経験ベイズ推定へようこそ！

古典的なベイズ信用度理論では、リスクパラメータ \(\Theta\) が与えられたときのリスクの条件付き分布と、\(\Theta\) の事前分布の両方を特定します。しかし、実務において \(\Theta\) の事前分布が既知であることはほとんどありません。そこで登場するのが経験ベイズ推定（Empirical Bayesian Estimation）です。事前分布を仮定するのではなく、複数のリスクにわたる過去のデータから構造パラメータ（全体平均 \(\mu\)、プロセス分散の期待値（EPV）\(v\)、仮説的平均の分散（VHM）\(a\)）を直接推定します。

この手法は、分布の仮定の度合いに基づいて、主に2つのケースに分けられます：

- ノンパラメトリック推定：条件付き損失分布にもパラメータの事前分布にも、パラメトリックな分布を仮定しません。推定は標本積率や分散に完全に依存します。

- セミパラメトリック推定：\(\Theta\) が与えられたときの損失に対してパラメトリックな条件付き分布（例えばポアソン分布や指数分布など）を仮定し、これにより条件付き平均と条件付き分散の間の関数関係が定まります。ただし、\(\Theta\) の分布は仮定しません。

1. ノンパラメトリックなケース

ノンパラメトリックな状況では、\(k\) 個のリスクに関するデータがあると仮定します。等しいサンプルサイズと異なるエクスポージャーという2つの標準的なモデルを考えます。

モデル 1：等しいサンプルサイズ（ビューマン・モデル）

\(k\) 人の契約者のそれぞれが \(n\) 期間観察され、期間 \(j\) におけるリスク \(i\) の観測クレーム額を \(X_{ij}\) とします。

ステップ 1：各リスクの平均
\(\bar{X}_i = \frac{1}{n} \sum_{j=1}^{n} X_{ij}\)

ステップ 2：全体平均 (\(\hat{\mu}\))
\(\hat{\mu} = \bar{X} = \frac{1}{k} \sum_{i=1}^{k} \bar{X}_i\)

ステップ 3：プロセス分散の期待値 (\(\hat{v}\))
全 \(k\) 人の契約者にわたる不偏標本分散を平均化します：
\(\hat{v} = \frac{1}{k(n - 1)} \sum_{i=1}^{k} \sum_{j=1}^{n} (X_{ij} - \bar{X}_i)^2\)

ステップ 4：仮説的平均の分散 (\(\hat{a}\))
\(\bar{X}_i\) の標本分散は \(Var(\bar{X}_i) = a + \frac{v}{n}\) を推定します。したがって、推定されたプロセス分散の成分を差し引くことで、\(a\) の不偏推定量が得られます：
\(\hat{a} = \frac{1}{k - 1} \sum_{i=1}^{k} (\bar{X}_i - \bar{X})^2 - \frac{\hat{v}}{n}\)

モデル 2：異なるエクスポージャー（ビューマン・シュトラウブ・ノンパラメトリック・モデル）

リスクが期間 \(j = 1, \dots, n_i\) にわたって異なるエクスポージャー \(m_{ij}\) を持つ場合、\(m_i = \sum_{j=1}^{n_i} m_{ij}\) および \(m = \sum_{i=1}^{k} m_i\) と置きます。リスク平均は \(\bar{X}_i = \frac{1}{m_i} \sum_{j=1}^{n_i} m_{ij} X_{ij}\) であり、全体平均は \(\bar{X} = \frac{1}{m} \sum_{i=1}^{k} m_i \bar{X}_i\) です。

\(v\) の推定：
\(\hat{v} = \frac{1}{\sum_{i=1}^{k} (n_i - 1)} \sum_{i=1}^{k} \sum_{j=1}^{n_i} m_{ij} (X_{ij} - \bar{X}_i)^2\)

\(a\) の推定：
\(\hat{a} = \frac{\sum_{i=1}^{k} m_i (\bar{X}_i - \bar{X})^2 - (k - 1)\hat{v}}{m - \frac{1}{m} \sum_{i=1}^{k} m_i^2}\)

