ยินดีต้อนรับสู่โลกของ Binomial Trees!

สวัสดีครับ! หากคุณกำลังเตรียมตัวสอบ Exam FAM คุณคงเริ่มตระหนักแล้วว่าการตีมูลค่าออปชัน (Option Pricing) นั้นให้ความรู้สึกคล้ายกับการทำนายอนาคต แม้ว่าเราจะไม่มีลูกแก้ววิเศษ แต่เรามีเครื่องมือที่ยอดเยี่ยมกว่านั้น นั่นคือ แบบจำลองการตั้งราคาออปชันแบบทวิภาค (Binomial Option Pricing Model) ในบทนี้ เราจะมาเรียนรู้วิธีการกำหนดราคาออปชันแบบยุโรปบนสินทรัพย์เดี่ยวที่ไม่มีการจ่ายเงินปันผล โดยสมมติให้โลกนี้เรียบง่ายกว่าความเป็นจริง แทนที่จะมีผลลัพธ์เป็นไปได้นับไม่ถ้วนตลอดช่วงเวลาหนึ่ง เราสมมติว่าราคาสินทรัพย์สามารถเคลื่อนที่ได้เพียงสองทิศทางเท่านั้นคือ ขึ้น (Up) หรือ ลง (Down) ถ้าหากคุณรู้สึกว่าเรื่องนี้ดูนามธรรมไปสักนิดในตอนแรก ไม่ต้องกังวลนะครับ เมื่อคุณมองเห็นแพทเทิร์นแล้ว มันจะกลายเป็นเรื่องง่ายเหมือนกับการอ่านแผนที่เลยล่ะ!

1. แนวคิดหลัก: ทีละขั้นอย่างมั่นคง

แบบจำลองทวิภาคเป็นแบบจำลองแบบ "เวลาไม่ต่อเนื่อง" (discrete-time) ซึ่งหมายความว่าเราพิจารณาอายุของออปชันเป็นช่วงเวลาเฉพาะ (steps) ในเวอร์ชันที่ง่ายที่สุดที่เรียกว่า แบบจำลองช่วงเดียว (Single-Period Model) เราจะดูราคาในวันนี้และราคา ณ วันหมดอายุ

ลองจินตนาการถึงราคาหุ้น \(S\) เมื่อผ่านไปหนึ่งช่วงเวลาที่มีความยาว \(h\) จะเกิดเหตุการณ์ขึ้นได้เพียง 2 อย่างคือ:
1. ราคา ขึ้น ไปที่ \(S_u\) (โดยที่ \(S_u = S \times u\))
2. ราคา ลง ไปที่ \(S_d\) (โดยที่ \(S_d = S \times d\))

คำศัพท์สำคัญที่ต้องรู้:
• \(u\): ตัวคูณขาขึ้น ("up factor" โดยที่ \(u > 1\))
• \(d\): ตัวคูณขาลง ("down factor" โดยที่ \(0 < d < 1\))
• \(r\): อัตราดอกเบี้ยปลอดความเสี่ยงแบบทบต้นต่อเนื่อง (continuously compounded risk-free interest rate)
• \(h\): ความยาวของช่วงเวลาเป็นปี (เช่น ถ้า 1 ปีเท่ากับ 1 และเรามี 2 ช่วงเวลา ดังนั้น \(h = 0.5\))

เงื่อนไขการไม่มีอาร์บิทราจ (No-Arbitrage Condition): เพื่อให้แบบจำลองนี้สมเหตุสมผลและหลีกเลี่ยงการทำกำไรโดยไม่มีความเสี่ยง ("เงินฟรี") ผลตอบแทนที่ปราศจากความเสี่ยงจะต้องอยู่ระหว่างการเคลื่อนที่ขาลงและขาขึ้นอย่างเคร่งครัด สำหรับสินทรัพย์ที่ไม่มีเงินปันผล หมายถึง: \(d < e^{rh} < u\)

สรุปการตั้งค่า

แบบจำลองทวิภาคทำให้การเคลื่อนไหวของราคาสินทรัพย์ง่ายลงเสมือน "ทางแยก" การรู้ว่าสินทรัพย์อ้างอิงอาจจบลงที่ตรงไหนและการคำนวณผลตอบแทนของออปชันในแต่ละผลลัพธ์ จะช่วยให้เราคำนวณย้อนกลับเพื่อหาราคาที่เหมาะสมของออปชันในวันนี้ได้

2. วิธีที่ 1: พอร์ตโฟลิโอจำลอง (Replicating Portfolio: \(\Delta\) และ \(B\))

นี่คือหลักการพื้นฐานของการตั้งราคาตราสารอนุพันธ์: ถ้าพอร์ตโฟลิโอสองพอร์ตให้ผลตอบแทนในอนาคตเหมือนกันเป๊ะในทุกสถานะที่เป็นไปได้ ทั้งสองพอร์ตก็ต้องมีราคาในวันนี้เท่ากัน

