Modelling extra risk: age rating and adjustments to mortality

ยินดีต้อนรับสู่การสร้างแบบจำลองความเสี่ยงส่วนเกิน (Modelling Extra Risk)!

สวัสดีครับ! เมื่อคุณก้าวเข้าสู่โลกของการประกันภัยระยะยาว คุณจะพบอย่างรวดเร็วว่าไม่ใช่ทุกคนที่จะเข้าข่าย "มาตรฐาน" ไปเสียหมด บางคนสูบบุหรี่ บางคนมีโรคประจำตัวเรื้อรัง และบางคนอาจมีอาชีพหรืองานอดิเรกที่มีความเสี่ยงสูง เช่น การดำน้ำลึกเชิงพาณิชย์หรือการบิน ในทางคณิตศาสตร์ประกันภัย เราจัดกลุ่มคนเหล่านี้เป็น ความเสี่ยงต่ำกว่ามาตรฐาน (Substandard risks)

ในบทนี้ เราจะเรียนรู้วิธีปรับแบบจำลองอัตราการตายของเราเพื่อสะท้อนความเสี่ยงส่วนเกินนี้ในการกำหนดราคาและการคำนวณมูลค่ากรมธรรม์ โดยหลักสูตร SOA FAM ได้กำหนดให้ทดสอบ 3 วิธีเฉพาะสำหรับการสร้างแบบจำลองความเสี่ยงส่วนเกินภายใต้ผลลัพธ์การเรียนรู้ (Learning Outcome) 10(e):

• การกำหนดอายุเสมือน (Age rating)
• การบวกค่าคงที่เข้ากับอัตราความเสี่ยงภัย (Constant addition to the force of mortality)
• การคูณด้วยค่าคงที่กับอัตราการตาย (Constant multiple of the rate of mortality)

มาดูกันว่าแต่ละวิธีทำงานอย่างไร และส่งผลต่อเบี้ยประกันสุทธิรวมถึงมูลค่ากรมธรรม์อย่างไรบ้าง

ทำไมเราถึงต้องปรับอัตราการตาย?

ตารางมรณะ (Life tables) แบบมาตรฐานสะท้อนถึงอัตราการตายที่คาดหมายของผู้เอาประกันภัยที่มีสุขภาพดีตามมาตรฐาน หากบริษัทประกันใช้อัตรามาตรฐานกับชีวิตที่มีความเสี่ยงต่ำกว่ามาตรฐาน ผลประโยชน์ก็จะถูก ประเมินราคาต่ำเกินไป (Underpriced) ซึ่งนำไปสู่ผลขาดทุนที่คาดการณ์ได้ของสัญญา เพื่อป้องกันปัญหานี้ นักคณิตศาสตร์ประกันภัยจึงปรับข้อสมมติอัตราการตายเพื่อคำนวณเบี้ยประกันรวมหรือเบี้ยประกันสุทธิที่สูงขึ้นอย่างเหมาะสม และเพื่อกำหนดมูลค่ากรมธรรม์ที่เหมาะสม

วิธีที่ 1: การกำหนดอายุเสมือน (Age Rating)

การกำหนดอายุเสมือน (หรือมักเรียกว่า "การบวกอายุเพิ่ม") เป็นหนึ่งในวิธีในทางปฏิบัติที่เก่าแก่และง่ายที่สุดในการจัดการกับความเสี่ยงส่วนเกิน ภายใต้วิธีนี้ ผู้ขอเอาประกันอายุ \(x\) จะได้รับการปฏิบัติสำหรับการคำนวณทางคณิตศาสตร์ประกันภัยทั้งหมดเสมือนว่าพวกเขามีอายุ \(x + h\) โดยที่ \(h > 0\) แทนจำนวนปีที่บวกเพิ่มจากการกำหนดอายุเสมือน

