Macaulay and modified duration

ยินดีต้อนรับสู่โลกแห่ง Duration (ระยะเวลาเฉลี่ย)!

หากคุณกำลังเตรียมตัวสอบ Exam FM คุณคงทราบดีแล้วว่าเมื่ออัตราดอกเบี้ยสูงขึ้น ราคาพันธบัตรก็จะลดลง แต่คำถามสำคัญสำหรับนักคณิตศาสตร์ประกันภัยและผู้จัดการกองทุนก็คือ: ราคาจะเปลี่ยนไปมากเท่าไหร่กันล่ะ? นั่นคือสิ่งที่ Duration เข้ามาช่วยเราหาคำตอบนั่นเอง

ลองนึกภาพว่า Duration คือเครื่องมือวัด "ความไว" หรือ "ความผันผวน" ของกระแสเงินสดชุดหนึ่ง ไม่ว่าคุณจะบริหารกองทุนบำเหน็จบำนาญหรือพอร์ตพันธบัตรทั่วไป การเข้าใจ Duration คือกุญแจสำคัญในการจัดการความเสี่ยงจากอัตราดอกเบี้ย ไม่ต้องกังวลนะถ้ารู้สึกว่ามันดูเป็นนามธรรมไปนิดในตอนนี้ เพราะเราจะค่อยๆ ย่อยมันออกมาเป็นส่วนที่เข้าใจง่ายกัน!

1. Macaulay Duration: "จุดศูนย์ถ่วง" ของกระแสเงินสด

ลองจินตนาการว่าคุณกำลังพยายามทรงตัวไม้กระดานยาวๆ บนปลายนิ้ว หากมีน้ำหนักวางอยู่ทั้งสองด้าน "จุดสมดุล" ของมันก็คือจุดศูนย์ถ่วงนั่นเอง Macaulay Duration (\(D_{mac}\)) ก็คือ "จุดศูนย์ถ่วง" ของกระแสเงินสดชุดหนึ่งในแง่ของ เวลา (time)

มันคือระยะเวลาเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักจนกว่าเราจะได้รับกระแสเงินสดนั้นๆ โดยแทนที่จะถ่วงน้ำหนักด้วยจำนวนเงินดอลลาร์ตรงๆ เราจะใช้ มูลค่าปัจจุบัน (Present Value - PV) ของเงินจำนวนนั้นมาเป็นตัวถ่วงน้ำหนักแทน

สูตรการคำนวณ

หากเรามีการจ่ายเงิน \(R_t\) ณ เวลา \(t\) และอัตราดอกเบี้ยที่แท้จริงต่อปี \(i\) ค่า Macaulay Duration จะนิยามได้ดังนี้:

\(D_{mac} = \frac{\sum_{t} t \cdot R_t (1+i)^{-t}}{\sum_{t} R_t (1+i)^{-t}} = \frac{\sum_{t} t \cdot v^t \cdot R_t}{\sum_{t} v^t \cdot R_t}\)

ตัวส่วน \(\sum_{t} v^t \cdot R_t\) ก็คือ ราคา (P) หรือมูลค่าปัจจุบันของกระแสเงินสดเหล่านั้นนั่นเอง ดังนั้นเราจะได้ว่า:

\(D_{mac} = \frac{\sum_{t} t \cdot PV(R_t)}{P(i)}\)

เปรียบเทียบกับชีวิตจริง

ลองนึกถึงพันธบัตรอายุ 10 ปีที่จ่ายคูปองทุกปี คุณไม่ได้รอจนครบ 10 ปีถึงจะได้เงินคืนทั้งหมด แต่คุณจะได้รับเงินบางส่วนหลังจากปีที่ 1, ปีที่ 2 ไปเรื่อยๆ ค่า Macaulay Duration จะบอกคุณว่า โดยเฉลี่ยแล้วคุณต้องรอ (ตัวอย่างเช่น) 8.2 ปี กว่าจะได้รับมูลค่าเงินลงทุนของคุณคืนมาทั้งหมด

คุณสมบัติสำคัญของ Macaulay Duration

1. Zero-Coupon Bonds (พันธบัตรชนิดไม่มีคูปอง): สำหรับพันธบัตรชนิดไม่มีคูปองที่จ่ายเงิน ณ เวลา \(n\) ค่า Macaulay Duration จะเท่ากับ \(n\) พอดี เพราะมีการจ่ายเงินเพียงครั้งเดียว เวลาเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักจึงเท่ากับวันครบกำหนดนั้นเลย!
2. Coupon Bonds (พันธบัตรชนิดมีคูปอง): สำหรับพันธบัตรใดๆ ที่มีการจ่ายคูปองก่อนครบกำหนด ค่า Macaulay Duration จะ น้อยกว่า อายุคงเหลือของพันธบัตรเสมอ
3. อัตราดอกเบี้ย: เมื่ออัตราดอกเบี้ย \(i\) เพิ่มขึ้น Macaulay Duration จะลดลง (เพราะกระแสเงินสดในอนาคตจะถูกคิดลดด้วยค่าที่มากขึ้น ทำให้เงินที่ได้รับมาในช่วงแรกๆ มีน้ำหนักสัมพัทธ์ในการคำนวณค่าเฉลี่ยมากขึ้น)

