Probabilities for linear combinations of random variables

線形結合の世界へようこそ！

未来のアクチュアリーの皆さん、こんにちは！Exam P（確率論）の学習を進める中で、これまでは単一の確率変数と向き合う時間が長かったかもしれません。しかし、現実の世界、特に保険業界においては、一度に一つのことだけを考えることはまずありません。保険会社にとって重要なのは、たった一つの契約ではなく、複数の契約を通じた請求額の合計額です。そこで登場するのが線形結合（linear combinations）です！

この章では、確率変数を足したり、引いたり、定数倍したりしたときの平均、分散、確率の計算方法を学びます。最初は少し抽象的に感じるかもしれませんが、心配はいりません。パターンをつかんでしまえば、本番の試験で最も「得点源」になる分野の一つになりますよ！

線形結合とは一体何？

線形結合は、いわば数学のレシピのようなものだと考えてください。例えば、\( X \)（自動車事故の請求額など）と \( Y \)（火災保険の請求額など）という2つの確率変数があるとき、線形結合とは、それぞれに定数をかけて足し合わせた新しい変数 \( W \) のことを指します。

一般的な形は以下の通りです：
\( W = aX + bY + c \)

ここで、\( a \)、\( b \)、\( c \) は実数の定数です：
• \( a \) と \( b \) は重み（スケーリング係数）です。
• \( c \) は固定のシフト量（請求に加算される定額の事務手数料のようなもの）です。

ちょっとした例え話

リンゴを2ポンド（数量を \( X \) で表す）と、バナナを3ポンド（数量 \( Y \)）買う場面を想像してください。もし1ポンドあたりの価格が確率的（ランダム）に変動するなら、あなたの総支出は \( 2X + 3Y \) となります。これこそが線形結合です！

ステップ1：期待値を求める（線形的な部分）

期待値（Expected Value）（または平均）はとても素直な性質を持っています。それは期待値の線形性（linearity of expectation）というルールに従うからです。期待値の作用素を各項に分配します：

公式：
\( E[aX + bY + c] = aE[X] + bE[Y] + c \)

ここが素晴らしい点： この公式を使う際、\( X \) と \( Y \) が独立である必要はありません。有限な期待値を持つすべての確率変数に対して成り立ちます。

クイック復習：期待値のルール

• \( E[aX] = aE[X] \)
• \( E[X + Y] = E[X] + E[Y] \)
• \( E[c] = c \) （定数の期待値は、その定数そのものです）

ステップ2：分散を求める

分散はばらつきの尺度であるため、定数を足しても分散は変わりません。変数を組み合わせる際には、共分散（Covariance）を用いてそれらの関係性を考慮する必要があります。

公式：
\( Var(aX + bY + c) = a^2Var(X) + b^2Var(Y) + 2abCov(X, Y) \)

重要な注意点： \( c \) が消えていること、そして係数 \( a \) と \( b \) が2乗されていることに注目してください。

共分散とは？

共分散 \( Cov(X, Y) = E[XY] - E[X]E[Y] \) は、\( X \) と \( Y \) の線形関係の強さを測ります。もし \( X \) と \( Y \) が独立（independent）であれば、\( Cov(X, Y) = 0 \) となります。独立のもとでは、分散は以下のように簡略化されます：
\( Var(aX + bY) = a^2Var(X) + b^2Var(Y) \)

よくある間違い：変数の引き算

差 \( X - Y \) の分散を求める場合、\( Y \) の係数は \( -1 \) です。\( (-1)^2 = 1 \) であるため：
\( Var(X - Y) = Var(X) + Var(Y) - 2Cov(X, Y) \)
もし \( X \) と \( Y \) が独立なら：
\( Var(X - Y) = Var(X) + Var(Y) \)
絶対に分散を引き算してはいけません！ 不確実性は合算されるのです。

ステップ3：線形結合の確率を計算する

Exam Pでは、主に2つの設定（連続型の正規確率変数、および独立な離散型確率変数）、さらに中心極限定理を通じた大標本近似における線形結合の確率計算に焦点を当てます。

