デュレーションの世界へようこそ！
Exam FMの勉強をしている皆さんなら、金利が上がると債券価格が下がることはすでにご存知ですよね。でも、アクチュアリーや投資マネージャーにとっての大きな疑問は、「価格がどれくらい変わるのか？」ということです。まさにその疑問を測るために役立つのがデュレーションです。
デュレーションは、一連のキャッシュフローの「感応度」や「変動性」を測るための指標だと考えてください。年金基金を管理する場合でも、単純な債券ポートフォリオを運用する場合でも、デュレーションを理解することは金利リスクを管理する鍵となります。今はまだ少し抽象的に感じるかもしれませんが、大丈夫です。これから分かりやすく噛み砕いて説明していきますね！
1. マコーレー・デュレーション：「重心」
長い木の板を指先でバランスをとって支える場面を想像してみてください。両端に重いおもりがあれば、バランスをとるための「重心」が決まりますよね。マコーレー・デュレーション（\(D_{mac}\)）は、キャッシュフローの系列における時間的な「重心」と言えるものです。
これは、キャッシュフローを受け取るまでの期間の加重平均です。期間を金額で重み付けするのではなく、各キャッシュフローの現在価値（PV）で重み付けをします。
計算式
時点 \(t\) における支払い \(R_t\) と実効年利率 \(i\) がある場合、マコーレー・デュレーションは以下のように定義されます。
\(D_{mac} = \frac{\sum_{t} t \cdot R_t (1+i)^{-t}}{\sum_{t} R_t (1+i)^{-t}} = \frac{\sum_{t} t \cdot v^t \cdot R_t}{\sum_{t} v^t \cdot R_t}\)
分母の \(\sum_{t} v^t \cdot R_t\) は、キャッシュフローの価格（P）やすなわち現在価値そのものです。つまり、こうなります。
\(D_{mac} = \frac{\sum_{t} t \cdot PV(R_t)}{P(i)}\)
身近な例え
毎年クーポンを支払う10年債を考えてみましょう。あなたは10年後までずっと待つわけではありません。1年後に一部を受け取り、2年後にも一部を受け取ります。マコーレー・デュレーションは、平均すると（例えば）8.2年待てば投資価値を回収できることを教えてくれる指標なのです。
マコーレー・デュレーションの重要な性質
1. ゼロクーポン債：時点 \(n\) で支払われるゼロクーポン債の場合、マコーレー・デュレーションはちょうど \(n\) になります。支払いが1回しかないため、時間の加重平均はその支払日そのものになるからです！
2. クーポン債：満期前にクーポンを支払う債券では、マコーレー・デュレーションは必ず満期までの期間より短くなります。
3. 金利の影響：金利 \(i\) が上昇すると、マコーレー・デュレーションは減少します（将来の支払いがより強く割り引かれるため、相対的に早い時期の支払いの比重が大きくなるからです）。
クイック復習： マコーレー・デュレーション ＝ 時間の加重平均。単位は年（または時間単位）で表されます。
2. モディファイド・デュレーション：感応度のゲージ
マコーレー・デュレーションが時間に関する指標であるのに対し、モディファイド・デュレーション（\(D_{mod}\)）は価格の感応度に関する指標です。数学的には、収益率（利回り）\(i\) に関する価格関数の1階微分を用いて以下のように定義されます。
\(D_{mod} = -\frac{P'(i)}{P(i)}\)
マコーレー・デュレーションとモディファイド・デュレーションの関係
この2つの尺度には、直接的な数学的関係があります。\(P(i) = \sum R_t (1+i)^{-t}\) を微分すると、\(P'(i) = -\sum t \cdot R_t (1+i)^{-(t+1)} = -\frac{1}{1+i} \sum t \cdot R_t (1+i)^{-t}\) となります。これを定義に代入すると、以下の関係が導かれます。
\(D_{mod} = \frac{D_{mac}}{1+i} = v \cdot D_{mac}\)
注意：年 \(m\) 回複利の公称金利が与えられている場合は、\(D_{mod} = \frac{D_{mac}}{1 + \frac{i^{(m)}}{m}}\) となります。
3. 価格変化の1次近似
Exam FMでは、金利の変化（\(\Delta i\)）による現在価値の変化を、2つの異なる1次近似法を用いて近似することが求められます。
方法A：モディファイド・デュレーションに基づく1次線形近似
テイラー展開の第1項を用いると、価格の変化率は次のように近似されます。
\(\frac{\Delta P}{P} \approx -D_{mod} \cdot \Delta i\)
あるいは金額ベースでは：
\(\Delta P \approx -P(i) \cdot D_{mod} \cdot \Delta i\)