2. セミパラメトリックなケース

セミパラメトリック経験ベイズ推定では、条件付き分布 \(X_{ij} | \Theta_i\) の形式を特定しますが、\(\Theta\) の事前分布は特定しないままにしておきます。条件付きモデルが条件付き平均 \(\mu(\Theta)\) と条件付き分散 \(v(\Theta)\) の間の数学的関係を特定するため、純粋な標本分散を使用するのではなく、この構造的な関係から \(v\) を直接推定します。

ポアソン件数モデル

最も一般的なセミパラメトリックモデルは、\(\Theta_i\) が与えられたときのクレーム件数 \(N_{ij}\) が平均 \(m_{ij} \lambda(\Theta_i)\) のポアソン分布に従う場合です。エクスポージャー1単位あたりのクレーム率を \(X_{ij} = \frac{N_{ij}}{m_{ij}}\) と定義します。

ポアソン変数の場合、条件付き分散は条件付き平均と等しくなります：
\(E[X_{ij} | \Theta_i] = \mu(\Theta_i) = \lambda(\Theta_i)\)
\(Var(X_{ij} | \Theta_i) = \frac{\lambda(\Theta_i)}{m_{ij}} = \frac{\mu(\Theta_i)}{m_{ij}}\)

したがって、プロセス分散パラメータは \(v(\Theta_i) = \mu(\Theta_i)\) となり、次のようになります：
\(v = E[v(\Theta)] = E[\mu(\Theta)] = \mu\)

ポアソン・セミパラメトリックモデルのパラメータ推定：
1. 全体平均： \(\hat{\mu} = \bar{X} = \frac{1}{m} \sum_{i=1}^{k} \sum_{j=1}^{n_i} m_{ij} X_{ij} = \frac{\text{総クレーム件数}}{\text{総エクスポージャー}}\)
2. プロセス分散： \(v = \mu\) であるため、推定量は直ちに次のようになります：
\(\hat{v} = \hat{\mu}\)
3. 仮説的平均の分散： ビューマン・シュトラウブの分子に \(\hat{v} = \hat{\mu}\) を代入します：
\(\hat{a} = \frac{\sum_{i=1}^{k} m_i (\bar{X}_i - \bar{X})^2 - (k - 1)\hat{\mu}}{m - \frac{1}{m} \sum_{i=1}^{k} m_i^2}\)

等しいエクスポージャーに関する注意： \(n_i = n\) かつ \(m_{ij} = 1\) の場合、これは \(\hat{v} = \hat{\mu} = \bar{X}\) および \(\hat{a} = \frac{1}{k - 1} \sum_{i=1}^{k} (\bar{X}_i - \bar{X})^2 - \frac{\hat{\mu}}{n}\) に簡略化されます。

3. \(\hat{a}\) の切断ルール（Truncation Rule）

\(\hat{a}\) は、観測されたグループ間の変動から推定されたプロセス分散成分を差し引くことによって推定されるため、標本データによっては \(\hat{a} < 0\) となる可能性があります。

仮説的平均の分散は負になり得ないため、修正推定量を使用します：
\(\hat{a}^* = \max(0, \hat{a})\)

\(\hat{a} \le 0\) の場合、\(\hat{a}^* = 0\) と設定します。これは、個々の実績が純粋な偶然（プロセス分散）によって予想される以上の変動を示していないことを意味し、信用度因子は \(Z = 0\) となり、全体平均 \(\hat{\mu}\) に100%の重みが割り当てられます。

ノンパラメトリック推定とセミパラメトリック推定のまとめ

1. ノンパラメトリック：条件付き分布は仮定されません。\(\hat{v}\) は、観測期間にわたるリスク内の標本分散を用いて推定されます。
2. セミパラメトリック：条件付き分布が仮定されます（例：ポアソン分布では \(v = \mu\)）。\(v\) を推定するために個々の期間の標本分散を計算する必要はなく、\(\hat{v} = \hat{\mu}\) を使用します。
3. 信用度計算：\(\hat{\mu}\)、\(\hat{v}\)、および \(\hat{a}\) が推定されると、リスク \(i\) の信用度保険料は標準公式を用いて計算されます：\(P_i = Z_i \bar{X}_i + (1 - Z_i)\hat{\mu}\)。ここで \(Z_i = \frac{m_i}{m_i + \hat{v}/\hat{a}}\) です（等しいエクスポージャーの下では \(Z = \frac{n}{n + \hat{v}/\hat{a}}\)）。