設定1：連続型の正規確率変数

独立な正規確率変数の任意の線形結合は、同様に正規分布に従います。もし \( X \sim N(\mu_X, \sigma_X^2) \) と \( Y \sim N(\mu_Y, \sigma_Y^2) \) が独立で、\( W = aX + bY \) であるなら：
• 平均：\( \mu_W = a\mu_X + b\mu_Y \)
• 分散：\( \sigma_W^2 = a^2\sigma_X^2 + b^2\sigma_Y^2 \)
• 分布：\( W \sim N(\mu_W, \sigma_W^2) \)

\( P(W \le w) \) のような確率を求めるには：
1. 標準偏差を計算する：\( \sigma_W = \sqrt{\sigma_W^2} \)
2. 標準化する：\( Z = \frac{W - \mu_W}{\sigma_W} \)
3. 試験で提供される標準正規分布表から \( P(Z \le z) = \Phi(z) \) を読み取る。

設定2：独立な離散型確率変数

\( X \) と \( Y \) が離散型かつ独立である場合、\( W = aX + bY \) の確率質量関数は、条件を満たすすべてのペア \( (x, y) \) について結合確率を合計することによって計算されます。

\( X \) と \( Y \) は独立であるため、結合確率は因数分解されます：\( P(X = x, Y = y) = P(X = x)P(Y = y) \)

離散型のたたきこみ（合成積）の公式：
和 \( S = X + Y \) に対して：
\( P(S = s) = \sum_{x} P(X = x) P(Y = s - x) \)

例： 独立な請求件数 \( X \) と \( Y \) の確率関数が \( P(X = 0) = 0.6 \)、\( P(X = 1) = 0.4 \)、および \( P(Y = 0) = 0.7 \)、\( P(Y = 1) = 0.3 \) であるとします。\( P(X + Y = 1) \) を求めるには：
\( P(X + Y = 1) = P(X = 0, Y = 1) + P(X = 1, Y = 0) = (0.6)(0.3) + (0.4)(0.7) = 0.18 + 0.28 = 0.46 \)

特別な離散型分布族：
• \( X \sim \text{Poisson}(\lambda_1) \) と \( Y \sim \text{Poisson}(\lambda_2) \) が独立なら、\( X + Y \sim \text{Poisson}(\lambda_1 + \lambda_2) \)
• \( X \sim \text{Binomial}(n_1, p) \) と \( Y \sim \text{Binomial}(n_2, p) \) が同一の成功確率 \( p \) を持ち独立なら、\( X + Y \sim \text{Binomial}(n_1 + n_2, p) \)

設定3：中心極限定理（確率の近似）

独立同分布（i.i.d.）に従う多数の確率変数の線形結合 \( S_n = \sum_{i=1}^n X_i \) を扱う場合、正確な分布は複雑になることがありますが、中心極限定理（CLT）によって正規近似が可能になります：

\( E[S_n] = n\mu \), \( \quad Var(S_n) = n\sigma^2 \)

\( n \) が十分に大きい場合、標準化された和は近似的に標準正規分布に従います：
\( Z = \frac{S_n - n\mu}{\sigma\sqrt{n}} \approx N(0, 1) \)

まとめと重要ポイント

1. 平均は線形： 独立性に関わらず、期待値は常に分配します：\( E[aX + bY] = aE[X] + bE[Y] \)
2. 分散には共分散が必要： \( Var(aX + bY) = a^2Var(X) + b^2Var(Y) + 2abCov(X, Y) \) です。独立であれば共分散項は0になります。
3. 正規分布は正規分布のまま： 独立な正規確率変数の線形結合は正規分布のままであり、\( Z \) への直接の標準化が可能です。
4. 離散型の和には合成積を使用： 独立な離散型確率変数の場合、目的の値を与えるすべてのペアにわたって積 \( P(X = x)P(Y = y) \) を合計します。
5. 大規模な和にはCLT： i.i.d.変数の和は、平均 \( n\mu \)、標準偏差 \( \sigma\sqrt{n} \) の正規分布を用いて近似します。