二項ツリーの世界へようこそ！
こんにちは！Exam FAM（保険数理の基礎）の準備をしていると、オプションの評価というのはまるで未来を予知するようなものだと感じるかもしれません。残念ながら水晶玉は持っていませんが、それ以上に役立つツールがあります。それが二項オプション価格モデルです。この章では、実際よりも少しシンプルな世界を想定することで、配当を支払わない単一の原資産に対する欧州型オプションの価格を算出する方法を学んでいきます。無限の可能性を考える代わりに、資産価格は「上昇（Up）」か「下落（Down）」の2方向にしか動かないと仮定します。最初は少し抽象的に感じるかもしれませんが、心配はいりません。パターンが見えてくれば地図をたどるのと同じくらい簡単ですよ！
1. 基本的な考え方：一歩ずつ進む
二項モデルは「離散時間」モデルです。つまり、オプションの期間を特定の時間の塊（ステップ）として捉えます。最もシンプルな「1期間モデル」では、今日の価格と満期時の価格だけを見ます。
株価 \(S\) を想像してみてください。期間の長さ \(h\) が1期間経過した後には、以下の2つしか起こりません。
1. 株価が上昇して \(S_u\) になる（ここで \(S_u = S \times u\)）
2. 株価が下落して \(S_d\) になる（ここで \(S_d = S \times d\)）
知っておくべき重要用語：
• \(u\): 上昇率（「アップ・ファクター」、\(u > 1\)）
• \(d\): 下落率（「ダウン・ファクター」、\(0 < d < 1\)）
• \(r\): 連続複利の無リスク利子率
• \(h\): ステップの期間の長さ（年単位、例：1年を2ステップに分けるなら \(h = 0.5\)）
無裁定条件：このモデルが理にかなっており、リスクのない裁定取引（「タダで儲かる」機会）を排除するためには、無リスク資産の収益率が、下落と上昇の動きの厳密に間に収まっている必要があります。配当を支払わない資産の場合、これは \(d < e^{rh} < u\) を意味します。
設定のまとめ
二項モデルは、資産価格の動きを「道の分岐点」として単純化します。原資産がどこに到達し得るかを把握し、それぞれの結果におけるオプションのペイオフを計算することで、逆算して今日のオプションの適正価格を導き出せるのです。
2. 方法1：複製ポートフォリオ（\(\Delta\) と \(B\)）
デリバティブ価格評価の基本原則は次のとおりです。「すべての起こり得る状態において、将来の特定の期日に全く同じペイオフを生み出す2つのポートフォリオがあるなら、それらの今日の価格も全く同じでなければならない。」
ここでは、原資産の株式を \(\Delta\) 株保有し、無リスクの割引債に \(B\) を投資したポートフォリオを構築することで、オプションのペイオフを複製します。株価が上昇しても下落しても、このポートフォリオの価値（\(\Delta S + B\)）がオプションの価値と一致するように設定します。
計算式（無配当資産の場合）：
株式数（\(\Delta\)）を求める式：
\(\Delta = \frac{V_u - V_d}{S_u - S_d} = \frac{V_u - V_d}{S(u - d)}\)
債券への投資額（\(B\)）を求める式：
\(B = e^{-rh} \frac{u V_d - d V_u}{u - d}\)
オプション価格： \(V = \Delta S + B\)
例え： \(\Delta\) を「感応度」と考えてみてください。これは、株価の変化に対してオプションのペイオフがどれだけ変化するかを示します。例えば、株価の差 \(S_u - S_d\) が1ドルで、オプションの差 \(C_u - C_d\) が0.50ドルなら、あなたの \(\Delta\) は0.50です。
3. 方法2：リスク中立価格評価（期待現在価値を使う方法）
Exam FAMでは、リスク中立期待現在価値アプローチが最も一般的な方法です。投資家がリスク中立である（つまり、すべての資産が無リスク利子率 \(r\) で成長する）かのようにデリバティブを評価します。
ステップ1：リスク中立確率（\(p^*\)）を計算する
リスク中立の世界では、株式の期待収益率は無リスク利子率に等しくなります：\(S e^{rh} = p^* S_u + (1 - p^*) S_d\)。これを \(p^*\) について解くと、以下が得られます。
\(p^* = \frac{e^{rh} - d}{u - d}\)
ステップ2：オプション価値を計算する
次に、\(p^*\) のもとでの期待ペイオフを計算し、無リスク利子率で現在価値に割り引きます：
\(V = e^{-rh} [p^* V_u + (1 - p^*) V_d]\)
クイック復習：
