Convolution and recursive formulas for aggregate claims

歡迎來到總賠款（Aggregate Claims）的世界！

你好！既然你已經修讀到 Exam ASTAM，你一定已經知道，保險公司關心的不僅僅是單一的一筆賠款——他們更在乎在一段時間內必須賠付的總金額。這筆總金額稱為總賠款（Aggregate Claim），通常記作 \(S\)。

在本章中，我們將學習如何計算 \(S\) 的機率分佈。為什麼這很重要？因為如果精算師無法預測總賠款超過特定金額的可能性，公司可能就沒有足夠的資金來支付賠款！我們將專注於兩個主要的「工具包」：卷積（Convolution）（適用於賠款次數為固定時）以及遞迴公式（Recursive Formulas）（Panjer 遞迴及其在 \((a, b, 0)\) 和 \((a, b, 1)\) 類別的推廣，適用於賠款次數為隨機變數時）。

如果一開始覺得數學部分看起來很吃力，別擔心。我們會把它拆解成容易消化的小部分！

1. 基本構建：什麼是 \(S\)？

在深入公式之前，讓我們回顧一下核心的集體風險模型（collective risk model）：

\(S = X_1 + X_2 + \dots + X_N\)

其中：
• \(N\) 是頻率（Frequency）（賠款次數）。
• \(X_i\) 是嚴重程度（Severity）（第 \(i\) 筆賠款的金額）。
• \(S\) 是總損失（Aggregate Loss）（賠付出的總金額「堆」，當 \(N = 0\) 時，\(S = 0\)）。

在本章中，我們假設所有的 \(X_i\) 都是獨立同分佈（i.i.d.）的非負隨機變數，並且與 \(N\) 也是相互獨立的。

2. 卷積法（Convolution Method）

想像一下，你確定發生了剛好 2 筆賠款（\(N=2\)）。要找出總成本為 100 元的機率，你必須檢查所有兩個非負數字加起來等於 100 的組合（例如：20+80、50+50、0+100）。

卷積其實就是將獨立隨機變數的所有組合加總的正式數學方法。

運作方式：

如果我們定義 \(f_X(x)\) 為離散嚴重程度 \(X\) 的機率質量函數（pmf），那麼 \(n\) 筆賠款總和的 pmf（記為 \(n\) 階卷積 \(f_X^{*n}(s)\)）計算如下：

\(f_X^{*n}(s) = \sum_{x=0}^{s} f_X(x) \cdot f_X^{*(n-1)}(s-x)\)

逐步拆解：

1. 從 \(n=0\) 和 \(n=1\) 開始： 根據定義，\(f_X^{*0}(0) = 1\)（其餘為 0），而 \(f_X^{*1}(s) = f_X(s)\)。
2. 進入 \(n=2\)： 計算二階卷積：\(f_X^{*2}(s) = \sum_{x=0}^{s} f_X(x) f_X(s-x)\)。
3. 持續進行： 對於 \(n=3\)，將 \(f_X(x)\) 與 \(f_X^{*2}\) 的結果進行卷積。
4. 總和分佈： 若 \(N\) 是隨機的，則整體的 pmf 為 \(f_S(s) = \sum_{n=0}^{\infty} p_n f_X^{*n}(s)\)，累積累積份佈函數（cdf）為 \(F_S(s) = \sum_{n=0}^{\infty} p_n F_X^{*n}(s)\)。

重點總結： 卷積在概念上非常直接，但若要在複合模型中對無界的 \(N\) 進行計算，需要累加無限個卷積——這在手算上是完全不切實際的。

3. Panjer 遞迴公式：\((a, b, 0)\) 類別

為免去計算無窮無盡的卷積，Harry Panjer 提出了一種當頻率 \(N\) 屬於 \((a, b, 0)\) 類別時的精確遞迴關係。

\((a, b, 0)\) 關係式

回想一下，對於 \((a, b, 0)\) 家族中的分佈，其機率滿足：
\(p_k = \left(a + \frac{b}{k}\right) p_{k-1}, \quad k = 1, 2, 3, \dots\)

三個成員分佈為：
• Poisson(\(\lambda\))： \(a = 0\)，\(b = \lambda\)，\(p_0 = e^{-\lambda}\)
• 二項分佈 Binomial(\(m, q\))： \(a = -\frac{q}{1-q} < 0\)，\(b = \frac{(m+1)q}{1-q}\)，\(p_0 = (1-q)^m\)
• 負二項分佈 Negative Binomial(\(r, \beta\))： \(a = \frac{\beta}{1+\beta} > 0\)，\(b = \frac{(r-1)\beta}{1+\beta}\)，\(p_0 = (1+\beta)^{-r}\)

\((a, b, 0)\) 遞迴公式

對於定義在非負整數 \(x = 0, 1, 2, \dots\) 上的離散嚴重程度分佈 pmf \(f_X(x)\)，總賠款 pmf \(f_S(s)\) 滿足：

