Policy values for insurance and annuities on joint lives

ยินดีต้อนรับสู่บทเรียนเรื่องมูลค่ากรมธรรม์สำหรับประกันชีวิตร่วม (Joint Lives)!

ในการเรียนที่ผ่านมา คุณได้เชี่ยวชาญวิธีการคำนวณมูลค่ากรมธรรม์ (เงินสำรอง) สำหรับบุคคลคนเดียวมาแล้ว ในทางปฏิบัติของวิชาชีพคณิตศาสตร์ประกันภัย การประกันภัยและทางเลือกเพื่อการเกษียณอายุมักจะครอบคลุมชีวิตเป็นคู่เสมอ เช่น คู่สามีภรรยา หรือหุ้นส่วนทางธุรกิจ ในบทนี้ เราจะมาศึกษาวิธีการหาและจัดการกับ มูลค่ากรมธรรม์ สำหรับทั้ง ประกันชีวิต และ เงินงวด บนชีวิตร่วม โดยใช้ทั้งสัญกรณ์สถานะแบบดั้งเดิมและกรอบ แบบจำลองสถานะหลายสถานะ (Multiple State Model)

1. หลักการพื้นฐานของการประเมินมูลค่ากรมธรรม์ร่วม

เช่นเดียวกับกรมธรรม์สำหรับบุคคลคนเดียว มูลค่ากรมธรรม์ (Policy Value) คาดการณ์ ณ เวลา \(t\) (เขียนแทนด้วย \(_tV\)) จะแสดงถึงมูลค่าปัจจุบันคาดหมายของผลประโยชน์และค่าใช้จ่ายในอนาคต หักด้วยมูลค่าปัจจุบันคาดหมายของเบี้ยประกันรวมหรือเบี้ยประกันสุทธิในอนาคต:

มูลค่ากรมธรรม์ = PVFB + PVFE – PVFP

สำหรับชีวิตร่วม \((x)\) และ \((y)\) กระแสเงินสดจะขึ้นอยู่กับการสิ้นสุดลงของสถานะและการรอดชีวิตของทั้งสองคน:

• สถานะมรณกรรมร่วม (Joint Life Status - \(xy\)): สถานะจะสิ้นสุดลงเมื่อมีคน คนแรก เสียชีวิต ไม่ว่าจะเป็น \(x\) หรือ \(y\)
• สถานะผู้รอดชีวิตคนสุดท้าย (Last Survivor Status - \(\overline{xy}\)): สถานะจะสิ้นสุดลงเมื่อคน คนที่สอง (คนสุดท้าย) เสียชีวิต

2. มูลค่ากรมธรรม์สำหรับประกันชีวิตร่วม (\(xy\))

สำหรับประกันชีวิตร่วมแบบไม่ต่อเนื่องเต็มรูปแบบที่จ่ายจำนวนเงินเอาประกันภัยเมื่อมีการเสียชีวิตคนแรก ซึ่งจัดหาเงินทุนด้วยเบี้ยประกันสุทธิคงที่รายปี \(P_{xy}\) ที่ต้องชำระในขณะที่ทั้งคู่ยังมีชีวิตอยู่:

\(_tV_{xy} = A_{x+t:y+t} - P_{xy} \cdot \ddot{a}_{x+t:y+t}\)

โดยที่ \(P_{xy} = \frac{A_{xy}}{\ddot{a}_{xy}}\) หากคนใดคนหนึ่งเสียชีวิตก่อนหรือ ณ เวลา \(t\) สัญญาจะสิ้นสุดลงและมูลค่ากรมธรรม์จะกลายเป็น 0

3. มูลค่ากรมธรรม์สำหรับประกันชีวิตแบบผู้รอดชีวิตคนสุดท้าย (\(\overline{xy}\))

กรมธรรม์แบบผู้รอดชีวิตคนสุดท้ายจะจ่ายผลประโยชน์เมื่อมีการเสียชีวิตคนที่สองเท่านั้น การหามูลค่ากรมธรรม์จะขึ้นอยู่กับว่าใครยังมีชีวิตอยู่ ณ เวลา \(t\) โดยตรง:

• ในขณะที่ทั้งคู่ยังมีชีวิตอยู่ (สถานะ 0): หากมีการชำระเบี้ยประกันรายปี \(P_{\overline{xy}}\) ในขณะที่มีชีวิตอยู่อย่างน้อยหนึ่งคน เงินสำรองคือ \(_tV^{(0)} = A_{\overline{x+t:y+t}} - P_{\overline{xy}} \cdot \ddot{a}_{\overline{x+t:y+t}}\)
• หลังจากการเสียชีวิตของ \(y\) (สถานะ 1): สัญญาจะดำเนินต่อไปสำหรับ \(x\) เพียงคนเดียว เงินสำรองคาดการณ์จะกลายเป็น \(_tV^{(1)} = A_{x+t} - P \cdot \ddot{a}_{x+t}\) (โดยใช้กฎเกณฑ์เบี้ยประกันภัยใดก็ตามที่มีผลบังคับใช้หลังจากการเสียชีวิตคนแรก)
• หลังจากการเสียชีวิตของ \(x\) (สถานะ 2): เงินสำรองคาดการณ์จะกลายเป็น \(_tV^{(2)} = A_{y+t} - P \cdot \ddot{a}_{y+t}\)

