歡迎來到轉移強度（Transition Intensities）的世界！
你好！今天，我們要深入探討精算師工具箱中最基礎的工具之一：轉移強度的極大似然估計量（Maximum Likelihood Estimators, MLEs）。如果你曾好奇保險公司究竟是如何計算一個人從「健康」狀態轉變為「患病」狀態，或是從「生存」變為「死亡」的「風險」，那麼這就是一切奧秘所在。
如果剛開始看這些數學公式覺得有點頭暈，別擔心，我們會一步步拆解。等你讀完這篇，你會發現計算風險率的「最佳」估計值其實非常符合邏輯！
什麼是轉移強度？
在開始推導之前，我們先快速複習一下我們在研究什麼。在生存模型（Survival Models）中，轉移強度（通常以希臘字母 \(\mu\) 或 \(\sigma\) 表示）代表從一個狀態轉移到另一個狀態的瞬間速率。
把它想像成速度計。如果你正以時速 60 英里行駛，這並不代表你會開一小時；它只是告訴你那一瞬間的速度。同樣地，\(\mu\) 告訴我們在特定時間點死亡或患病的「力度」或「速度」。
觀察計劃與統計量
為了估計轉移強度，我們會設定一個觀察計劃（observational plan）。我們在一段有限的調查期內觀察由 \(N\) 個人組成的有限樣本。對於每個人，我們會記錄：
- 他們何時進入觀察期（以及處於哪個狀態）。
- 狀態之間發生任何轉移的確切時間。
- 他們何時離開觀察（無論是因為到達研究期結束、退出，還是進入吸收狀態）。
從這個計劃中，會為每個狀態 \(i\) 以及轉移 \(i \to j\) 得出兩個關鍵的摘要統計量：
1. 等待時間（總中央暴露值，total central exposure）\(v_i\)：所有人在處於狀態 \(i\) 且處於觀察期內的總時間。
2. 轉移次數 \(d_{ij}\)：直接從狀態 \(i\) 轉移到狀態 \(j\) 所觀察到的總轉移次數。
目標：極大似然估計（MLE）
在現實世界中，我們在樣本中觀察到這些變動。我們擁有數據，但我們不知道 \(\mu\) 的真實值。極大似然法的核心問題是：「哪一個 \(\mu\) 值會使得我們實際觀察到的數據出現的機率最大？」
第一步：建立似然函數（Likelihood Function）
要找到 MLE，我們首先需要寫出似然函數 \(L(\mu)\)。對於單一減損模型（例如：生存到死亡）中的恆定強度 \(\mu\)：
1. 保持在該狀態：一個人在觀察時間區間 \(t\) 內保持在該狀態的機率為 \(e^{-\mu t}\)。將所有人相乘得到 \(e^{-\mu v}\)，其中 \(v = \sum t\) 為總等待時間。
2. 發生轉移：如果某人在某瞬間發生轉移，該事件貢獻一個與 \(\mu\) 成正比的因子。對於總共 \(d\) 次轉移，這會貢獻 \(\mu^d\)。
將這些獨立貢獻結合起來，得出似然函數：
\(L(\mu) = C \mu^d e^{-\mu v}\)
其中 \(C\) 為與 \(\mu\) 無關的任意常數。
第二步：對數似然函數（Log-Likelihood Function）
為了簡化微分運算，我們取似然函數的自然對數（忽略不依賴於 \(\mu\) 的加性常數）：
\(l(\mu) = \ln(L(\mu)) = d \ln(\mu) - \mu v\)
第三步：找到最大值
為了最大化對數似然函數，我們對 \(\mu\) 求一階導數並令其為零：
\(\frac{dl}{d\mu} = \frac{d}{\mu} - v = 0\)
解出 \(\mu\) 即可得到 MLE：
\(\hat{\mu} = \frac{d}{v}\)
重點總結：轉移強度的極大似然估計量簡單來說就是總轉移次數除以總風險時間。
第四步：合理性檢查（二階導數）
為了確認 \(\hat{\mu}\) 使似然函數最大化而非最小化，我們檢查二階導數：
\(\frac{d^2l}{d\mu^2} = -\frac{d}{\mu^2}\)
由於 \(d > 0\) 且 \(\mu^2 > 0\)，二階導數嚴格為負數，確認存在唯一的局部兼全局最大值。
估計量的漸近分佈
根據極大似然理論，當樣本容量變得很大時，估計量 \(\hat{\mu}\) 呈漸近正態分佈：
\(\hat{\mu} \sim N\left(\mu, \frac{1}{I(\mu)}\right)\)
其中 \(I(\mu)\) 為期望費雪資訊（Fisher information）：
\(I(\mu) = -E\left[\frac{d^2l}{d\mu^2}\right] = E\left[\frac{D}{\mu^2}\right] = \frac{E[D]}{\mu^2}\)
因為 \(E[D] = \mu E[V]\)，我們有 \(I(\mu) = \frac{E[V]}{\mu}\)。因此，漸近方差為：