สรุปสั้นๆ: Macaulay Duration = ระยะเวลาเฉลี่ยถ่วงน้ำหนัก มีหน่วยเป็น ปี (หรือหน่วยเวลาใดๆ ที่คุณใช้ในการคำนวณ)

2. Modified Duration: เกจวัดความไวต่อราคา

ในขณะที่ Macaulay Duration บอกเราเกี่ยวกับ เวลา แต่ Modified Duration (\(D_{mod}\)) จะบอกเราเกี่ยวกับ ความไวต่อราคา โดยในทางคณิตศาสตร์จะนิยามในรูปของอนุพันธ์อันดับหนึ่งของฟังก์ชันราคาเทียบกับอัตราผลตอบแทน \(i\):

\(D_{mod} = -\frac{P'(i)}{P(i)}\)

ความสัมพันธ์ระหว่าง Macaulay และ Modified Duration

ทั้งสองตัวมีความเชื่อมโยงทางคณิตศาสตร์โดยตรง การหาอนุพันธ์ของ \(P(i) = \sum R_t (1+i)^{-t}\) จะได้ว่า \(P'(i) = -\sum t \cdot R_t (1+i)^{-(t+1)} = -\frac{1}{1+i} \sum t \cdot R_t (1+i)^{-t}\) และเมื่อแทนค่านี้ลงในนิยาม จะแสดงให้เห็นว่า:

\(D_{mod} = \frac{D_{mac}}{1+i} = v \cdot D_{mac}\)

หมายเหตุ: หากคุณได้รับอัตราดอกเบี้ยที่ระบุ (nominal interest rate) ซึ่งทบต้น \(m\) ครั้งต่อปี สูตรจะเปลี่ยนเป็น \(D_{mod} = \frac{D_{mac}}{1 + \frac{i^{(m)}}{m}}\)

3. การประมาณการอันดับที่หนึ่งของการเปลี่ยนแปลงราคา

ผู้เข้าสอบ Exam FM จะต้องสามารถประมาณการเปลี่ยนแปลงของมูลค่าปัจจุบันอันเนื่องมาจากการเปลี่ยนแปลงของอัตราดอกเบี้ย (\(\Delta i\)) โดยใช้การประมาณการอันดับที่ 1 (1st-order approximations) สองวิธีที่แตกต่างกัน ดังนี้:

วิธี A: การประมาณการเชิงเส้นอันดับที่ 1 โดยอิงตาม Modified Duration

เมื่อใช้พจน์แรกของการกระจายอนุกรมเทย์เลอร์ (Taylor's expansion) การเปลี่ยนแปลงราคาคิดเป็นเปอร์เซ็นต์จะประมาณได้ดังนี้:

\(\frac{\Delta P}{P} \approx -D_{mod} \cdot \Delta i\)

หรือในรูปของจำนวนเงินดอลลาร์:

\(\Delta P \approx -P(i) \cdot D_{mod} \cdot \Delta i\)

\(P(i + \Delta i) \approx P(i) \cdot (1 - D_{mod} \cdot \Delta i)\)

ตัวอย่าง: หากพันธบัตรมี Modified Duration เท่ากับ 7 และอัตราดอกเบี้ยเพิ่มขึ้น 0.5% (\(\Delta i = +0.005\)) ราคาของพันธบัตรจะเปลี่ยนแปลงไปประมาณ \(-7 \cdot 0.005 = -3.5\%\)

วิธี B: การประมาณการอันดับที่ 1 โดยอิงตาม Macaulay Duration

การประมาณการแบบทบต้นรายปีที่อิงตาม Macaulay duration โดยตรง มีสูตรดังนี้:

\(P(i + \Delta i) \approx P(i) \left(\frac{1+i}{1+i+\Delta i}\right)^{D_{mac}} = P(i) \left(1 + \frac{\Delta i}{1+i}\right)^{-D_{mac}}\)

ดังนั้น การเปลี่ยนแปลงโดยประมาณคิดเป็นเปอร์เซ็นต์จึงเท่ากับ:

\(\frac{\Delta P}{P} \approx \left(1 + \frac{\Delta i}{1+i}\right)^{-D_{mac}} - 1\)

