ยินดีต้อนรับสู่โลกของค่าสินไหมทดแทนรวม (Aggregate Claims)!

สวัสดี! ถ้าคุณมาถึงจุดนี้ของการสอบ Exam ASTAM ได้ แสดงว่าคุณรู้อยู่แล้วว่าบริษัทประกันไม่ได้สนใจแค่ค่าสินไหมทดแทนรายกรณีเท่านั้น แต่สิ่งที่เขาให้ความสำคัญที่สุดคือ ยอดรวม (total amount) ที่ต้องจ่ายออกไปในช่วงเวลาหนึ่ง ซึ่งยอดรวมนี้เราเรียกว่า ค่าสินไหมทดแทนรวม (Aggregate Claim) โดยมักแทนด้วยสัญลักษณ์ \(S\)

ในบทนี้ เราจะมาเรียนรู้วิธีการคำนวณการแจกแจงความน่าจะเป็นของ \(S\) กัน ทำไมเรื่องนี้ถึงสำคัญน่ะเหรอ? ก็เพราะถ้านักคณิตศาสตร์ประกันภัยไม่สามารถคาดการณ์โอกาสที่ยอดจ่ายจริงจะสูงเกินกว่างบประมาณที่ตั้งไว้ได้ บริษัทก็อาจจะไม่มีเงินพอสำหรับจ่ายค่าสินไหม! เราจะเน้นชุดเครื่องมือหลัก 2 อย่าง คือ การสังวัตนาการ (Convolution) (สำหรับกรณีที่เรารู้จำนวนครั้งที่เกิดเหตุแน่นอน) และ สูตรเวียนเกิด (Recursive Formulas) (สูตรเวียนเกิดของ Panjer และส่วนขยายไปยังกลุ่ม \((a, b, 0)\) และ \((a, b, 1)\) สำหรับกรณีที่จำนวนครั้งของการเกิดเหตุเป็นตัวแปรสุ่ม)

ไม่ต้องกังวลถ้าคณิตศาสตร์ดูจะหนักหน่วงในตอนแรก เราจะค่อยๆ ย่อยมันให้เป็นส่วนเล็กๆ ที่เข้าใจง่ายเอง!

1. พื้นฐานสำคัญ: \(S\) คืออะไร?

ก่อนจะลุยสูตร เรามาทบทวนแบบจำลองความเสี่ยงรวม (collective risk model) หลักของเรากันก่อน:

\(S = X_1 + X_2 + \dots + X_N\)

โดยที่:
• \(N\) คือ ความถี่ (Frequency) (จำนวนครั้งที่เกิดค่าสินไหม)
• \(X_i\) คือ ความรุนแรง (Severity) (ต้นทุนหรือมูลค่าของค่าสินไหมครั้งที่ \(i\))
• \(S\) คือ ค่าสินไหมทดแทนรวม (Aggregate Loss) (ผลรวมทั้งหมดที่บริษัทต้องจ่าย โดยที่ \(S = 0\) เมื่อ \(N = 0\))

ในบทนี้ เราสมมติว่า \(X_i\) ทุกตัวเป็นตัวแปรสุ่มที่ไม่เป็นลบซึ่ง เป็นอิสระต่อกันและมีการแจกแจงเหมือนกัน (i.i.d.) และเป็นอิสระจากตัวแปร \(N\) ด้วย

2. วิธีการสังวัตนาการ (The Convolution Method)

ลองจินตนาการว่าคุณรู้แน่นอนว่าเกิดเหตุการณ์ขึ้นทั้งหมด 2 ครั้ง (\(N=2\)) หากต้องการหาความน่าจะเป็นที่ต้นทุนรวมจะเป็น \$100 คุณต้องพิจารณาทุกวิถีทางที่ตัวเลขไม่เป็นลบสองตัวจะรวมกันได้ 100 (เช่น 20+80, 50+50, 0+100)

การสังวัตนาการ (Convolution) ก็คือวิธีทางคณิตศาสตร์ที่เป็นทางการในการหาผลรวมของตัวแปรสุ่มที่เป็นอิสระต่อกันในทุกกรณีที่เป็นไปได้