ข้อควรระวังสำคัญเกี่ยวกับเอกลักษณ์เชิงเส้น: แม้ว่ามูลค่าปัจจุบันคาดหมายของผลประโยชน์จะเป็นไปตาม \(A_{\overline{xy}} = A_x + A_y - A_{xy}\) แต่มูลค่ากรมธรรม์โดยทั่วไปจะ ไม่ เป็นไปตาม \(_tV_{\overline{xy}} = \ _tV_x + \ _tV_y - \ _tV_{xy}\) สำหรับกรมธรรม์ที่มีการชำระเบี้ยประกัน เนื่องจากเบี้ยประกันภัยตามหลักความเท่าเทียมกัน \(P_{\overline{xy}} \neq P_x + P_y - P_{xy}\)

4. มูลค่ากรมธรรม์สำหรับเงินงวดร่วมและเงินงวดสืบเนื่อง (Reversionary Annuities)

การประเมินมูลค่าเงินงวดร่วมจำเป็นต้องติดตามการจ่ายเงินที่ขึ้นอยู่กับการรอดชีวิตของสถานะ:

• เงินงวดสำหรับสถานะมรณกรรมร่วม (Joint Life Annuity): จ่าย 1 ณ ต้นปีแต่ละปีในขณะที่ทั้งคู่ยังมีชีวิตอยู่ มูลค่ากรมธรรม์คาดการณ์ ณ ระยะเวลา \(t\) (สำหรับสัญญาที่ชำระเบี้ยประกันครั้งเดียว) คือ \(_tV = \ddot{a}_{x+t:y+t}\)
• เงินงวดสำหรับสถานะผู้รอดชีวิตคนสุดท้าย (Last Survivor Annuity): จ่าย 1 ในขณะที่มีชีวิตอยู่อย่างน้อยหนึ่งคน ในขณะที่ทั้งคู่ยังมีชีวิตอยู่ \(_tV^{(0)} = \ddot{a}_{\overline{x+t:y+t}} = \ddot{a}_{x+t} + \ddot{a}_{y+t} - \ddot{a}_{x+t:y+t}\) และหลังจากการเสียชีวิตของ \(y\) เงินสำรองจะลดลงทันทีไปเป็นเงินสำรองสำหรับเงินงวดบุคคลเดียว \(_tV^{(1)} = \ddot{a}_{x+t}\)
• เงินงวดสืบเนื่อง (Reversionary Annuity): จ่ายเงินงวดให้แก่ \(x\) หลังจากการเสียชีวิตของ \(y\) โดยมีเงื่อนไขว่า \(x\) ต้องรอดชีวิตอยู่หลังจาก \(y\) เสียชีวิต ในขณะที่ทั้งสองคนยังมีชีวิตอยู่ มูลค่าปัจจุบันคาดหมายของผลประโยชน์ในอนาคตคือ \(a_{x+t|y+t} = \ddot{a}_{x+t} - \ddot{a}_{x+t:y+t}\) หากจัดหาเงินทุนด้วยเบี้ยประกันคงที่ \(P\) ที่ต้องชำระในขณะที่ทั้งคู่ยังมีชีวิตอยู่ เงินสำรองคาดการณ์ ณ ระยะเวลา \(t\) คือ \(_tV^{(0)} = (\ddot{a}_{x+t} - \ddot{a}_{x+t:y+t}) - P \cdot \ddot{a}_{x+t:y+t}\) เมื่อ \(y\) เสียชีวิต การชำระเบี้ยประกันจะสิ้นสุดลง และเงินสำรองจะเกิดการ กระโดด ไปเป็นมูลค่าเต็มของเงินงวดสำหรับบุคคลเดียว: \(_tV^{(1)} = \ddot{a}_{x+t}\)

5. กรอบแบบจำลองสถานะหลายสถานะ (Multiple State Model)

สัญญากรมธรรม์ประกันชีวิตร่วมสามารถสร้างแบบจำลองอย่างเป็นระบบได้ด้วยแบบจำลองมาร์คอฟแบบ 4 สถานะ ทั้งในเวลาต่อเนื่องหรือเวลาไม่ต่อเนื่อง:

