歡迎來到「均值-變異數投資組合理論」！

你好！今天我們要深入探討財務經濟學中最著名的領域之一：均值-變異數投資組合理論 (Mean-Variance Portfolio Theory, MVPT)。本章是 CM2 資產估值 (Asset Valuations) 部分的基石。
別被這個名字嚇倒！其實 MVPT 的核心很簡單，就是要在「獲取最大回報」（均值 Mean）與「將出錯機會降至最低」（變異數 Variance）之間找到一個「甜蜜點」。把它想像成烘焙一個完美的蛋糕：你既希望它口感極致美味，又希望它在烤箱裡不會塌陷！

1. 基礎概念：什麼是均值-變異數投資組合理論？

由 Harry Markowitz 提出的均值-變異數投資組合理論認為，投資者不應只關注單一股票的潛在增長，而應將眼光放在整個投資組合 (Portfolio)（即資產集合）的表現上。

關鍵假設（遊戲規則）

為了簡化數學運算，我們做了一些假設。如果這些假設聽起來不太實際也不用擔心——它們只是該理論的「起跑點」：

1. 風險規避 (Risk Aversion)： 我們假設投資者是「風險規避者」。這意味著，如果兩項投資的回報相同，投資者永遠會選擇風險較低的那一個。
2. 單一期間 (Single Period)： 我們假設人們只進行固定期限（例如一年）的投資。
3. 決策準則 (Decision Criteria)： 投資者僅根據回報的預期回報與變異數（或標準差）來做出投資決策。

MVPT 何時能得出最佳投資組合？

在預期效用理論下，理性投資者尋求將預期效用 \( E[U(W)] \) 最大化。均值-變異數分析在以下兩個條件之一成立時，與預期效用最大化嚴格一致：
1. 二次效用 (Quadratic Utility)： 投資者擁有二次效用函數 \( U(w) = w - b w^2 \)（其中 \( b > 0 \)），此時無論資產回報如何分配，預期效用完全取決於財富的均值與變異數。
2. 多元常態分配回報 (Multivariate Normally Distributed Returns)： 資產回報遵循聯合常態分配。由於常態分配完全由其均值、變異數及共變異數決定，任何風險規避的預期效用最大化者都純粹基於均值與變異數做出決策。

2. 計算投資組合的回報與風險

在挑選最佳投資組合前，我們必須學會如何衡量它。

兩資產投資組合

如果你持有資產 A 與資產 B，權重分別為 \( w_A \) 與 \( w_B \)，且滿足 \( w_A + w_B = 1 \)：
預期回報：
\( E[R_p] = w_A E[R_A] + w_B E[R_B] \)
變異數：
\( \sigma_p^2 = w_A^2 \sigma_A^2 + w_B^2 \sigma_B^2 + 2w_A w_B \text{Cov}(R_A, R_B) = w_A^2 \sigma_A^2 + w_B^2 \sigma_B^2 + 2w_A w_B \rho_{AB} \sigma_A \sigma_B \)
其中 \( \rho_{AB} \) 是兩種資產之間的相關係數。

多項風險資產投資組合（\( n \) 項資產）

在實務中，精算師與基金經理人會投資於多項資產。對於 \( n \) 項風險資產，權重為 \( w_i \)，滿足 \( \sum_{i=1}^n w_i = 1 \)：

投資組合預期回報：
\( E[R_p] = \sum_{i=1}^n w_i E[R_i] = \mathbf{w}^T \mathbf{e} \)
其中 \( \mathbf{w} \) 為權重的行向量，\( \mathbf{e} \) 為預期回報的行向量。

投資組合變異數：
\( \sigma_p^2 = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n w_i w_j \text{Cov}(R_i, R_j) = \sum_{i=1}^n w_i^2 \sigma_i^2 + \sum_{i=1}^n \sum_{j \neq i} w_i w_j C_{ij} \)
其中 \( C_{ij} = \text{Cov}(R_i, R_j) = \rho_{ij} \sigma_i \sigma_j \)。
以矩陣符號表示即為：
\( \sigma_p^2 = \mathbf{w}^T \mathbf{V} \mathbf{w} \)
其中 \( \mathbf{V} \) 是資產回報的 \( n \times n \) 共變異數矩陣。

3. 多元化：別把雞蛋放在同一個籃子裡

多元化是金融界經典的「免費午餐」。透過組合波動不完全一致的資產，你可以在不必然犧牲預期回報的情況下降低投資組合風險。

相關係數 (\( \rho \)) 的作用：

1. 如果 \( \rho = +1 \)： 資產完全同步波動。完全無法降低風險——標準差純粹是個別標準差的加權平均值。
2. 如果 \( \rho < +1 \)： 投資組合標準差嚴格小於個別標準差的加權平均值。
3. 如果 \( \rho = -1 \)： 完全負相關。理論上可以組合這兩種資產以構建一個完全無風險的投資組合（\( \sigma_p = 0 \)）。

