Properties of Interest Rates

Q: 金融市場中常見的國庫券利率、SOFR 與回購利率分別代表甚麼？

國庫券利率是主權政府發行本幣債務的幾乎無違約風險利率；SOFR 是由美國國債全額抵押的隔夜無風險基準利率；回購利率則是透過抵押高質素證券借貸所產生的融資利率。

Q: 如何將每年複利多次的名義利率轉換為連續複利利率？

轉換公式為：$ R_c = m \ln\left(1 + \frac{R_m}{m}\right) $。

Q: 使用零息利率（即期利率）為債券定價的原理是甚麼？

原理是將債券的每一筆未來現金流視為獨立的零息債券，並使用與其特定現金流到期期限相對應的零息利率分別折現。

Q: 債券的到期收益率 (YTM) 與即期利率的主要區別是甚麼？

到期收益率是使所有未來現金流現值等於債券市價的單一折現率，隱含收益率曲線平坦且票息按 YTM 再投資的假設；而即期利率曲線則反映各期限真實的市場折現率。

Q: 甚麼是構建零息利率曲線的自舉法 (Bootstrapping)？

自舉法是一種迭代法，先從短期無息工具獲取短期零息利率，再以此折現較長期限附息債券的前期票息，依序求解更長期限的零息利率。

Q: 在連續複利下，如何計算由兩個不同到期期限的即期利率所隱含的遠期利率？

公式為：$ R_F = \frac{R_2 T_2 - R_1 T_1}{T_2 - T_1} $。

Q: 遠期利率協議 (FRA) 在起始日（$ T_1 $）結算時的現金流公式是甚麼？

借款人的現金流為：$ \text{Cash Flow at } T_1 = \frac{L \times (R_M - R_K) \times \tau}{1 + R_M \times \tau} $。

Q: 麥考利久期 (Macaulay Duration) 與修正久期 (Modified Duration) 的定義及關係為何？

麥考利久期是收回債券各期現金流現值的加權平均時間；修正久期衡量價格變動百分比對收益率變動的敏感度，兩者關係為 $ D_{\text{mod}} = \frac{D_{\text{mac}}}{1 + y/m} $（連續複利下相等）。

Q: 為甚麼在評估較大收益率變動對債券價格的影響時需要引入凸性 (Convexity)？

因為久期僅提供一階線性近似，忽視了債券價格-收益率曲線的彎曲度；結合凸性的二階展開式為 $ \frac{\Delta P}{P} \approx -D_{\text{mod}} \Delta y + \frac{1}{2} C (\Delta y)^2 $。

Q: 流動性偏好理論 (Liquidity Preference Theory) 如何解釋收益率曲線通常向上傾斜？

該理論認為投資者偏好短期流動性，要求對承受更長期價格風險的工具給予額外溢價，因此遠期利率包含流動性溢價且高於預期的未來即期利率。

FRM Part I · FRM · 閱讀約 4 分鐘 · 更新於: 2026年11月11日

歡迎來到利率的世界！

利率常被稱為金融世界的「心跳」。無論您是在評估債券價值、為掉期（互換）定價，還是管理資產負債表風險，理解利率的運作方式都至關重要。在本章中，我們將探討支配資金隨時間增長的基本特性、曲線的構建方式，以及債券價格如何對利率變化作出反應。

1. 利率的不同類型

根據信用質素、抵押品和流動性的不同，整個金融體系中存在著不同的利率：

國庫券利率 (Treasury Rates)

這是主權政府為短期國庫券 (Treasury bills)、中期國債 (notes) 和長期國債 (bonds) 等債務憑證所支付的孳息率。由於政府可以透過徵稅和印鈔來償還本幣債務，因此國庫券利率幾乎不存在違約風險。然而，政府債券孳息率受到監管需求和稅務因素的影響，這可能會使其略低於其他無風險基準利率。

SOFR 與無風險基準利率

歷史上，倫敦銀行同業拆息（LIBOR）一直是浮動利率貸款和衍生工具的主要基準利率。由於 LIBOR 反映的是無抵押的銀行同業借貸，它包含了銀行信用風險，且交易量持續萎縮。現代金融市場已轉向以擔保隔夜融資利率 (SOFR) 作為主要的參考和無風險基準利率。SOFR 是一種由美國國債全額抵押的隔夜利率，因此基本上沒有信用風險。

回購利率 (Repo Rates)