วิธีการทำงาน

หากผู้ขอเอาประกันอายุ \(x\) ได้รับการกำหนดอายุเสมือนเพิ่ม \(h\) ปี ฟังก์ชันคณิตศาสตร์ประกันภัยมาตรฐานทุกฟังก์ชันจะได้รับการประเมินค่าที่อายุ \(x + h\):

• อัตราการตาย 1 ปีที่ปรับปรุงแล้ว: \(q_x^* = q_{x+h}\)
• ความน่าจะเป็นที่จะมีชีวิตอยู่ในอีก \(t\) ปีที่ปรับปรุงแล้ว: \({}_tp_x^* = {}_tp_{x+h}\)
• APV ของการประกันชีวิตตลอดชีพที่ปรับปรุงแล้ว: \(A_x^* = A_{x+h}\)
• APV ของเงินรายปีตลอดชีพที่ปรับปรุงแล้ว: \(\ddot{a}_x^* = \ddot{a}_{x+h}\)
• เบี้ยประกันรายปีสุทธิที่ปรับปรุงแล้ว: \(P_x^* = P_{x+h} = \frac{A_{x+h}}{\ddot{a}_{x+h}}\)

การเปรียบเทียบ

ลองนึกภาพเหมือนการตรวจสภาพรถยนต์มือสองดูครับ: รถยนต์อายุสี่ปีที่วิ่งไปแล้ว 150,000 ไมล์ในสภาพแวดล้อมที่สมบุกสมบัน จะมีการสึกหรอเทียบเท่ากับรถยนต์อายุแปดปี การกำหนดอายุเสมือนจึงปฏิบัติต่อชีวิตนั้นเสมือนมี "อายุทางคณิตศาสตร์ประกันภัย" ที่แก่กว่าอายุตามปีปฏิทินจริงของพวกเขา

วิธีที่ 2: การบวกค่าคงที่เข้ากับอัตราความเสี่ยงภัย (Constant Addition to the Force of Mortality)

ในบางครั้ง ภัยอันตรายส่วนเกินสามารถแสดงได้ดีที่สุดในรูปของภัยอันตรายจากการเสียชีวิตที่เป็นอิสระและคงที่ ซึ่งส่งผลต่อเนื่องตลอดเวลา (เช่น งานอดิเรกที่เป็นอันตรายอย่างต่อเนื่อง หรือการสัมผัสกับสภาพแวดล้อมที่เป็นพิษ) สิ่งนี้ถูกจำลองขึ้นโดยการบวกค่าคงที่ \(\phi > 0\) เข้ากับอัตราความเสี่ยงภัยมาตรฐาน

อัตราความเสี่ยงภัยและฟังก์ชันการมีชีวิตรอดที่ปรับปรุงแล้ว

อัตราความเสี่ยงภัยที่ปรับปรุงแล้ว \(\mu_{x+t}^*\) นิยามโดย:
\(\mu_{x+t}^* = \mu_{x+t} + \phi\)

เนื่องจากความน่าจะเป็นที่จะมีชีวิตอยู่คือค่าเอกซ์โพเนนเชียลของอินทิกรัลของอัตราความเสี่ยงภัย:
\({}_tp_x^* = \exp\left( -\int_0^t (\mu_{x+s} + \phi)\,ds \right) = \exp\left(-\int_0^t \mu_{x+s}\,ds\right) \cdot e^{-\phi t} = {}_tp_x \cdot e^{-\phi t}\)