วิธีการทำงาน:

หากเรากำหนดให้ \(f_X(x)\) คือฟังก์ชันมวลความน่าจะเป็น (pmf) ของความรุนแรงแบบไม่ต่อเนื่อง \(X\) แล้วค่า pmf ของผลรวมของค่าสินไหม \(n\) ครั้ง ซึ่งแทนด้วย \(n\)-fold convolution \(f_X^{*n}(s)\) สามารถคำนวณได้ดังนี้:

\(f_X^{*n}(s) = \sum_{x=0}^{s} f_X(x) \cdot f_X^{*(n-1)}(s-x)\)

ขั้นตอนการคำนวณทีละขั้น:

1. เริ่มที่ \(n=0\) และ \(n=1\): โดยนิยามแล้ว \(f_X^{*0}(0) = 1\) (และเป็น 0 ในกรณีอื่น) ในขณะที่ \(f_X^{*1}(s) = f_X(s)\)
2. ขยับไปที่ \(n=2\): คำนวณ 2-fold convolution: \(f_X^{*2}(s) = \sum_{x=0}^{s} f_X(x) f_X(s-x)\)
3. ทำต่อไปเรื่อยๆ: สำหรับ \(n=3\) นำ \(f_X(x)\) มาสังวัตนาการกับผลลัพธ์ของ \(f_X^{*2}\)
4. การแจกแจงรวม: ถ้า \(N\) เป็นตัวแปรสุ่ม ค่า pmf รวมคือ \(f_S(s) = \sum_{n=0}^{\infty} p_n f_X^{*n}(s)\) และฟังก์ชันการแจกแจงสะสมคือ \(F_S(s) = \sum_{n=0}^{\infty} p_n F_X^{*n}(s)\)

สรุปประเด็นสำคัญ: แม้การสังวัตนาการจะเข้าใจง่ายในเชิงแนวคิด แต่การคำนวณสำหรับแบบจำลองประกอบที่มี \(N\) แบบไม่มีขอบเขตนั้นจำเป็นต้องหาผลรวมของการสังวัตนาการแบบอนันต์ ซึ่งเป็นไปไม่ได้ในทางปฏิบัติหากต้องคำนวณด้วยมือ

3. สูตรเวียนเกิดของ Panjer: กลุ่ม \((a, b, 0)\)

เพื่อหลีกเลี่ยงการคำนวณการสังวัตนาการที่ไม่สิ้นสุด Harry Panjer ได้นำเสนอความสัมพันธ์เวียนเกิดที่แม่นยำเมื่อความถี่ \(N\) อยู่ใน กลุ่ม \((a, b, 0)\)

ความสัมพันธ์ของกลุ่ม \((a, b, 0)\)

จำไว้ว่าสำหรับการแจกแจงในตระกูล \((a, b, 0)\) ความน่าจะเป็นจะเป็นไปตามเงื่อนไข:
\(p_k = \left(a + \frac{b}{k}\right) p_{k-1}, \quad k = 1, 2, 3, \dots\)

สมาชิกทั้งสามของการแจกแจงกลุ่มนี้ได้แก่:
• Poisson(\(\lambda\)): \(a = 0\), \(b = \lambda\), \(p_0 = e^{-\lambda}\)
• Binomial(\(m, q\)): \(a = -\frac{q}{1-q} < 0\), \(b = \frac{(m+1)q}{1-q}\), \(p_0 = (1-q)^m\)
• Negative Binomial(\(r, \beta\)): \(a = \frac{\beta}{1+\beta} > 0\), \(b = \frac{(r-1)\beta}{1+\beta}\), \(p_0 = (1+\beta)^{-r}\)

สูตรเวียนเกิดของกลุ่ม \((a, b, 0)\)

สำหรับการแจกแจงความรุนแรงแบบไม่ต่อเนื่องที่มี pmf คือ \(f_X(x)\) ซึ่งนิยามบนจำนวนเต็มไม่เป็นลบ \(x = 0, 1, 2, \dots\) ค่า pmf ของค่าสินไหมรวม \(f_S(s)\) จะเป็นไปตามสมการ:

