ยินดีต้อนรับสู่การประมาณค่าแบบ Empirical Bayesian!
ในทฤษฎี Credibility แบบเบย์เซียนดั้งเดิม (Classical Bayesian Credibility) เราต้องระบุทั้งการแจกแจงแบบมีเงื่อนไขสำหรับความเสี่ยงเมื่อกำหนดพารามิเตอร์ความเสี่ยง \(\Theta\) และการแจกแจงก่อนหน้า (Prior distribution) สำหรับ \(\Theta\) อย่างไรก็ตาม ในทางปฏิบัติ เราแทบไม่เคยรู้การแจกแจงก่อนหน้าของ \(\Theta\) เลย และนี่คือจุดที่ Empirical Bayesian Estimation เข้ามามีบทบาท แทนที่เราจะสมมติการแจกแจงก่อนหน้าขึ้นมา เราจะประมาณค่าพารามิเตอร์เชิงโครงสร้าง (Structural parameters)—ได้แก่ ค่าเฉลี่ยรวม \(\mu\), ค่าคาดหมายของความแปรปรวนของกระบวนการ (EPV) \(v\), และความแปรปรวนของค่าเฉลี่ยสมมติฐาน (VHM) \(a\)—โดยตรงจากข้อมูลในอดีตของกลุ่มความเสี่ยงหลายๆ ราย
วิธีการนี้แบ่งออกเป็นสองกรณีหลักตามระดับของการตั้งสมมติฐานเกี่ยวกับการแจกแจง:
- การประมาณค่าแบบ Nonparametric: ไม่มีการสมมติรูปแบบการแจกแจงแบบพารามิเตอร์ใดๆ ทั้งสำหรับการแจกแจงความเสียหายแบบมีเงื่อนไขหรือการแจกแจงก่อนหน้าของพารามิเตอร์ การประมาณค่าจะพึ่งพาโมเมนต์ตัวอย่างและความแปรปรวนของตัวอย่างทั้งหมด
- การประมาณค่าแบบ Semiparametric: มีการสมมติรูปแบบการแจกแจงแบบมีเงื่อนไขที่มีพารามิเตอร์สำหรับความเสียหายเมื่อกำหนด \(\Theta\) (เช่น การแจกแจงปัวซง หรือการแจกแจงแบบเอ็กซ์โพเนนเชียล) ซึ่งจะสร้างความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันระหว่างค่าเฉลี่ยแบบมีเงื่อนไขและความแปรปรวนแบบมีเงื่อนไขขึ้นมา อย่างไรก็ตาม ยังคงไม่มีการสมมติการแจกแจงสำหรับ \(\Theta\)
1. กรณี Nonparametric
ในบริบทแบบ Nonparametric เราสมมติว่าเรามีข้อมูลของความเสี่ยงทั้งหมด \(k\) ราย เราจะพิจารณาสองโมเดลมาตรฐาน ได้แก่ กรณีที่ขนาดตัวอย่างเท่ากัน และกรณีที่ Exposure ไม่เท่ากัน
โมเดลที่ 1: ขนาดตัวอย่างเท่ากัน (โมเดลของ Bühlmann)
สมมติว่าผู้ถือกรมธรรม์แต่ละรายจากทั้ง \(k\) ราย มีการเก็บข้อมูลเป็นเวลา \(n\) งวด โดยมีจำนวนเงินเคลมที่สังเกตได้เท่ากับ \(X_{ij}\) สำหรับความเสี่ยง \(i\) ในงวดที่ \(j\)
ขั้นตอนที่ 1: ค่าเฉลี่ยสำหรับแต่ละกลุ่มความเสี่ยง
\(\bar{X}_i = \frac{1}{n} \sum_{j=1}^{n} X_{ij}\)
ขั้นตอนที่ 2: ค่าเฉลี่ยรวม (\(\hat{\mu}\))
\(\hat{\mu} = \bar{X} = \frac{1}{k} \sum_{i=1}^{k} \bar{X}_i\)
ขั้นตอนที่ 3: ค่าคาดหมายของความแปรปรวนของกระบวนการ (\(\hat{v}\))
เราหาค่าเฉลี่ยของความแปรปรวนตัวอย่างที่ไม่เอนเอียง (Unbiased sample variances) จากผู้ถือกรมธรรม์ทั้ง \(k\) ราย:
\(\hat{v} = \frac{1}{k(n - 1)} \sum_{i=1}^{k} \sum_{j=1}^{n} (X_{ij} - \bar{X}_i)^2\)