• สถานะ 0: ทั้ง \(x\) และ \(y\) ยังมีชีวิตอยู่
• สถานะ 1: \(x\) ยังมีชีวิตอยู่ แต่ \(y\) เสียชีวิตแล้ว
• สถานะ 2: \(y\) ยังมีชีวิตอยู่ แต่ \(x\) เสียชีวิตแล้ว
• สถานะ 3: ทั้ง \(x\) และ \(y\) เสียชีวิตแล้ว

ในกรอบนี้ \(_tV^{(i)}\) แทนมูลค่ากรมธรรม์ ณ เวลา \(t\) โดยมีเงื่อนไขว่ากรมธรรม์อยู่ในสถานะ \(i\)

6. สมการเวียนเกิดและสมการเชิงอนุพันธ์ของ Thiele

สมการเวียนเกิดแบบเวลาไม่ต่อเนื่อง:

สำหรับกรมธรรม์ที่อยู่ในสถานะ 0 ณ เวลา \(t\) โดยมีเบี้ยประกันรายปี \(P_t\) ที่ได้รับ ณ ต้นปี และผลประโยชน์การเปลี่ยนผ่าน \(S_{t+1}^{(0j)}\) ที่จ่าย ณ สิ้นปี:

\((_tV^{(0)} + P_t)(1+i) = p_{x+t:y+t}^{00} \cdot \ _{t+1}V^{(0)} + \sum_{j=1}^{3} p_{x+t:y+t}^{0j} \left( S_{t+1}^{(0j)} + \ _{t+1}V^{(j)} \right)\)

โดยที่ \(_{t+1}V^{(3)} = 0\) เนื่องจากไม่มีผลประโยชน์ในอนาคตหลังจากการถูกดูดซับเข้าสู่สถานะสิ้นสุด (สถานะ 3)

สมการเชิงอนุพันธ์ของ Thiele แบบเวลาต่อเนื่อง:

ในเวลาต่อเนื่อง ให้ \(\delta\) เป็นแรงของดอกเบี้ย, \(P_t^{(0)}\) เป็นอัตราการไหลเข้าของกระแสเงินสดจากเบี้ยประกัน, \(B_t^{(0)}\) เป็นอัตราการจ่ายผลประโยชน์เงินงวดต่อเนื่องในสถานะ 0, \(S_t^{(0j)}\) เป็นผลประโยชน์เงินก้อนที่จ่ายเมื่อเกิดการเปลี่ยนผ่านจาก 0 ไปยัง \(j\) และ \(\mu_{x+t:y+t}^{0j}\) เป็นความหนาแน่นของการเปลี่ยนสถานะ (transition intensity) สมการของ Thiele สำหรับสถานะ 0 คือ:

\(\frac{d}{dt} \ _tV^{(0)} = \delta \cdot \ _tV^{(0)} + P_t^{(0)} - B_t^{(0)} - \sum_{j \neq 0} \mu_{x+t:y+t}^{0j} \left( S_t^{(0j)} + \ _tV^{(j)} - \ _tV^{(0)} \right)\)

พจน์ \(\left( S_t^{(0j)} + \ _tV^{(j)} - \ _tV^{(0)} \right)\) คือ จำนวนเงินเสี่ยงภัยสุทธิ (net amount at risk) ที่สัมพันธ์กับการเปลี่ยนผ่าน \(0 \to j\)

7. สรุปและประเด็นสำคัญ

• สถานะมรณกรรมร่วม (\(xy\)): กระแสเงินสดจะสิ้นสุดลงเมื่อมีการเสียชีวิตคนแรก โดยเงินสำรองจะสะท้อนถึงความน่าจะเป็นของการรอดชีวิตร่วม \(_k p_{xy}\)
• สถานะผู้รอดชีวิตคนสุดท้าย (\(\overline{xy}\)): กระแสเงินสดจะดำเนินต่อไปจนกว่าจะมีการเสียชีวิตคนที่สอง เงินสำรองจะต้องถูกติดตามแยกตามสถานะที่แตกต่างกัน (ทั้งคู่ยังมีชีวิตอยู่ เทียบกับ เหลือผู้รอดชีวิตเพียงคนเดียว)
• เงินสำรองสำหรับเงินงวด: เงินงวดสืบเนื่องจะแสดงการกระโดดอย่างมีนัยสำคัญของมูลค่ากรมธรรม์เมื่อชีวิตหลักเสียชีวิตลง โดยเปลี่ยนจาก \(_tV^{(0)}\) ไปเป็นเงินสำรองสำหรับบุคคลเดียวแบบเต็มจำนวน \(_tV^{(1)} = \ddot{a}_{x+t}\)
• เครื่องมือในการประเมินมูลค่า: มูลค่ากรมธรรม์แบบเวลาไม่ต่อเนื่องจะพัฒนาผ่านสมการเวียนเกิดของการเปลี่ยนผ่านแบบมาร์คอฟ ในขณะที่มูลค่ากรมธรรม์แบบเวลาต่อเนื่องจะเป็นไปตามสมการเชิงอนุพันธ์ของ Thiele