\(f_S(s) = \frac{1}{1 - a f_X(0)} \sum_{x=1}^{s} \left(a + \frac{b x}{s}\right) f_X(x) f_S(s-x), \quad s = 1, 2, 3, \dots\)

ค่าเริ่มต้น: \(f_S(0)\)

ในการเริ่มใช้สูตรเวียนเกิด เราต้องมีค่า \(f_S(0) = P(S = 0)\) ค่าสินไหมรวมจะเท่ากับศูนย์ก็ต่อเมื่อไม่มีการเกิดค่าสินไหมขึ้น หรือค่าสินไหมทั้งหมดที่เกิดขึ้นมีมูลค่าเป็นศูนย์:
\(f_S(0) = P_N(f_X(0))\)

โดยที่ \(P_N(z) = E[z^N]\) คือ ฟังก์ชันสร้างความน่าจะเป็น (pgf) ของ \(N\)
ถ้า \(f_X(0) = 0\) (ค่าสินไหมมีค่ามากกว่าศูนย์อย่างแท้จริง) สูตรจะลดรูปลงอย่างสวยงามเป็น \(f_S(0) = P_N(0) = p_0\) และตัวประกอบ \(\frac{1}{1 - a f_X(0)}\) จะกลายเป็น 1

4. การขยายสูตรเวียนเกิด: กลุ่ม \((a, b, 1)\)

ในการสอบ Exam ASTAM แบบจำลองค่าสินไหมรวมมักจะมีการแจกแจงความถี่แบบ ตัดปลายที่ศูนย์ (zero-truncated) หรือ ปรับค่าที่ศูนย์ (zero-modified) ซึ่งการแจกแจงเหล่านี้รวมกันเป็น กลุ่ม \((a, b, 1)\) โดยที่ความสัมพันธ์เวียนเกิดจะเริ่มที่ \(k = 2\):

\(p_k = \left(a + \frac{b}{k}\right) p_{k-1}, \quad k = 2, 3, 4, \dots\)

เนื่องจากความสัมพันธ์นี้ไม่ครอบคลุมจาก \(k=0\) ถึง \(k=1\) จึงต้องมีพจน์การปรับค่าเพิ่มเข้ามาที่ขั้นตอน \(x=s\)

สูตรเวียนเกิดของกลุ่ม \((a, b, 1)\)

สำหรับความถี่ \(N\) ในกลุ่ม \((a, b, 1)\) ร่วมกับความรุนแรงแบบไม่ต่อเนื่องบน \(x = 0, 1, 2, \dots\) สูตรเวียนเกิดสำหรับ \(s = 1, 2, 3, \dots\) คือ:

\(f_S(s) = \frac{\left[p_1 - (a + b) p_0\right] f_X(s) + \sum_{x=1}^{s} \left(a + \frac{b x}{s}\right) f_X(x) f_S(s-x)}{1 - a f_X(0)}\)

ข้อสังเกตเรื่องความเชื่อมโยง: เมื่อ \(N\) อยู่ในกลุ่ม \((a, b, 0)\) จะได้ \(p_1 = (a + b) p_0\) ดังนั้นพจน์ในวงเล็บเหลี่ยม \(\left[p_1 - (a+b)p_0\right]\) จะลดรูปกลายเป็นศูนย์ ซึ่งจะตรงกับสูตรเดิมของ Panjer พอดีเป๊ะ!

ค่าเริ่มต้นสำหรับกลุ่ม \((a, b, 1)\):

เช่นเดียวกันกับก่อนหน้านี้ \(f_S(0) = P_N(f_X(0))\) ถ้า \(f_X(0) = 0\) แล้ว \(f_S(0) = p_0\) และสำหรับการแจกแจงแบบตัดปลายที่ศูนย์ ซึ่ง \(p_0 = 0\) จะได้ \(f_S(0) = 0\)

การหาฟังก์ชันการแจกแจง \(F_S(s)\)