在回購協議 (Repo) 中，一家機構向交易對手出售高質素證券（如國債），並同意在未來某個日期以略高的價格買回。出售價格與回購價格之間的年化差額就是回購利率。由於該交易由標的抵押品擔保，因此回購利率的交易水平非常接近無風險利率。

2. 複利頻率與利率轉換

複利頻率決定了已賺取的利息產生未來利息的頻密程度。對於每年計息 $ m $ 次的年名義利率 $ R $，$ \$1 $ 在 $ n $ 年後的終值為：

$ \text{Terminal Value} = \left(1 + \frac{R}{m}\right)^{m \times n} $

當 $ m \to \infty $ 時，計息變為連續複利，終值為：

$ \text{Terminal Value} = e^{R_c n} $

轉換公式

若要將每年計息 $ m $ 次的利率 $ R_m $ 轉換為等價的連續複利利率 $ R_c $：
$ R_c = m \ln\left(1 + \frac{R_m}{m}\right) $

若要將連續複利利率 $ R_c $ 轉換回每年計息 $ m $ 次的利率 $ R_m $：
$ R_m = m \left(e^{R_c / m} - 1\right) $

3. 債券估值：即期利率與到期收益率

零息利率 (Zero Rate)（或 $ n $ 年期即期利率，表示為 $ r_n $）是指在到期日 $ n $ 進行單筆現金支付，中間無任何票息支付的投資所賺取的孳息率。

利用即期利率為債券估值

由於每筆票息在不同的時間點支付，每筆現金流都應該使用與其特定期限相對應的零息利率進行折現。對於在時間 $ t_i $ 支付現金流 $ C_i $、並在到期日 $ T $ 支付面值 $ F $ 的債券，在連續複利下的價格為：

$ P = \sum_{i=1}^N C_i e^{-r_i t_i} + F e^{-r_T T} $

到期收益率 (YTM)

到期收益率 ($ y $) 是使所有未來現金流的現值等於該債券觀察到的市場價格 $ P $ 的單一折現率：

$ P = \sum_{i=1}^N C_i e^{-y t_i} + F e^{-y T} $

雖然到期收益率提供了一個方便的概括指標，但它假設收益率曲線是平坦的，且所有中間票息都可以按 $ y $ 進行再投資。相比之下，即期利率才反映了真正的市場折現情況。

4. 自舉法構建零息利率 (Bootstrapping Zero Rates)

由於大多數長期債券都會定期支付票息，長期限的零息利率很少能被直接觀察到。自舉法 (Bootstrapping method) 利用貨幣市場利率和附息債券，透過反覆迭代來確定零息利率曲線。

自舉法的步驟

步驟 1： 直接從不支付票息的短期工具（如短期國庫券）中獲取零息利率。
步驟 2： 轉向下一個期限最短的附息債券（例如每半年付息一次的 1 年期債券）。利用步驟 1 中已知的較短期限零息利率，對該債券較早的票息進行折現。
步驟 3： 求解對應於最終到期日的未知零息利率。
步驟 4： 對更長期限的債券依序重複此過程，利用所有先前求出的零息利率來折現較早的現金流。

5. 遠期利率 (Forward Rates)

遠期利率是由當前即期利率所隱含的、適用於未來某段期間借貸的利率。

連續複利公式

設 $ R_1 $ 為到期日 $ T_1 $ 的零息利率，$ R_2 $ 為到期日 $ T_2 $ 的零息利率（其中 $ T_2 > T_1 $）。在 $ T_1 $ 至 $ T_2 $ 期間的隱含遠期利率 $ R_F $ 為：

$ R_F = \frac{R_2 T_2 - R_1 T_1}{T_2 - T_1} $

如果零息利率曲線向上傾斜（$ R_2 > R_1 $），則遠期利率高於即期利率（$ R_F > R_2 $）。如果零息利率曲線出現反轉/倒掛（$ R_2 < R_1 $），則遠期利率低於即期利率。

6. 遠期利率協議 (FRAs)

遠期利率協議 (FRA) 是一種場外交易 (OTC) 合約，旨在鎖定在未來 $ T_1 $ 至 $ T_2 $ 期間針對名義本金 $ L $ 所支付或收取的利率。

FRA 現金流機制

設 $ R_K $ 為約定的固定遠期利率，$ R_M $ 為在時間 $ T_1 $ 觀察到的參考市場利率（例如在該期間複利的 SOFR）。合約期限為 $ \tau = T_2 - T_1 $。