เราจำลองผลตอบแทนของออปชันขึ้นมาด้วยการสร้างพอร์ตโฟลิโอที่ประกอบด้วยหุ้นอ้างอิงจำนวน \(\Delta\) หุ้น และการลงทุนจำนวน \(B\) ในพันธบัตรแบบไม่มีคูปองที่ปลอดความเสี่ยง เรากำหนดให้มูลค่าพอร์ตโฟลิโอนี้ (\(\Delta S + B\)) เท่ากับมูลค่าของออปชันไม่ว่าหุ้นจะขึ้นหรือลงก็ตาม

สูตรคำนวณ (สินทรัพย์ที่ไม่มีการจ่ายเงินปันผล):
สำหรับการหาจำนวนหุ้น (\(\Delta\)):
\(\Delta = \frac{V_u - V_d}{S_u - S_d} = \frac{V_u - V_d}{S(u - d)}\)

สำหรับการหาจำนวนเงินในพันธบัตร (\(B\)):
\(B = e^{-rh} \frac{u V_d - d V_u}{u - d}\)

ราคาออปชัน: \(V = \Delta S + B\)

การเปรียบเทียบ: ให้คิดว่า \(\Delta\) คือ "ตัววัดความไว" (sensitivity factor) มันจะบอกคุณว่าผลตอบแทนของออปชันเปลี่ยนแปลงไปมากน้อยแค่ไหนเมื่อเทียบกับการเปลี่ยนแปลงของราคาหุ้น ตัวอย่างเช่น ถ้าส่วนต่างของราคาหุ้น \(S_u - S_d\) คือ \$1 และส่วนต่างของออปชัน \(C_u - C_d\) คือ \$0.50 ค่า \(\Delta\) ของคุณก็คือ 0.50 นั่นเอง

3. วิธีที่ 2: การตั้งราคาแบบ Risk-Neutral (วิธีมูลค่าปัจจุบันที่คาดหวัง)

ใน Exam FAM วิธีมูลค่าปัจจุบันที่คาดหวังแบบ Risk-Neutral เป็นวิธีที่พบบ่อยที่สุด เราตั้งราคาตราสารอนุพันธ์เสมือนว่านักลงทุนเป็นกลางต่อความเสี่ยง (risk-neutral) ซึ่งหมายความว่าสินทรัพย์ทั้งหมดจะเติบโตที่อัตราดอกเบี้ยปลอดความเสี่ยง \(r\)

ขั้นตอนที่ 1: คำนวณความน่าจะเป็นแบบ Risk-Neutral (\(p^*\))
ภายใต้ความเป็นกลางต่อความเสี่ยง ผลตอบแทนที่คาดหวังจากหุ้นจะเท่ากับอัตราดอกเบี้ยปลอดความเสี่ยง: \(S e^{rh} = p^* S_u + (1 - p^*) S_d\) เมื่อแก้สมการหา \(p^*\) จะได้:
\(p^* = \frac{e^{rh} - d}{u - d}\)

ขั้นตอนที่ 2: คำนวณมูลค่าออปชัน
ตอนนี้ คำนวณผลตอบแทนที่คาดหวังภายใต้ \(p^*\) แล้วคิดลดกลับมาเป็นมูลค่าปัจจุบันที่อัตราดอกเบี้ยปลอดความเสี่ยง:
\(V = e^{-rh} [p^* V_u + (1 - p^*) V_d]\)

ทบทวนสั้นๆ:
• \(V_u\) คือผลตอบแทนของออปชันถ้าหุ้นขึ้น (เช่น \(\max(0, S_u - K)\) สำหรับ call หรือ \(\max(0, K - S_u)\) สำหรับ put)
• \(V_d\) คือผลตอบแทนของออปชันถ้าหุ้นลง
• อย่าลืมตัวคูณลดค่า \(e^{-rh}\) เสมอ! การลืมจุดนี้เป็นข้อผิดพลาดในการสอบที่พบบ่อยมาก

4. ต้นไม้หลายช่วงเวลา (Multi-Period Trees): การคำนวณย้อนกลับทีละขั้น

ถ้าออปชันหมดอายุในหนึ่งปีและเราจำลองด้วยสองช่วง ช่วงละ 6 เดือน (\(h = 0.5\)) ล่ะ? เราก็ขยายต้นไม้ให้เป็นแบบจำลองสองช่วงเวลา ในต้นไม้ทวิภาคแบบ recombining มาตรฐาน การที่ราคาหุ้นขึ้นแล้วลงจะให้ราคาหุ้นเท่ากับการที่ราคาลงแล้วขึ้น (\(S_{ud} = S_{du} = S \cdot u \cdot d\))