เมื่อคุณคำนวณ \(f_S(0), f_S(1), \dots, f_S(s)\) ได้แล้ว ฟังก์ชันการแจกแจงสะสมสามารถหาได้ง่ายๆ โดยการบวกสะสมความน่าจะเป็นเข้าด้วยกัน:
\(F_S(s) = \sum_{y=0}^{s} f_S(y)\)

5. ขั้นตอนการคำนวณสูตรเวียนเกิดทีละขั้นและความรุนแรงแบบต่อเนื่อง

วิธีประยุกต์ใช้สูตรเวียนเกิดในการสอบ:

1. ระบุประเภทความถี่: พิจารณาว่า \(N\) อยู่ในกลุ่ม \((a, b, 0)\) หรือ \((a, b, 1)\) แล้วดึงค่า \(a\), \(b\), \(p_0\) และ \(p_1\) ออกมา
2. หาค่า \(f_S(0)\): คำนวณ \(P_N(f_X(0))\)
3. คำนวณ \(f_S(1)\): ใช้สูตรแทนค่า \(s=1\) (ซึ่งจะใช้ค่า \(f_S(0)\))
4. คำนวณ \(f_S(2), f_S(3), \dots\): แต่ละขั้นตอนจะใช้ค่า \(f_S(s-x)\) ที่คำนวณไว้ก่อนหน้า
5. สะสมค่า \(F_S(s)\): รวมค่าที่คำนวณได้เข้าด้วยกันหากโจทย์ถามหาความน่าจะเป็นสะสม \(P(S \le s)\) หรือเบี้ยประกันภัยส่วนเกินความเสียหาย (stop-loss premium)

ถ้าความรุนแรงเป็นตัวแปรต่อเนื่องล่ะ?

สูตรเวียนเกิดจำเป็นต้องใช้การแจกแจงความรุนแรงแบบไม่ต่อเนื่อง เมื่อความรุนแรงที่แท้จริงเป็นแบบต่อเนื่อง เราต้อง ทำให้เป็นค่าไม่ต่อเนื่อง (discretize) ก่อน โดยแบ่งเป็นตารางที่มีขนาดช่วง \(h\) โดยใช้หนึ่งในสองวิธีนี้:
• วิธีปัดเศษ (Method of Rounding): กำหนดมวลความน่าจะเป็นให้กับจุดบนตาราง \(jh\) โดยอิงจากช่วงที่อยู่รอบๆ จุดนั้น: \(f_j = F_X(jh + h/2) - F_X(jh - h/2)\) สำหรับ \(j \ge 1\) และ \(f_0 = F_X(h/2)\)
• วิธีจับคู่โมเมนต์เฉพาะส่วน (Method of Local Moment Matching): จับคู่โมเมนต์ในช่วงย่อยต่างๆ เพื่อคงค่าเฉลี่ยและ/หรือความแปรปรวนเฉพาะส่วนไว้

6. ทบทวนรวดเร็วและจุดที่ต้องระวังในการสอบ

ระวังดัชนี: ในสูตร Panjer ทั้งสองแบบ ผลรวมจะเริ่มจาก \(x=1\) ถึง \(s\) เสมอ และไม่เริ่มที่ \(x=0\) โดยส่วนของ \(x=0\) ได้ถูกนำไปคิดไว้ในตัวส่วน \(1 - a f_X(0)\) แล้ว
พจน์การถ่วงน้ำหนัก: ค่าน้ำหนักภายในผลรวมคือ \(\left(a + \frac{b x}{s}\right)\) เสมอ สังเกตว่า \(x\) คือดัชนีของความรุนแรงในรอบนั้น และ \(s\) คือดัชนีของค่าสินไหมรวม
แบบปรับค่าที่ศูนย์เทียบกับแบบตัดปลายที่ศูนย์: สำหรับแบบจำลอง \((a, b, 1)\) อย่าลืมพจน์พิเศษ \(\left[p_1 - (a+b)p_0\right] f_X(s)\) หากความถี่เป็นแบบตัดปลายที่ศูนย์ จะได้ \(p_0 = 0\) และพจน์นี้จะลดรูปลงเหลือเพียง \(p_1 f_X(s)\)