ทั้งสองวิธีให้ผลการประมาณการที่ใกล้เคียงกันมากสำหรับการเปลี่ยนแปลงเล็กๆ ของ \(i\) แต่ต้องตรวจสอบให้แน่ใจว่าได้ใช้วิธีที่โจทย์สอบระบุเจาะจงไว้

4. สเต็ปบายสเต็ป: วิธีคำนวณ Duration

ทำตามขั้นตอนเหล่านี้สำหรับโจทย์ Exam FM ทุกข้อที่ให้คำนวณ Duration จากชุดของกระแสเงินสด:

ขั้นตอนที่ 1: ระบุเวลา \(t\) และกระแสเงินสด \(R_t\) ออกมา
ขั้นตอนที่ 2: คำนวณมูลค่าปัจจุบัน (PV) ของกระแสเงินสดแต่ละงวดโดยใช้อัตราดอกเบี้ยที่กำหนด: \(PV(R_t) = R_t (1+i)^{-t}\)
ขั้นตอนที่ 3: รวมค่า PV เหล่านี้เข้าด้วยกันเพื่อหา ราคา (P) รวม
ขั้นตอนที่ 4: สำหรับการจ่ายเงินแต่ละครั้ง ให้เอา PV คูณกับเวลา \(t\) แล้วนำผลลัพธ์มารวมกันเพื่อหา \(\sum t \cdot PV(R_t)\)
ขั้นตอนที่ 5: นำผลลัพธ์จากขั้นตอนที่ 4 หารด้วยราคา นี่คือค่า Macaulay Duration (\(D_{mac}\)) ของคุณ
ขั้นตอนที่ 6: หากโจทย์ถามหา Modified Duration ให้คำนวณจาก \(D_{mod} = \frac{D_{mac}}{1+i}\)

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย: นักเรียนหลายคนลืมหารด้วยราคาในขั้นตอนสุดท้าย จำไว้นะว่า Duration คือ ค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนัก ดังนั้นคุณต้องหารด้วยมูลค่ารวม (ซึ่งก็คือราคานั่นเอง) เสมอ

5. Duration ของพอร์ตการลงทุน (Portfolio)

Duration ของพอร์ตการลงทุน คือ ค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนัก ของ Duration ของสินทรัพย์แต่ละตัว โดยใช้น้ำหนักจาก มูลค่าตลาด (Market Value) (ราคา) ของสินทรัพย์เหล่านั้น:

\(D_{port} = \sum_{j} w_j \cdot D_j\)

โดยที่ \(w_j = \frac{P_j}{P_{total}}\) และ \(\sum w_j = 1\) ซึ่งสูตรนี้สามารถใช้ได้เหมือนกันทุกประการทั้งสำหรับ Macaulay และ Modified Duration

ตัวอย่าง: คุณมีเงิน \$400 ในพันธบัตร A (Duration = 3) และ \$600 ในพันธบัตร B (Duration = 8)
มูลค่ารวม = \$1,000
\(D_{port} = \left(\frac{400}{1000} \cdot 3\right) + \left(\frac{600}{1000} \cdot 8\right) = 1.2 + 4.8 = 6.0\)

6. สรุปและข้อตกลงสำคัญของ SOA Exam FM

นี่คือประเด็นสำคัญที่คุณต้องจำให้แม่นในวันสอบ:

1. ข้อตกลงตามมาตรฐานของ SOA: หากโจทย์ Exam FM ไม่ได้ระบุเป็นอย่างอื่น คำว่า "duration" จะหมายถึง Macaulay duration เสมอ (และ "convexity" จะหมายถึง modified convexity)
2. Macaulay Duration (\(D_{mac}\)): ระยะเวลาเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักจนกว่าจะได้รับกระแสเงินสด: \(D_{mac} = \frac{\sum t \cdot v^t R_t}{P}\) ให้คิดว่าเป็น "จุดศูนย์ถ่วง"
3. Modified Duration (\(D_{mod}\)): นิยามโดย \(-\frac{P'(i)}{P(i)}\) ซึ่งเป็นตัววัดความไวต่อราคา
4. ความสัมพันธ์: \(D_{mod} = \frac{D_{mac}}{1+i} = v \cdot D_{mac}\)
5. การประมาณการเชิงเส้น: \(\frac{\Delta P}{P} \approx -D_{mod} \cdot \Delta i\)
6. การประมาณการโดย Macaulay: \(P(i + \Delta i) \approx P(i) \left(1 + \frac{\Delta i}{1+i}\right)^{-D_{mac}}\)
7. กฎของ Zero-Coupon: Macaulay Duration ของพันธบัตรชนิดไม่มีคูปองอายุ \(n\) ปี จะมีค่าเท่ากับ \(n\) พอดี