歡迎來到聯合人壽保單價值（Policy Values for Joint Lives）！

在之前的學習中，你已經掌握了如何計算單人保單的保單價值（責任準備金）。在精算實務中，保險與退休方案往往涵蓋一對受保人——例如夫妻或商業夥伴。在本章中，我們將探討如何運用經典狀態符號以及多狀態模型（Multiple State Model）架構，來釐定與管理聯合人壽的保險及年金之保單價值。

1. 聯合保單評估的核心原則

與單人壽險一樣，時間 \(t\) 的前瞻性保單價值（記作 \(_tV\)）代表未來給付與費用的預期現值，減去未來總保費或純保費的預期現值：

保單價值 = PVFB + PVFE – PVFP

對於聯合受保人 \((x)\) 與 \((y)\)，現金流取決於兩人的狀態失效與存活情況：

  • 聯合生存狀態（Joint Life Status, \(xy\)）： 當 \(x\) 或 \(y\) 首次死亡時狀態即終止。
  • 最後生存者狀態（Last Survivor Status, \(\overline{xy}\)）： 當第二次（最後一人）死亡時狀態才終止。

2. 聯合人壽保險 (\(xy\)) 的保單價值

對於一份在首次死亡時給付投保金額、並在兩人均存活時繳付年繳純平準保費 \(P_{xy}\) 的全離散聯合人壽保險：

\(_tV_{xy} = A_{x+t:y+t} - P_{xy} \cdot \ddot{a}_{x+t:y+t}\)

其中 \(P_{xy} = \frac{A_{xy}}{\ddot{a}_{xy}}\)。若任一方在時間 \(t\) 之前或當刻死亡，契約即告終止，保單價值變為 0。

3. 最後生存者保險 (\(\overline{xy}\)) 的保單價值

最後生存者保單僅在第二次死亡發生時才給付保險金。釐定保單價值直接取決於時間 \(t\) 時誰仍然在生：

  • 當兩人均存活時（狀態 0）： 若年繳保費 \(P_{\overline{xy}}\) 在至少一人存活時持續繳付，則準備金為 \(_tV^{(0)} = A_{\overline{x+t:y+t}} - P_{\overline{xy}} \cdot \ddot{a}_{\overline{x+t:y+t}}\)。
  • 在 \(y\) 死亡後（狀態 1）： 契約僅就 \(x\) 單獨繼續有效。前瞻性準備金變為 \(_tV^{(1)} = A_{x+t} - P \cdot \ddot{a}_{x+t}\)（依據首度死亡後適用的保費規則計算）。
  • 在 \(x\) 死亡後（狀態 2）： 前瞻性準備金變為 \(_tV^{(2)} = A_{y+t} - P \cdot \ddot{a}_{y+t}\)。

關於線性恆等式的重要注意事項： 雖然給付的預期現值滿足 \(A_{\overline{xy}} = A_x + A_y - A_{xy}\)，但對於仍在繳費的保單，保單價值一般並不滿足 \(_tV_{\overline{xy}} = \ _tV_x + \ _tV_y - \ _tV_{xy}\)，這是因為根據等價原則釐定的保費 \(P_{\overline{xy}} \neq P_x + P_y - P_{xy}\)。