เคล็ดลับสำหรับข้อสอบเกี่ยวกับมูลค่าปัจจุบัน

สังเกตว่าตัวคูณ \(e^{-\phi t}\) ทำหน้าที่ทางคณิตศาสตร์เหมือนกับการเพิ่มขึ้นของอัตราดอกเบี้ยทบต้นต่อเนื่อง (Force of interest)! ภายใต้ข้อสมมติแบบต่อเนื่อง:
\(\bar{A}_x^* = \int_0^\infty e^{-\delta t} {}_tp_x^* \mu_{x+t}^*\,dt\)
ในทำนองเดียวกัน สำหรับเงินรายปีตลอดชีพแบบต่อเนื่อง:
\(\bar{a}_x^* = \int_0^\infty e^{-\delta t} {}_tp_x^*\,dt = \int_0^\infty e^{-(\delta + \phi) t} {}_tp_x\,dt = \bar{a}_x^{(\delta + \phi)}\)
โดยที่ \(\bar{a}_x^{(\delta + \phi)}\) ได้รับการประเมินค่าที่อัตราดอกเบี้ยทบต้นต่อเนื่องที่ปรับปรุงแล้ว \(\delta^* = \delta + \phi\)

วิธีที่ 3: การคูณด้วยค่าคงที่กับอัตราการตาย (Constant Multiple of the Rate of Mortality)

ภายใต้วิธีนี้ อัตราการตาย 1 ปีแบบไม่ต่อเนื่องมาตรฐาน \(q_{x+t}\) จะถูกคูณด้วยตัวคูณคงที่ \(m > 1\) (มักเขียนอยู่ในรูป \(1 + k\) หรือคิดเป็นเปอร์เซ็นต์ เช่น 150% หรือ 200% ของอัตราการตายมาตรฐาน)

สูตรการคำนวณ

สำหรับแต่ละปีกรมธรรม์ \(t = 0, 1, 2, \dots\):
\(q_{x+t}^* = m \cdot q_{x+t} = (1+k)q_{x+t}\)

ความน่าจะเป็นที่จะมีชีวิตอยู่ใน 1 ปีที่ปรับปรุงแล้วซึ่งสอดคล้องกันคือ:
\(p_{x+t}^* = 1 - q_{x+t}^* = 1 - m \cdot q_{x+t}\)

จากนั้นความน่าจะเป็นที่จะมีชีวิตอยู่ในอีกหลายปี \({}_kp_x^*\) จะคำนวณได้จากผลคูณของความน่าจะเป็นที่จะมีชีวิตอยู่ในแต่ละปีเดี่ยวๆ ที่ปรับปรุงแล้ว:
\({}_kp_x^* = p_x^* \cdot p_{x+1}^* \dots p_{x+k-1}^* = \prod_{j=0}^{k-1} (1 - m \cdot q_{x+j})\)

เงื่อนไขขอบเขต: เนื่องจาก \(q_{x+t}^*\) เป็นค่าความน่าจะเป็น จึงไม่สามารถเกิน 1 ได้ เมื่อใช้ตัวคูณ \(m\) นักคณิตศาสตร์ประกันภัยมักจะจำกัดอัตราไว้ไม่เกิน 1 ดังนั้น \(q_{x+t}^* = \min(m \cdot q_{x+t}, 1)\)

การคำนวณเบี้ยประกันและมูลค่ากรมธรรม์เมื่อมีความเสี่ยงส่วนเกิน

เมื่อกำหนดความน่าจะเป็นที่จะมีชีวิตอยู่ที่ปรับปรุงแล้ว \({}_tp_x^*\) หรืออัตราการตาย \(q_{x+t}^*\) ได้แล้ว เราจะคำนวณมูลค่าปัจจุบันตามหลักคณิตศาสตร์ประกันภัยและมูลค่ากรมธรรม์โดยใช้หลักการมาตรฐาน:

1. เบี้ยประกันตามหลักความเท่าเทียม (Equivalence Principle Premium)

สำหรับกรมธรรม์ประกันชีวิตตลอดชีพแบบไม่ต่อเนื่องเต็มรูปแบบจำนวนเงินเอาประกัน 1 หน่วยที่ออกให้แก่ \((x)\):
\(P^* = \frac{A_x^*}{\ddot{a}_x^*}\)