• \(V_u\) は株価が上昇した時のオプションのペイオフ（コールなら \(\max(0, S_u - K)\)、プットなら \(\max(0, K - S_u)\)）。
• \(V_d\) は株価が下落した時のオプションのペイオフ。
• 割引ファクター \(e^{-rh}\) を絶対に忘れないでください！これを忘れるのは試験で非常によくあるミスです。
4. 多期間ツリー：一歩ずつ逆算して進める
オプションの満期が1年で、それを6ヶ月ずつの2ステップ（\(h = 0.5\)）でモデル化する場合はどうでしょうか？ツリーを2期間モデルへと拡張します。標準的な組換え二項ツリー（Recombining Binomial Tree）では、「上昇→下落」の動きと「下落→上昇」の動きで、最終的な株価が同じになります（\(S_{ud} = S_{du} = S \cdot u \cdot d\)）。
逆算のプロセス：
1. 最終ノード： 満期時（時刻 \(2h\)）の株価を計算します：\(S_{uu} = S u^2\)、\(S_{ud} = S u d\)、\(S_{dd} = S d^2\)。各最終ノードにおけるデリバティブのペイオフを求めます。
2. 時刻 \(h\) への一歩後退： リスク中立公式を使用して、最終値の各ペアを中間ノード（\(V_u\) と \(V_d\)）へと割り引きます：
\(V_u = e^{-rh} [p^* V_{uu} + (1 - p^*) V_{ud}]\)
\(V_d = e^{-rh} [p^* V_{ud} + (1 - p^*) V_{dd}]\)
3. 時刻 0 への一歩後退： \(V_u\) と \(V_d\) を今日へと割り戻し、初期オプション価格 \(V\) を求めます：
\(V = e^{-rh} [p^* V_u + (1 - p^*) V_d]\)
ここがポイント
ツリーが何ステップあっても、手順は常に全く同じです。末端の葉（最終ノード）でペイオフを計算し、\(p^*\) と割引ファクター \(e^{-rh}\) を使ってその値をノード0まで「引き戻して」ください。
5. プットおよび単純な欧州型デリバティブの評価
二項ツリーは汎用的なツールです。満期時の原資産価格にペイオフが依存する欧州型デリバティブであれば、何にでも適用できます。Exam FAMの出題範囲に含まれるデリバティブはすべて、配当を支払わない単一の資産に対する欧州型です。
欧州型コールオプション： ペイオフは \(C_T = \max(0, S_T - K)\) です。\(\Delta = \frac{C_u - C_d}{S_u - S_d} \ge 0\) となるため、コールの複製には株式の買い建て（ロングポジション、\(\Delta > 0\)）と資金の借入れ（\(B < 0\)）が必要となります。
欧州型プットオプション： ペイオフは \(P_T = \max(0, K - S_T)\) です。プットの場合、株価が下落した方が価値が高くなるため、\(P_u \le P_d\) となります。したがって、以下のようになります：
\(\Delta = \frac{P_u - P_d}{S_u - S_d} \le 0\)
これは、プットオプションを複製するには株式の空売り（ショートポジション、\(\Delta < 0\)）と債券による資金の貸付（\(B > 0\)）が必要であることを意味します。
プット・コール・パリティのチェック： 権利行使価格 \(K\)、満期までの期間 \(T\) の欧州型オプションについて、二項モデルから得られる価格はすべてのノードでプット・コール・パリティを満たす必要があります：
\(C - P = S - K e^{-rT}\)
6. まとめと成功のためのヒント
\(p^*\) を覚えるためのコツ：
「（成長ファクター － 下落率）÷（上昇率 － 下落率）」と考えましょう：
\(p^* = \frac{e^{rh} - d}{u - d}\)
分子は成長ファクター \(e^{rh}\) から下落率 \(d\) を引いたもの、分母はその広がり（スプレッド）である \(u - d\) です。
問題解決のためのクイックチェックリスト：
• ステップ期間 \(h\) を正しく計算しましたか？満期が \(T\) で \(n\) ステップあるなら、\(h = T / n\) です。
• \(e^{rh}\) や \(e^{-rh}\) において、年利 \(r\) に \(h\) を掛けましたか？
• 計算しているのはコール（\(\max(0, S - K)\)）ですか、それともプット（\(\max(0, K - S)\)）ですか？
• 各期待ペイオフを \(e^{-rh}\) を使って1期間分割り引きましたか？
最後に：二項モデルは構造化されており、一貫性があります。ノードを設定し、\(p^*\) を使って値を逆算することに慣れてしまえば、Exam FAMの中で確実に得点源にできることがわかるはずです。ツリーの練習を続けていきましょう！