現實生活中的例子：想像你同時擁有一家雨傘店和一家冰淇淋店。下雨時，雨傘店生意興隆而冰淇淋店慘澹；天晴時則情況相反。兩者相加，無論天氣如何，你的總收入都能保持平穩！

跨 \( n \) 項資產多元化的數學效益

為了從數學角度看清多元化的力量，考慮一個由 \( n \) 項資產組成的等權重投資組合，即每個權重為 \( w_i = \frac{1}{n} \)。變異數公式變為：
\( \sigma_p^2 = \sum_{i=1}^n \left(\frac{1}{n}\right)^2 \sigma_i^2 + \sum_{i=1}^n \sum_{j \neq i} \left(\frac{1}{n}\right)^2 C_{ij} \)
令 \( \bar{\sigma}^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \sigma_i^2 \) 為個別資產的平均變異數，且 \( \bar{C} = \frac{1}{n(n-1)} \sum_{i=1}^n \sum_{j \neq i} C_{ij} \) 為所有不同資產對的平均共變異數。則：
\( \sigma_p^2 = \frac{1}{n} \bar{\sigma}^2 + \frac{n-1}{n} \bar{C} \)
當資產數量 \( n \to \infty \) 時：
\( \frac{1}{n} \bar{\sigma}^2 \to 0 \quad \text{以及} \quad \frac{n-1}{n} \bar{C} \to \bar{C} \)
關鍵結果：當投資組合充分多元化時，個別資產的變異數（個別資產特有、可分散的風險）會被沖淡至零。投資組合的變異數收斂至平均共變異數（不可分散的系統性市場風險）！

4. 機會集合與效率前緣

如果我們將所有風險資產的組合繪製在圖表上（水平軸為風險 \( \sigma_p \)，垂直軸為回報 \( E[R_p] \)），就會得到機會集合 (Opportunity Set)（通常呈現子彈或曲線的形狀）。

效率前緣 (Efficient Frontier)

我們不想待在子彈形狀內部的任何位置；理性投資者只會選擇上邊緣上的投資組合。
定義：效率前緣是指在給定風險水平下提供最高預期回報，或等價地，在給定預期回報水平下提供最低風險的投資組合集合。

常見誤區：學生常以為整個邊界都是有效的。只有上半部（位於全域最小變異數組合之上或其上的投資組合）才屬於效率前緣。下半邊界上的點是無效率的，因為投資者大可在上半部冒完全相同的風險而獲得更高的預期回報。

5. 選擇最佳投資組合（無異曲線）

個別投資者如何選擇效率前緣上的特定最佳投資組合呢？這取決於他們的效用函數 (Utility Function)。

我們使用無異曲線 (Indifference Curves) 來代表投資者在預期回報與變異數之間的偏好：
- 對於風險規避型投資者，無異曲線斜率為正（承擔更多風險需要更高的預期回報才能維持相同的預期效用），且曲線是凸向原點的。
- 向左上方移動代表更高的預期效用。
- 投資者的最佳投資組合就是無異曲線與效率前緣相切（可觸及的最高效用曲線）的那一點。

6. 引入無風險資產

如果投資者還能以無風險回報率 \( r_f \)（標準差為零且與風險資產的共變異數為零）借入或借出資金，會發生什麼事？
風險資產的效率前緣會轉化為一條切線：資本市場線 (Capital Market Line, CML)。

CML 的方程式：

\( E[R_p] = r_f + \frac{E[R_M] - r_f}{\sigma_M} \sigma_p \)
其中 \( M \) 是「市場投資組合」(Market Portfolio)（風險效率前緣上唯一的切點投資組合），而 \( \frac{E[R_M] - r_f}{\sigma_M} \) 是市場投資組合的夏普比率 (Sharpe ratio)。

兩基金分離定理 (Two-Fund Separation Theorem)：

1. 投資決策（技術層面）： 找到風險資產的最佳組合（點 \( M \)）。在同質預期下，此風險投資組合對所有投資者來說都是相同的！
2. 融資決策（個人層面）： 根據個人的風險規避程度，決定在無風險資產與切點投資組合 \( M \) 之間分配多少財富。

總結檢查清單

在你繼續往下學之前，請確保你能回答這些問題：
- MVPT 何時等同於預期效用最大化？（當回報遵循多元常態分配，或投資者擁有二次效用函數時）。
- 如何計算 \( n \) 項資產的投資組合變異數？（\( \sigma_p^2 = \sum_i w_i^2 \sigma_i^2 + \sum_i \sum_{j \neq i} w_i w_j C_{ij} = \mathbf{w}^T \mathbf{V} \mathbf{w} \)）。
- 在等權重投資組合中，當 \( n \to \infty \) 時風險會怎樣？（個別變異數項趨近於零，僅留下平均共變異數）。
- 什麼是「效率前緣」？（機會集合的上邊界，在給定變異數下提供最大回報）。
- 什麼是分離定理？（將最佳風險投資組合的選擇與個人的現金融資分配決策分開）。