ขั้นตอนที่ 4: ความแปรปรวนของค่าเฉลี่ยสมมติฐาน (\(\hat{a}\))
ความแปรปรวนตัวอย่างของ \(\bar{X}_i\) จะประมาณค่า \(Var(\bar{X}_i) = a + \frac{v}{n}\) ดังนั้น เราจึงได้ตัวประมาณค่าที่ไม่เอนเอียงของ \(a\) โดยการหักลบองค์ประกอบความแปรปรวนของกระบวนการที่ประมาณได้ออกไป:
\(\hat{a} = \frac{1}{k - 1} \sum_{i=1}^{k} (\bar{X}_i - \bar{X})^2 - \frac{\hat{v}}{n}\)
โมเดลที่ 2: Exposure ไม่เท่ากัน (โมเดลแบบ Nonparametric ของ Bühlmann-Straub)
เมื่อความเสี่ยงแต่ละรายมี Exposure \(m_{ij}\) แตกต่างกันไปตามงวด \(j = 1, \dots, n_i\) ให้กำหนดให้ \(m_i = \sum_{j=1}^{n_i} m_{ij}\) และ \(m = \sum_{i=1}^{k} m_i\) โดยค่าเฉลี่ยของความเสี่ยงแต่ละรายคือ \(\bar{X}_i = \frac{1}{m_i} \sum_{j=1}^{n_i} m_{ij} X_{ij}\) และค่าเฉลี่ยรวมคือ \(\bar{X} = \frac{1}{m} \sum_{i=1}^{k} m_i \bar{X}_i\)
การประมาณค่า \(v\):
\(\hat{v} = \frac{1}{\sum_{i=1}^{k} (n_i - 1)} \sum_{i=1}^{k} \sum_{j=1}^{n_i} m_{ij} (X_{ij} - \bar{X}_i)^2\)
การประมาณค่า \(a\):
\(\hat{a} = \frac{\sum_{i=1}^{k} m_i (\bar{X}_i - \bar{X})^2 - (k - 1)\hat{v}}{m - \frac{1}{m} \sum_{i=1}^{k} m_i^2}\)
2. กรณี Semiparametric
ใน Semiparametric Empirical Bayesian Estimation เราจะระบุรูปแบบของการแจกแจงแบบมีเงื่อนไข \(X_{ij} | \Theta_i\) แต่จะปล่อยให้การแจกแจงก่อนหน้าของ \(\Theta\) ไม่ถูกเจาะจง เนื่องจากโมเดลแบบมีเงื่อนไขได้กำหนดความสัมพันธ์ทางคณิตศาสตร์ระหว่างค่าเฉลี่ยแบบมีเงื่อนไข \(\mu(\Theta)\) และความแปรปรวนแบบมีเงื่อนไข \(v(\Theta)\) ไว้แล้ว เราจึงสามารถประมาณค่า \(v\) ได้โดยตรงจากความเชื่อมโยงเชิงโครงสร้างนี้ แทนที่จะต้องใช้ความแปรปรวนตัวอย่างล้วนๆ
โมเดลความถี่แบบปัวซง (Poisson Frequency Model)
โมเดลแบบกึ่งพารามิเตอร์ที่พบบ่อยที่สุดเกิดขึ้นเมื่อจำนวนครั้งการเกิดเคลม \(N_{ij}\) เมื่อกำหนด \(\Theta_i\) มีการแจกแจงแบบปัวซงด้วยค่าเฉลี่ย \(m_{ij} \lambda(\Theta_i)\) โดยกำหนดให้ \(X_{ij} = \frac{N_{ij}}{m_{ij}}\) เป็นอัตราการเกิดเคลมต่อหนึ่งหน่วย Exposure
สำหรับตัวแปรสุ่มแบบปัวซง ความแปรปรวนแบบมีเงื่อนไขจะเท่ากับค่าเฉลี่ยแบบมีเงื่อนไข:
\(E[X_{ij} | \Theta_i] = \mu(\Theta_i) = \lambda(\Theta_i)\)
\(Var(X_{ij} | \Theta_i) = \frac{\lambda(\Theta_i)}{m_{ij}} = \frac{\mu(\Theta_i)}{m_{ij}}\)
ดังนั้น พารามิเตอร์ความแปรปรวนของกระบวนการคือ \(v(\Theta_i) = \mu(\Theta_i)\) ซึ่งบ่งชี้ว่า:
\(v = E[v(\Theta)] = E[\mu(\Theta)] = \mu\)
