)

ステップ・バイ・ステップ：

1. \(n=0\) と \(n=1\) から始める： 定義により、\(f_X^{*0}(0) = 1\)（それ以外は0）であり、\(f_X^{*1}(s) = f_X(s)\) です。
2. \(n=2\) へ進む： 2重畳み込みを計算します：\(f_X^{*2}(s) = \sum_{x=0}^{s} f_X(x) f_X(s-x)\)。
3. 繰り返す： \(n=3\) の場合は、\(f_X(x)\) を \(f_X^{*2}\) の結果に対して畳み込みます。
4. 総支払額の分布： \(N\) が確率変数の場合、全体の pmf は \(f_S(s) = \sum_{n=0}^{\infty} p_n f_X^{*n}(s)\) となり、累積分布関数は \(F_S(s) = \sum_{n=0}^{\infty} p_n F_X^{*n}(s)\) となります。

要点： 畳み込みは概念としては単純ですが、\(N\) が上限のない複合モデルにおいて評価する場合、無限個の畳み込みを合計する必要があり、手計算で行うのは事実上不可能です。

3. パンジャー（Panjer）の再帰公式：\((a, b, 0)\) クラス

果てしない畳み込みの計算を避けるため、ハリー・パンジャー（Harry Panjer）は、頻度 \(N\) が\((a, b, 0)\) クラスに属する場合に成り立つ厳密な再帰的関係を導き出しました。

\((a, b, 0)\) 関係式

\((a, b, 0)\) ファミリーに属する分布では、確率が次の関係を満たすことを思い出しましょう：
\(p_k = \left(a + \frac{b}{k}\right) p_{k-1}, \quad k = 1, 2, 3, \dots\)

属する3つの分布：
• ポアソン分布（\(\lambda\)）： \(a = 0\)、\(b = \lambda\)、\(p_0 = e^{-\lambda}\)
• 二項分布（\(m, q\)）： \(a = -\frac{q}{1-q} < 0\)、\(b = \frac{(m+1)q}{1-q}\)、\(p_0 = (1-q)^m\)
• 負の二項分布（\(r, \beta\)）： \(a = \frac{\beta}{1+\beta} > 0\)、\(b = \frac{(r-1)\beta}{1+\beta}\)、\(p_0 = (1+\beta)^{-r}\)

\((a, b, 0)\) の再帰公式

非負の整数 \(x = 0, 1, 2, \dots\) 上で定義された pmf \(f_X(x)\) を持つ離散的な損害額分布に対し、総支払保険金の pmf \(f_S(s)\) は以下を満たします：

\(f_S(s) = \frac{1}{1 - a f_X(0)} \sum_{x=1}^{s} \left(a + \frac{b x}{s}\right) f_X(x) f_S(s-x), \quad s = 1, 2, 3, \dots\)

開始値：\(f_S(0)\)

再帰を開始するには、\(f_S(0) = P(S = 0)\) が必要です。総支払額が0になるのは、請求が1件も発生しないか、あるいは発生したすべての請求の損害額が0である場合です：
\(f_S(0) = P_N(f_X(0))\)

ここで \(P_N(z) = E[z^N]\) は、\(N\) の確率母関数（pgf）です。
もし \(f_X(0) = 0\)（請求額が厳密に正）である場合、この式は綺麗に \(f_S(0) = P_N(0) = p_0\) と単純化され、係数 \(\frac{1}{1 - a f_X(0)}\) は1になります。

4. 再帰公式の拡張：\((a, b, 1)\) クラス

Exam ASTAM では、総支払額モデルにゼロ切断（zero-truncated）やゼロ修正（zero-modified）の頻度分布が頻繁に登場します。これらは \((a, b, 1)\) クラスを形成し、そこでは再帰が \(k = 2\) から始まります：

\(p_k = \left(a + \frac{b}{k}\right) p_{k-1}, \quad k = 2, 3, 4, \dots\)