กระบวนการคำนวณย้อนกลับ (Working Backward):
1. โหนดปลายทาง (Terminal Nodes): คำนวณราคาหุ้น ณ วันหมดอายุ (เวลา \(2h\)): \(S_{uu} = S u^2\), \(S_{ud} = S u d\) และ \(S_{dd} = S d^2\) จากนั้นหาผลตอบแทนของตราสารอนุพันธ์ที่แต่ละโหนดสุดท้าย
2. ถอยกลับมาที่เวลา \(h\): ใช้สูตร Risk-Neutral คิดลดแต่ละคู่ของมูลค่าปลายทางกลับมายังโหนดตรงกลาง (\(V_u\) และ \(V_d\)):
\(V_u = e^{-rh} [p^* V_{uu} + (1 - p^*) V_{ud}]\)
\(V_d = e^{-rh} [p^* V_{ud} + (1 - p^*) V_{dd}]\)
3. ถอยกลับมาที่เวลา 0: คิดลด \(V_u\) และ \(V_d\) กลับมาสู่วันนี้เพื่อหาราคาเริ่มต้นของออปชัน \(V\):
\(V = e^{-rh} [p^* V_u + (1 - p^*) V_d]\)

ข้อคิดสำคัญ

ไม่ว่าต้นไม้จะมีกี่ขั้น กระบวนการก็ยังคงเหมือนเดิมเสมอ: คำนวณผลตอบแทนที่ปลายยอดสุดท้าย แล้ว "ดึง" มูลค่ากลับมายังโหนด 0 โดยใช้ \(p^*\) และตัวคูณลดค่า \(e^{-rh}\)

5. การประเมินมูลค่าพุทและตราสารอนุพันธ์แบบยุโรปทั่วไป

แบบจำลองทวิภาคสามารถใช้ได้ทั่วไป: มันใช้ได้กับตราสารอนุพันธ์แบบยุโรปใดๆ ก็ตามที่ผลตอบแทนขึ้นอยู่กับราคาหุ้นอ้างอิง ณ วันหมดอายุ ใน Exam FAM ตราสารอนุพันธ์ทั้งหมดที่อยู่ในขอบเขตจะเป็นแบบยุโรปบนสินทรัพย์เดี่ยวที่ไม่มีการจ่ายเงินปันผล

คอลออปชันแบบยุโรป (European Call Option): ผลตอบแทนคือ \(C_T = \max(0, S_T - K)\) สังเกตว่า \(\Delta = \frac{C_u - C_d}{S_u - S_d} \ge 0\) ซึ่งหมายความว่าคอลออปชันต้องการการเปิดสถานะซื้อในหุ้น (\(\Delta > 0\)) และการกู้ยืมเงิน (\(B < 0\))

พุทออปชันแบบยุโรป (European Put Option): ผลตอบแทนคือ \(P_T = \max(0, K - S_T)\) สำหรับพุท \(P_u \le P_d\) เนื่องจากพุทจะมีมูลค่ามากขึ้นเมื่อราคาหุ้นลดลง ส่งผลให้:
\(\Delta = \frac{P_u - P_d}{S_u - S_d} \le 0\)
นี่หมายความว่าการจำลองพุทออปชันต้องอาศัยการขายชอร์ตหุ้น (\(\Delta < 0\)) และการให้กู้ยืมเงินในพันธบัตร (\(B > 0\))

การตรวจสอบด้วย Put-Call Parity: สำหรับออปชันแบบยุโรปที่มีราคาใช้สิทธิ \(K\) และระยะเวลาจนถึงวันหมดอายุ \(T\) ราคาที่ได้จากแบบจำลองทวิภาคจะต้องสอดคล้องกับ Put-Call Parity ในทุกๆ โหนด:
\(C - P = S - K e^{-rT}\)

6. สรุปและเคล็ดลับเพื่อความสำเร็จ

ตัวช่วยจำสำหรับ \(p^*\):
ให้นึกว่า "ผลเติบโตลบตัวคูณขาลง หารด้วย ตัวคูณขาขึ้นลบตัวคูณขาลง":
\(p^* = \frac{e^{rh} - d}{u - d}\)
ตัวเศษคือตัวคูณการเติบโต \(e^{rh}\) ลบด้วยตัวคูณขาลง \(d\) ส่วนตัวส่วนคือส่วนต่าง \(u - d\)

เช็คลิสต์ด่วนก่อนทำโจทย์:
• คุณคำนวณช่วงเวลา \(h\) ถูกต้องหรือไม่? ถ้าวันหมดอายุคือ \(T\) และมี \(n\) ขั้น จะได้ \(h = T / n\)
• คุณคูณอัตราดอกเบี้ยรายปี \(r\) ด้วย \(h\) ใน \(e^{rh}\) และ \(e^{-rh}\) แล้วหรือยัง?
• คุณกำลังคำนวณคอล (\(\max(0, S - K)\)) หรือพุท (\(\max(0, K - S)\))?
• คุณได้คิดลดผลตอบแทนที่คาดหวังแต่ละค่าถอยหลังหนึ่งช่วงเวลาโดยใช้ \(e^{-rh}\) แล้วหรือยัง?

คำให้กำลังใจทิ้งท้าย: แบบจำลองทวิภาคมีโครงสร้างที่ชัดเจนและเป็นระบบ เมื่อคุณเริ่มคุ้นเคยกับการตั้งโหนดและการคำนวณย้อนกลับด้วย \(p^*\) คุณจะพบว่านี่เป็นคะแนนที่เก็บได้อย่างแน่นอนในการสอบ FAM หมั่นฝึกฝนการทำโจทย์ต้นไม้เหล่านี้บ่อยๆ นะครับ!