เนื่องจากอัตราการตายที่สูงขึ้นจะเพิ่มมูลค่าปัจจุบันที่คาดหมายของผลประโยชน์กรณีเสียชีวิต (\(A_x^* > A_x\)) และลดมูลค่าปัจจุบันที่คาดหมายของการจ่ายเงินรายปี (\(\ddot{a}_x^* < \ddot{a}_x\)) ดังนั้นเบี้ยประกันสุทธิ \(P^*\) สำหรับความเสี่ยงต่ำกว่ามาตรฐานจึงมากกว่าเบี้ยประกันสุทธิมาตรฐาน \(P\) อย่างแน่นอน

2. มูลค่ากรมธรรม์จากเบี้ยประกันสุทธิ (วิธีมองไปข้างหน้า - Prospective Method)

ณ ระยะเวลาสิ้นสุดปีที่ \(t\) มูลค่ากรมธรรม์จากเบี้ยประกันสุทธิจะคำนวณโดยใช้ฐานอัตราการตายที่ปรับปรุงแล้วนับจากจุดนั้นเป็นต้นไป:
\({}_tV^* = A_{x+t}^* - P^* \ddot{a}_{x+t}^*\)

โปรดสังเกตว่า หากความเสี่ยงส่วนเกินมีผลเฉพาะช่วงเวลาชั่วคราว (เช่น มีภัยอันตรายส่วนเกินเฉพาะช่วง 5 ปีแรกเท่านั้น) ฐานอัตราการตายจะกลับคืนสู่ระดับมาตรฐานเมื่อสิ้นสุดช่วงเวลาดังกล่าว

ตารางเปรียบเทียบสรุปวิธีการจัดการความเสี่ยงส่วนเกิน

• การกำหนดอายุเสมือน (Age Rating): กำหนดให้อายุเป็น \(x + h\) สามารถเปิดหาค่าได้โดยตรงในตารางมรณะมาตรฐานที่อายุสูงขึ้น \(x+h\)
• การบวกค่าคงที่เข้ากับอัตราความเสี่ยงภัย (Constant Addition to Force): \(\mu_{x+t}^* = \mu_{x+t} + \phi \implies {}_tp_x^* = {}_tp_x \cdot e^{-\phi t}\) มีภัยอันตรายต่อเนื่องคงที่บวกเพิ่มเข้ามาในทุกช่วงอายุ
• การคูณด้วยค่าคงที่กับอัตราการตาย (Constant Multiple of Rate): \(q_{x+t}^* = m \cdot q_{x+t}\) การปรับสัดส่วนของอัตราการตายรายปีมาตรฐาน ซึ่งทำให้ได้ \(p_{x+t}^* = 1 - m \cdot q_{x+t}\)

ประเด็นสำคัญสำหรับข้อสอบ

• ตรวจสอบวิธีที่ระบุไว้อย่างรอบคอบ: ตรวจสอบให้แน่ใจว่าคุณแยกความแตกต่างระหว่างการปรับปรุงอัตราความเสี่ยงภัยแบบต่อเนื่อง \(\mu\) (วิธีที่ 2) กับการคูณด้วยค่าคงที่กับอัตราการตายรายปี \(q\) (วิธีที่ 3)
• ความเสี่ยงส่วนเกินแบบชั่วคราว: หากโจทย์ระบุว่าผู้ขอเอาประกันจ่ายเบี้ยเพิ่มสำหรับความเสี่ยงส่วนเกินหรือเผชิญกับอัตราการตายส่วนเกินเพียงแค่ \(n\) ปีเท่านั้น ให้ปรับปรุงค่าเฉพาะกรณี \(t < n\) เท่านั้น สำหรับ \(t \ge n\) จะใช้อัตราการตายมาตรฐาน
• ทิศทางของมูลค่ากรมธรรม์: แม้ว่าความเสี่ยงส่วนเกินจะทำให้เบี้ยประกันสูงขึ้นเสมอ แต่ผลกระทบต่อมูลค่ากรมธรรม์จะขึ้นอยู่กับว่าความเสี่ยงส่วนเกินนั้นคงที่ เพิ่มขึ้น หรือลดลงเมื่อเวลาผ่านไป