การประมาณค่าพารามิเตอร์สำหรับโมเดล Semiparametric แบบปัวซง:
1. ค่าเฉลี่ยรวม: \(\hat{\mu} = \bar{X} = \frac{1}{m} \sum_{i=1}^{k} \sum_{j=1}^{n_i} m_{ij} X_{ij} = \frac{\text{ผลรวมเคลมทั้งหมด}}{\text{ผลรวม Exposure ทั้งหมด}}\)
2. ความแปรปรวนของกระบวนการ: เนื่องจาก \(v = \mu\) ค่าประมาณการของเราจึงได้ทันทีเป็น:
\(\hat{v} = \hat{\mu}\)
3. ความแปรปรวนของค่าเฉลี่ยสมมติฐาน: เราแทนค่า \(\hat{v} = \hat{\mu}\) ลงในตัวเศษของสูตร Bühlmann-Straub:
\(\hat{a} = \frac{\sum_{i=1}^{k} m_i (\bar{X}_i - \bar{X})^2 - (k - 1)\hat{\mu}}{m - \frac{1}{m} \sum_{i=1}^{k} m_i^2}\)
ข้อสังเกตสำหรับกรณี Exposure เท่ากัน: เมื่อ \(n_i = n\) และ \(m_{ij} = 1\) สูตรจะลดรูปเหลือเพียง \(\hat{v} = \hat{\mu} = \bar{X}\) และ \(\hat{a} = \frac{1}{k - 1} \sum_{i=1}^{k} (\bar{X}_i - \bar{X})^2 - \frac{\hat{\mu}}{n}\)
3. กฎการตัดทอนค่าสำหรับ \(\hat{a}\) (Truncation Rule)
เนื่องจาก \(\hat{a}\) ได้รับการประมาณค่าโดยการหักลบองค์ประกอบความแปรปรวนของกระบวนการที่ประมาณได้ ออกจากความผันแปรระหว่างกลุ่มที่สังเกตได้ จึงมีความเป็นไปได้ที่ข้อมูลตัวอย่างจะให้ผลลัพธ์เป็น \(\hat{a} < 0\)
เนื่องจากความแปรปรวนของค่าเฉลี่ยสมมติฐานไม่สามารถติดลบได้ เราจึงใช้ตัวประมาณค่าที่มีการปรับค่าดังนี้:
\(\hat{a}^* = \max(0, \hat{a})\)
เมื่อ \(\hat{a} \le 0\) เราจะตั้งให้ \(\hat{a}^* = 0\) ซึ่งหมายความว่าประสบการณ์ของแต่ละรายไม่ได้มีความผันแปรมากไปกว่าที่คาดไว้จากโอกาสสุ่มตามธรรมชาติ (ความแปรปรวนของกระบวนการ) ส่งผลให้ค่า Credibility factor มีค่าเป็น \(Z = 0\) และให้น้ำหนัก 100% แก่ค่าเฉลี่ยรวม \(\hat{\mu}\)
สรุปสาระสำคัญ: การประมาณค่าแบบ Nonparametric เทียบกับ Semiparametric
1. Nonparametric: ไม่มีการสมมติการแจกแจงแบบมีเงื่อนไข โดย \(\hat{v}\) จะถูกประมาณค่าโดยใช้ความแปรปรวนตัวอย่างภายในแต่ละความเสี่ยงตลอดงวดที่สังเกต
2. Semiparametric: มีการสมมติการแจกแจงแบบมีเงื่อนไข (เช่น ปัวซง ซึ่ง \(v = \mu\)) เราจึงไม่จำเป็นต้องใช้ความแปรปรวนตัวอย่างของแต่ละงวดในการประมาณค่า \(v\) แต่เราใช้ \(\hat{v} = \hat{\mu}\) ได้เลย
3. การคำนวณ Credibility: เมื่อประมาณค่า \(\hat{\mu}\), \(\hat{v}\), และ \(\hat{a}\) ได้แล้ว เบี้ยประกันภัยตามหลัก Credibility สำหรับความเสี่ยง \(i\) จะคำนวณโดยใช้สูตรมาตรฐาน: \(P_i = Z_i \bar{X}_i + (1 - Z_i)\hat{\mu}\) โดยที่ \(Z_i = \frac{m_i}{m_i + \hat{v}/\hat{a}}\) (หรือ \(Z = \frac{n}{n + \hat{v}/\hat{a}}\) ภายใต้กรณีที่ Exposure เท่ากัน)