\(k=0\) から \(k=1\) の間ではこの関係が成り立たないため、\(x=s\) のステップで調整項が現れます。

\((a, b, 1)\) の再帰公式

\(x = 0, 1, 2, \dots\) 上の離散的な損害額を持ち、頻度 \(N\) が \((a, b, 1)\) クラスにある場合、\(s = 1, 2, 3, \dots\) に対する再帰公式は以下のようになります：

\(f_S(s) = \frac{\left[p_1 - (a + b) p_0\right] f_X(s) + \sum_{x=1}^{s} \left(a + \frac{b x}{s}\right) f_X(x) f_S(s-x)}{1 - a f_X(0)}\)

関係性に注目： \(N\) が \((a, b, 0)\) クラスにある場合、\(p_1 = (a + b) p_0\) となるため、大括弧内の項 \(\left[p_1 - (a+b)p_0\right]\) はゼロに消え、元のパンジャー公式と完全に一致します！

\((a, b, 1)\) の開始値：

先ほどと同様に、\(f_S(0) = P_N(f_X(0))\) です。\(f_X(0) = 0\) の場合、\(f_S(0) = p_0\) となります。ゼロ切断分布の場合、\(p_0 = 0\) であるため、\(f_S(0) = 0\) となります。

分布関数 \(F_S(s)\) の導出

\(f_S(0), f_S(1), \dots, f_S(s)\) が計算できれば、確率を累積していくことで累積分布関数が容易に得られます：
\(F_S(s) = \sum_{y=0}^{s} f_S(y)\)

5. 再帰プロセスの手順 ＆ 連続的な損害額への対応

試験での再帰公式の適用手順：

1. 頻度を分類する： \(N\) が \((a, b, 0)\) か \((a, b, 1)\) かを判定し、\(a\)、\(b\)、\(p_0\)、\(p_1\) を取り出します。
2. \(f_S(0)\) を求める： \(P_N(f_X(0))\) を計算します。
3. \(f_S(1)\) を計算する： \(s=1\) を代入して公式を適用します（\(f_S(0)\) を使用）。
4. \(f_S(2), f_S(3), \dots\) を計算する： 各ステップで、直前に計算した \(f_S(s-x)\) の値を使用します。
5. \(F_S(s)\) を累積する： 問題で累積確率 \(P(S \le s)\) やストップロス保険料が求められている場合は、計算した値を足し合わせます。

損害額が連続的な場合はどうする？

再帰公式を適用するには、離散的な損害額分布が必要です。実際の損害額が連続的な場合、以下のいずれかの方法を用いて、ステップサイズ \(h\) のグリッドへまず離散化（discretize）します：
• 丸め法（Method of Rounding）： グリッドポイント \(jh\) の周囲の区間に基づいて確率質量を割り当てます：\(j \ge 1\) に対して \(f_j = F_X(jh + h/2) - F_X(jh - h/2)\)、そして \(f_0 = F_X(h/2)\)。
• 局所モーメント整合法（Method of Local Moment Matching）： 局所的な平均や分散が維持されるように、小区間上でモーメントを一致させます。

6. クイック復習 ＆ 試験の落とし穴

添字に注意： どちらのパンジャー公式でも、総和は \(x=1\) から \(s\) までであり、決して \(x=0\) からではありません。\(x=0\) の部分は分母の \(1 - a f_X(0)\) によって考慮されています。
重み付けの項： 総和の内側の重みは常に \(\left(a + \frac{b x}{s}\right)\) です。\(x\) が現在の損害額の添字であり、\(s\) が総支払額の添字であることに注意してください。
ゼロ修正 vs. ゼロ切断： \((a, b, 1)\) モデルでは、追加の項 \(\left[p_1 - (a+b)p_0\right] f_X(s)\) を忘れないようにしましょう。頻度がゼロ切断の場合、\(p_0 = 0\) となり、この項は \(p_1 f_X(s)\) に単純化されます。