\(P(i + \Delta i) \approx P(i) \cdot (1 - D_{mod} \cdot \Delta i)\)
例： ある債券のモディファイド・デュレーションが7で、金利が0.5%上昇した場合（\(\Delta i = +0.005\)）、債券価格は約 \(-7 \cdot 0.005 = -3.5\%\) 変化（下落）します。
方法B：マコーレー・デュレーションに基づく1次近似
マコーレー・デュレーションに直接基づく年複利の近似式は、以下のように与えられます。
\(P(i + \Delta i) \approx P(i) \left(\frac{1+i}{1+i+\Delta i}\right)^{D_{mac}} = P(i) \left(1 + \frac{\Delta i}{1+i}\right)^{-D_{mac}}\)
したがって、概算の変化率は以下のようになります。
\(\frac{\Delta P}{P} \approx \left(1 + \frac{\Delta i}{1+i}\right)^{-D_{mac}} - 1\)
\(i\) の小さな変化に対してはどちらの方法も非常に近い近似値を与えますが、試験問題で指定された方法を必ず使用するようにしてください。
4. ステップ・バイ・ステップ：デュレーションの計算方法
キャッシュフローの系列からデュレーションを求めるExam FMの問題では、以下のステップに従ってください。
ステップ1： 時点 \(t\) とキャッシュフロー \(R_t\) を書き出す。
ステップ2： 与えられた金利を使って、各キャッシュフローの現在価値（PV）を計算する：\(PV(R_t) = R_t (1+i)^{-t}\)。
ステップ3： それらのPVを合計して、全体の価格（P）を求める。
ステップ4： 各支払いについて、PVに時点 \(t\) を掛ける。これらを合計して \(\sum t \cdot PV(R_t)\) を出す。
ステップ5： ステップ4の結果を価格で割る。これがマコーレー・デュレーション \(D_{mac}\) です。
ステップ6： 問題でモディファイド・デュレーションが問われている場合は、\(D_{mod} = \frac{D_{mac}}{1+i}\) を計算する。
よくある間違い： 最後に価格で割るのを忘れる学生が非常に多いです。デュレーションは加重平均であるため、全体の価値（価格）で割る必要があることを忘れないでください。
5. ポートフォリオのデュレーション
ポートフォリオのデュレーションは、個々の資産のデュレーションの加重平均であり、その重みは各資産の時価（Market Value）（価格）になります。
\(D_{port} = \sum_{j} w_j \cdot D_j\)
ここで \(w_j = \frac{P_j}{P_{total}}\) かつ \(\sum w_j = 1\) です。この公式は、マコーレー・デュレーションにもモディファイド・デュレーションにも同様に適用されます。
例： 債券Aに400ドル（デュレーション=3）、債券Bに600ドル（デュレーション=8）を投資している場合。
合計価値 = 1,000ドル。
\(D_{port} = \left(\frac{400}{1000} \cdot 3\right) + \left(\frac{600}{1000} \cdot 8\right) = 1.2 + 4.8 = 6.0\)。
6. まとめとSOA Exam FMの重要ルール
試験当日に向けて押さえておくべき核心事項は以下の通りです。
1. SOAのデフォルトルール： Exam FMの問題で特に指定がない限り、「デュレーション」はマコーレー・デュレーションを意味します（同様に「コンベクシティ」はモディファイド・コンベクシティを指します）。
2. マコーレー・デュレーション (\(D_{mac}\))： キャッシュフロー受け取りまでの時間の加重平均：\(D_{mac} = \frac{\sum t \cdot v^t R_t}{P}\)。「重心」と覚えましょう。
3. モディファイド・デュレーション (\(D_{mod}\))： \(-\frac{P'(i)}{P(i)}\) と定義される指標。価格感応度を測定します。
4. 両者の関係： \(D_{mod} = \frac{D_{mac}}{1+i} = v \cdot D_{mac}\)。
5. 線形近似： \(\frac{\Delta P}{P} \approx -D_{mod} \cdot \Delta i\)。
6. マコーレーによる近似： \(P(i + \Delta i) \approx P(i) \left(1 + \frac{\Delta i}{1+i}\right)^{-D_{mac}}\)。
7. ゼロクーポン債のルール： 満期 \(n\) 年のゼロクーポン債のマコーレー・デュレーションは、ちょうど \(n\) になります。