\(f_S(s) = \frac{1}{1 - a f_X(0)} \sum_{x=1}^{s} \left(a + \frac{b x}{s}\right) f_X(x) f_S(s-x), \quad s = 1, 2, 3, \dots\)

起始值：\(f_S(0)\)

為了初始化遞迴，我們需要 \(f_S(0) = P(S = 0)\)。當沒有賠款發生，或所有發生的賠款金額恰好都是零時，總賠款等於零：
\(f_S(0) = P_N(f_X(0))\)

其中 \(P_N(z) = E[z^N]\) 是 \(N\) 的機率生成函數（pgf）。
如果 \(f_X(0) = 0\)（賠款金額嚴格為正），這會漂亮地簡化為 \(f_S(0) = P_N(0) = p_0\)，而且前面的係數項 \(\frac{1}{1 - a f_X(0)}\) 會變成 1。

4. 拓展遞迴公式：\((a, b, 1)\) 類別

在 Exam ASTAM 中，總損失模型經常涉及零截斷（zero-truncated）或零修正（zero-modified）的頻率分佈。這些構成了 \((a, b, 1)\) 類別，其遞迴關係從 \(k = 2\) 開始：

\(p_k = \left(a + \frac{b}{k}\right) p_{k-1}, \quad k = 2, 3, 4, \dots\)

因為該關係在從 \(k=0\) 到 \(k=1\) 時並不成立，所以在 \(x=s\) 的步驟會出現一個調整項。

\((a, b, 1)\) 遞迴公式

當頻率 \(N\) 屬於 \((a, b, 1)\) 類別且離散嚴重程度定義於 \(x = 0, 1, 2, \dots\) 時，對 \(s = 1, 2, 3, \dots\) 的遞迴公式為：

\(f_S(s) = \frac{\left[p_1 - (a + b) p_0\right] f_X(s) + \sum_{x=1}^{s} \left(a + \frac{b x}{s}\right) f_X(x) f_S(s-x)}{1 - a f_X(0)}\)

注意其關聯性： 當 \(N\) 屬於 \((a, b, 0)\) 類別時，\(p_1 = (a + b) p_0\)，因此括號中的項 \(\left[p_1 - (a+b)p_0\right]\) 會歸零，完美符合原本的 Panjer 公式！

\((a, b, 1)\) 的起始值：

同前所述，\(f_S(0) = P_N(f_X(0))\)。若 \(f_X(0) = 0\)，則 \(f_S(0) = p_0\)。對於零截斷分佈，\(p_0 = 0\)，因此 \(f_S(0) = 0\)。

推導分佈函數 \(F_S(s)\)

一旦你計算出 \(f_S(0), f_S(1), \dots, f_S(s)\)，只要累加這些機率，便能輕易求得累積累積份佈函數：
\(F_S(s) = \sum_{y=0}^{s} f_S(y)\)

5. 逐步遞迴過程與連續型嚴重程度

如何在考試中應用遞迴：

1. 判斷頻率類別： 確定 \(N\) 屬於 \((a, b, 0)\) 還是 \((a, b, 1)\)，並找出 \(a\)、\(b\)、\(p_0\) 以及 \(p_1\)。
2. 求 \(f_S(0)\)： 計算 \(P_N(f_X(0))\)。
3. 計算 \(f_S(1)\)： 帶入 \(s=1\) 套用公式（會用到 \(f_S(0)\)）。
4. 計算 \(f_S(2), f_S(3), \dots\)： 每個步驟都會用到之前算出的 \(f_S(s-x)\) 值。
5. 累加 \(F_S(s)\)： 若題目要求累積機率 \(P(S \le s)\) 或超額損失保費（stop-loss premium），則將計算出的數值相加。

如果嚴重程度是連續型該怎麼辦？

遞迴公式需要離散的嚴重程度分佈。當實際的嚴重程度為連續型時，我們首先使用步長 \(h\) 將其離散化為網格，可採用以下方法：
• 捨入法（Method of Rounding）： 根據網格點周圍的區間將機率質量分配給網格點 \(jh\)：對於 \(j \ge 1\)，\(f_j = F_X(jh + h/2) - F_X(jh - h/2)\)，而 \(f_0 = F_X(h/2)\)。
• 局部矩匹配法（Method of Local Moment Matching）： 在子區間內匹配各階矩，以保留局部的平均值及／或方差。

6. 快速回顧與考試陷阱

注意指標範圍： 在兩種 Panjer 公式中，總和都是從 \(x=1\) 到 \(s\)，絕對不是從 \(x=0\) 開始。\(x=0\) 的部分已經由分母 \(1 - a f_X(0)\) 處理了。
權重項： 總和內部的權重始終是 \(\left(a + \frac{b x}{s}\right)\)。請注意，\(x\) 是當前的嚴重程度指標，而 \(s\) 是總損失指標。
零修正 vs. 零截斷： 對於 \((a, b, 1)\) 模型，千萬不要忘記額外的 \(\left[p_1 - (a+b)p_0\right] f_X(s)\) 項。如果頻率是零截斷分佈，則 \(p_0 = 0\)，該項簡化為 \(p_1 f_X(s)\)。