\(\text{Var}(\hat{\mu}) \approx \frac{\mu}{E[V]} = \frac{\mu^2}{E[D]}\)
在實際應用中，用觀察到的統計量替換參數，可得出估計方差：
\(\widehat{\text{Var}}(\hat{\mu}) = \frac{d}{v^2} = \frac{\hat{\mu}}{v}\)
推廣至多狀態與聯合分佈
如果人們在多個狀態之間移動（例如：健康、患病、死亡）呢？假設我們有一個具有狀態 \(i, j, \dots\) 且具有恆定轉移強度 \(\mu_{ij}\) 的馬可夫模型。完整的似然函數為：
\(L = \prod_{i} \prod_{j \neq i} \mu_{ij}^{d_{ij}} \exp(-v_i \mu_{ij})\)
取對數：
\(l = \sum_{i} \sum_{j \neq i} \left( d_{ij} \ln(\mu_{ij}) - \mu_{ij} v_i \right)\)
對每個強度 \(\mu_{ij}\) 進行偏微分：
\(\frac{\partial l}{\partial \mu_{ij}} = \frac{d_{ij}}{\mu_{ij}} - v_i = 0 \implies \hat{\mu}_{ij} = \frac{d_{ij}}{v_i}\)
注意二階偏導數的情況：
- 對於相同的轉移：\(\frac{\partial^2 l}{\partial \mu_{ij}^2} = -\frac{d_{ij}}{\mu_{ij}^2}\)
- 對於不同的轉移 \((i, j) \neq (r, s)\)：\(\frac{\partial^2 l}{\partial \mu_{ij} \partial \mu_{rs}} = 0\)
由於所有交叉偏導數均為零，資訊矩陣是對角矩陣。這確立了一個關鍵結果：極大似然估計量 \(\hat{\mu}_{ij}\) 漸近獨立，其漸近聯合分佈為：
\(\hat{\mu}_{ij} \sim N\left(\mu_{ij}, \frac{\mu_{ij}}{E[V_i]}\right)\)
單一減損中的泊松近似（Poisson Approximation）
還有另一種強大的視角來看待這個估計量。在觀察到的等待時間 \(v\) 內的單一減損模型中，我們可以將轉移次數 \(D\) 視為參數為 \(\lambda = \mu v\) 的近似泊松隨機變數：
\(P(D = d) = \frac{(\mu v)^d e^{-\mu v}}{d!}\)
讓我們寫出該泊松模型下的對數似然函數：
\(l_{\text{Poisson}}(\mu) = d \ln(\mu) + d \ln(v) - \mu v - \ln(d!)\)
對 \(\mu\) 微分：
\(\frac{dl_{\text{Poisson}}}{d\mu} = \frac{d}{\mu} - v = 0 \implies \hat{\mu} = \frac{d}{v}\)
泊松近似推導出了完全相同的估計量以及相同的方差結構！這種等價性在精算修訂（graduation）和廣義線性模型（GLM）中被廣泛應用。
應避免的常見錯誤
- 搞混 \(d\) 和 \(v\)：記住，速率是「單位時間內的事件數」，所以 \(d\)（事件）放在分子，\(v\)（時間）放在分母。
- 假設暴露值完全相同：在多狀態模型中，\(v_i\) 僅取決於在狀態 \(i\) 中度過的時間，而非在其他狀態中度過的時間。
- 忘記漸近獨立性：考生經常忽略不同轉移強度的估計量之間的漸近協方差為零，因為對數似然函數的交叉導數均為零。
速查框
單一強度 MLE： \(\hat{\mu} = \frac{d}{v}\)
多重強度 MLE： \(\hat{\mu}_{ij} = \frac{d_{ij}}{v_i}\)
漸近方差： \(\text{Var}(\hat{\mu}) \approx \frac{\mu}{E[V]} \approx \frac{d}{v^2}\)
漸近協方差： 當 \((i, j) \neq (r, s)\) 時，\(\text{Cov}(\hat{\mu}_{ij}, \hat{\mu}_{rs}) = 0\)
泊松近似： 假設 \(D \sim \text{Poisson}(\mu v)\) 可得到完全相同的估計量 \(\hat{\mu} = d/v\)。
總結與重點提示
1. 觀察計劃記錄個人的轉移歷程，以產生總等待時間 \(v\) 和轉移次數 \(d\)。
2. 最大化對數似然函數得出 \(\hat{\mu} = d/v\)（或在多狀態系統中為 \(\hat{\mu}_{ij} = d_{ij}/v_i\)）。
3. 估計量呈漸近正態分佈，且不同轉移之間相互獨立。
4. 將轉移建模為泊松過程會產生完全相同的極大似然估計量，將生存模型與廣義線性模型緊密聯繫起來。