4. 聯合年金與回歸年金的保單價值

評估聯合年金的價值需要追蹤以狀態存續為條件的給付：

  • 聯合生存年金： 只要兩人均在生，便在每年年初給付 1。在期數 \(t\) 的前瞻性保單價值（對躉繳保費契約而言）簡化為 \(_tV = \ddot{a}_{x+t:y+t}\)。
  • 最後生存者年金： 只要至少有一人存活，便給付 1。當兩人都存活時，\(_tV^{(0)} = \ddot{a}_{\overline{x+t:y+t}} = \ddot{a}_{x+t} + \ddot{a}_{y+t} - \ddot{a}_{x+t:y+t}\)。在 \(y\) 死亡後，準備金隨即降至單人壽險年金準備金 \(_tV^{(1)} = \ddot{a}_{x+t}\)。
  • 回歸年金（Reversionary Annuity）： 在 \(y\) 死亡後向 \(x\) 給付年金，前提是 \(x\) 比 \(y\) 更長壽。當兩名受保人均在生時，未來給付的預期現值為 \(a_{x+t|y+t} = \ddot{a}_{x+t} - \ddot{a}_{x+t:y+t}\)。若由兩人生存期間繳付的平準保費 \(P\) 出資，在期數 \(t\) 的前瞻性準備金為 \(_tV^{(0)} = (\ddot{a}_{x+t} - \ddot{a}_{x+t:y+t}) - P \cdot \ddot{a}_{x+t:y+t}\)。當 \(y\) 死亡時，保費停止繳付，準備金會經歷一次跳躍，上升至全額單人年金價值：\(_tV^{(1)} = \ddot{a}_{x+t}\)。

5. 多狀態模型架構

聯合人壽契約可以透過四狀態的連續時間或離散時間馬可夫模型進行系統化建模：

  • 狀態 0： \(x\) 與 \(y\) 均存活。
  • 狀態 1： \(x\) 存活，\(y\) 已死亡。
  • 狀態 2： \(y\) 存活，\(x\) 已死亡。
  • 狀態 3： \(x\) 與 \(y\) 均已死亡。

在此架構下，\(_tV^{(i)}\) 代表在保單處於狀態 \(i\) 的條件下，時間 \(t\) 的保單價值。

6. 遞迴與 Thiele 微分方程

離散時間遞迴：

對於在時間 \(t\) 處於狀態 0 的保單，若年繳保費 \(P_t\) 於年初收取，且轉移給付 \(S_{t+1}^{(0j)}\) 於年終支付：

\((_tV^{(0)} + P_t)(1+i) = p_{x+t:y+t}^{00} \cdot \ _{t+1}V^{(0)} + \sum_{j=1}^{3} p_{x+t:y+t}^{0j} \left( S_{t+1}^{(0j)} + \ _{t+1}V^{(j)} \right)\)

其中 \(_{t+1}V^{(3)} = 0\)，因為最終被吸收到狀態 3 後不再有未來的給付。

連續時間 Thiele 微分方程：

在連續時間下，設 \(\delta\) 為利息力，\(P_t^{(0)}\) 為保費現金流入率，\(B_t^{(0)}\) 為狀態 0 下的連續年金給付率，\(S_t^{(0j)}\) 為從 0 轉移至 \(j\) 時支付的整筆保險金，而 \(\mu_{x+t:y+t}^{0j}\) 為轉移強度。狀態 0 的 Thiele 方程為：

\(\frac{d}{dt} \ _tV^{(0)} = \delta \cdot \ _tV^{(0)} + P_t^{(0)} - B_t^{(0)} - \sum_{j \neq 0} \mu_{x+t:y+t}^{0j} \left( S_t^{(0j)} + \ _tV^{(j)} - \ _tV^{(0)} \right)\)

其中項數 \(\left( S_t^{(0j)} + \ _tV^{(j)} - \ _tV^{(0)} \right)\) 為與轉移 \(0 \to j\) 相關的淨危險保額（Net Amount at Risk）。

7. 總結與關鍵要點

  • 聯合生存（\(xy\)）： 現金流於首次死亡時終止；準備金反映聯合生存機率 \(_k p_{xy}\)。
  • 最後生存者（\(\overline{xy}\)）： 現金流持續至第二次死亡；必須跨越不同狀態（兩人生存 vs. 一人生存）分別追蹤準備金。
  • 年金準備金： 回歸年金在主要受保人死亡時，保單價值會出現大幅跳躍，從 \(_tV^{(0)}\) 轉變為未經扣減的單人壽險準備金 \(_tV^{(1)} = \ddot{a}_{x+t}\)。
  • 評估工具： 離散時間保單價值透過馬可夫轉移遞迴推展，而連續時間保單價值則依循 Thiele 微分方程。