在到期日 $ T_2 $，借款人（即支付固定利率 $ R_K $ 並收取浮動利率 $ R_M $ 的一方）的現金回報為：

$ \text{Payoff at } T_2 = L \times (R_M - R_K) \times \tau $

在標準市場慣例中，FRA 在借貸期開始時（即時間 $ T_1 $）進行結算。為了反映即時付款，該回報會以當時的浮動利率 $ R_M $ 折現至 $ T_1 $：

$ \text{Cash Flow at } T_1 = \frac{L \times (R_M - R_K) \times \tau}{1 + R_M \times \tau} $

7. 久期與凸性 (Duration and Convexity)

當利率變動時，債券價格會朝相反方向變動。風險經理利用久期和凸性來量化這種價格敏感度。

麥考利久期 (Macaulay Duration)

麥考利久期 ($ D_{\text{mac}} $) 衡量收取債券各期現金流所需的加權平均時間，權重為每筆現金流的現值：

$ D_{\text{mac}} = \sum_{i=1}^n t_i \left[\frac{C_i (1 + y/m)^{-m t_i}}{P}\right] $

修正久期與美元久期

修正久期 ($ D_{\text{mod}} $) 直接將價格百分比變動與孳息率變動聯繫起來：

$ D_{\text{mod}} = \frac{D_{\text{mac}}}{1 + \frac{y}{m}} $

註：在連續複利下，$ D_{\text{mod}} = D_{\text{mac}} $。

美元久期 (Dollar Duration)（當按 1 個基點的變動調整時也稱為 DV01）衡量給定孳息率變動下的絕對美元價格變動：

$ \text{Dollar Duration} = D_{\text{mod}} \times P $

凸性與綜合價格變動近似計算

久期提供了一階線性近似。由於不含期權的債券其價格-孳息率關係是凸的（呈曲線狀），因此久期會在孳息率下降時低估價格的上漲幅度，並在孳息率上升時高估價格的下跌幅度。

凸性 ($ C $) 反映了價格對孳息率的二階導數：

$ C = \frac{1}{P} \frac{d^2 P}{dy^2} $

結合久期和凸性，可得出債券價格變動的二階泰勒展開式：

$ \frac{\Delta P}{P} \approx -D_{\text{mod}} \Delta y + \frac{1}{2} C (\Delta y)^2 $

或以總美元變動表示：
$ \Delta P \approx -D_{\text{mod}} P \Delta y + \frac{1}{2} C P (\Delta y)^2 $

8. 期限結構理論

利率期限結構（收益率曲線）描述了零息利率與到期期限之間的關係。主要有三種理論解釋其形狀：

1. 預期理論 (Expectations Theory)

主張長期孳息率等於預期未來短期利率的幾何平均值。在純預期理論下，向上傾斜的曲線意味著市場預期未來短期利率將會上升。

2. 市場分割理論 (Market Segmentation Theory)

認為金融機構和借款人根據其負債結構而具有不同的期限偏好（例如，退休基金需要長期資產；商業銀行偏好短期流動性）。各個期限的利率是由該特定市場區隔的供求關係獨立決定的，期限之間不存在套利機會。

3. 流動性偏好理論 (Liquidity Preference Theory)

指出投資者更偏好短期流動性，並要求對將資金鎖定在承受更大價格風險的較長期限工具中給予溢價。因此，遠期利率高於預期的未來即期利率，兩者差額即為流動性溢價，這解釋了為什麼即使對未來利率的預期保持不變，收益率曲線通常也是向上傾斜的。

參考資料

2026 FRM Exam Part I Learning Objectives — Global Association of Risk Professionals (GARP)
2026 FRM Candidate Guide — Global Association of Risk Professionals (GARP)

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金融市場中常見的國庫券利率、SOFR 與回購利率分別代表甚麼？

國庫券利率是主權政府發行本幣債務的幾乎無違約風險利率；SOFR 是由美國國債全額抵押的隔夜無風險基準利率；回購利率則是透過抵押高質素證券借貸所產生的融資利率。

如何將每年複利多次的名義利率轉換為連續複利利率？

轉換公式為：$ R_c = m \ln\left(1 + \frac{R_m}{m}\right) $。

使用零息利率（即期利率）為債券定價的原理是甚麼？

原理是將債券的每一筆未來現金流視為獨立的零息債券，並使用與其特定現金流到期期限相對應的零息利率分別折現。

債券的到期收益率 (YTM) 與即期利率的主要區別是甚麼？