歡迎來到久期（Duration）的世界！

如果你正在準備 Exam FM，你一定已經知道，當利率上升時，債券價格就會下跌。但對於精算師和投資經理來說，最關鍵的問題是：價格究竟會變動多少？這正是久期（Duration）幫我們衡量的指標。

你可以把久期想像成衡量一組現金流「敏感度」或「波動性」的方法。無論你是在管理退休基金還是單純的債券組合，理解久期都是管理利率風險的關鍵。別擔心現在覺得這些概念有點抽象——我們會把它拆解成簡單易懂的內容！

1. 麥考利久期（Macaulay Duration）：現金流的「重心」

想像你在手指上平衡一塊長木板。如果木板兩端有重物，「平衡點」就是重心所在。麥考利久期（\(D_{mac}\)）本質上就是一系列現金流在時間維度上的「重心」。

它是指收到所有現金流的加權平均時間。我們不是按金額大小來分配權重，而是按這些金額的現值（Present Value, PV）來分配。

公式

如果我們在時間 \(t\) 收到支付款 \(R_t\)，且年度實際利率為 \(i\)，則麥考利久期的定義為：

\(D_{mac} = \frac{\sum_{t} t \cdot R_t (1+i)^{-t}}{\sum_{t} R_t (1+i)^{-t}} = \frac{\sum_{t} t \cdot v^t \cdot R_t}{\sum_{t} v^t \cdot R_t}\)

分母 \(\sum_{t} v^t \cdot R_t\) 其實就是該資產的價格（Price, P）或現金流的現值。所以：

\(D_{mac} = \frac{\sum_{t} t \cdot PV(R_t)}{P(i)}\)

現實生活的類比

想像一個每年派發利息的 10 年期債券。你並不是等到第 10 年才拿到所有錢；你在第 1 年拿到一部分，第 2 年又拿到一部分，以此類推。麥考利久期告訴你，平均而言，你需要等待（例如）8.2 年才能收回你的投資價值。

麥考利久期的重要性質

1. 零息債券（Zero-Coupon Bonds）： 對於在 \(n\) 時刻支付的零息債券，麥考利久期剛好就是 \(n\)。這是因為只有一筆支付款，所以加權平均時間就是該支付日期！
2. 附息債券（Coupon Bonds）： 對於任何在到期前支付利息的債券，麥考利久期永遠小於到期期限。
3. 利率影響： 隨著利率 \(i\) 上升，麥考利久期會下降（因為未來的現金流被折現得更多，使得較早期的支付款在平均權重中佔比變得更「重」）。

快速回顧： 麥考利久期 = 加權平均時間。它的單位是年（或是你設定的時間單位）。

2. 修正久期（Modified Duration）：敏感度計量器

麥考利久期告訴我們的是時間，而修正久期（\(D_{mod}\)）告訴我們的是價格敏感度。在數學上，它是根據價格函數相對於收益率 \(i\) 的一階導數來定義的：

\(D_{mod} = -\frac{P'(i)}{P(i)}\)

麥考利久期與修正久期的關係

這兩種衡量指標之間存在著直接的數學聯繫。對 \(P(i) = \sum R_t (1+i)^{-t}\) 進行求導可得 \(P'(i) = -\sum t \cdot R_t (1+i)^{-(t+1)} = -\frac{1}{1+i} \sum t \cdot R_t (1+i)^{-t}\)。代入定義中可得出：

\(D_{mod} = \frac{D_{mac}}{1+i} = v \cdot D_{mac}\)

注意：如果題目給出的是每年複利 \(m\) 次的名義利率，公式則變為 \(D_{mod} = \frac{D_{mac}}{1 + \frac{i^{(m)}}{m}}\)。

3. 價格變動的一階近似（First-Order Approximations）

Exam FM 要求考生使用兩種不同的一階近似方法來估算因利率變動（\(\Delta i\)）而引起的現值變動：

方法 A：基於修正久期的一階線性近似

使用泰勒展開式（Taylor expansion）的第一項，價格的百分比變動可近似為：

\(\frac{\Delta P}{P} \approx -D_{mod} \cdot \Delta i\)

或者以金額表示：

\(\Delta P \approx -P(i) \cdot D_{mod} \cdot \Delta i\)

\(P(i + \Delta i) \approx P(i) \cdot (1 - D_{mod} \cdot \Delta i)\)

例子： 如果一個債券的修正久期為 7，而利率上升了 0.5%（\(\Delta i = +0.005\)），那麼債券價格大約會變動 \(-7 \cdot 0.005 = -3.5\%\)。

方法 B：基於麥考利久期的一階近似

直接基於麥考利久期的年複利近似公式為：

\(P(i + \Delta i) \approx P(i) \left(\frac{1+i}{1+i+\Delta i}\right)^{D_{mac}} = P(i) \left(1 + \frac{\Delta i}{1+i}\right)^{-D_{mac}}\)

因此，近似的百分比變動為：

\(\frac{\Delta P}{P} \approx \left(1 + \frac{\Delta i}{1+i}\right)^{-D_{mac}} - 1\)

當 \(i\) 的變動較小時，兩種方法得出的近似值非常接近，但請務必根據考試題目要求的具體版本作答。

4. 分步教學：如何計算久期

在 Exam FM 中，遇到任何涉及從一組現金流計算久期的題目時，請遵循以下步驟：

第 1 步： 列出所有時間 \(t\) 和現金流 \(R_t\)。
第 2 步： 使用給定的利率計算每一筆現金流的現值（PV）：\(PV(R_t) = R_t (1+i)^{-t}\)。
第 3 步： 將這些 PV 相加，算出總價格（P）。
第 4 步： 將每一筆支付款的 PV 乘以對應的時間 \(t\)，並將結果相加，得到 \(\sum t \cdot PV(R_t)\)。
第 5 步： 用第 4 步的結果除以價格。這就是你的麥考利久期 \(D_{mac}\)。
第 6 步： 如果題目要求的是修正久期，則計算 \(D_{mod} = \frac{D_{mac}}{1+i}\)。

常見錯誤： 許多學生最後忘記除以價格。請記住，久期是一種加權平均值，所以你必須除以總價值（即價格）。

5. 投資組合的久期

投資組合的久期是各個資產久期的加權平均值，權重為這些資產的市場價值（Market Value）（價格）：

\(D_{port} = \sum_{j} w_j \cdot D_j\)

其中 \(w_j = \frac{P_j}{P_{total}}\) 且 \(\sum w_j = 1\)。此公式同樣完全適用於麥考利久期和修正久期。

例子： 你持有價值 $400 的債券 A（久期 = 3）和價值 $600 的債券 B（久期 = 8）。
總價值 = $1,000。
\(D_{port} = \left(\frac{400}{1000} \cdot 3\right) + \left(\frac{600}{1000} \cdot 8\right) = 1.2 + 4.8 = 6.0\)。

6. 總結與 SOA Exam FM 重要慣例

以下是你在考試當天必須掌握的核心要點：

1. SOA 預設慣例： 除非 Exam FM 題目中另有說明，否則「久期（duration）」一詞預設指麥考利久期（而「凸性（convexity）」則預設指修正凸性）。
2. 麥考利久期 (\(D_{mac}\))： 現金流的時間加權平均：\(D_{mac} = \frac{\sum t \cdot v^t R_t}{P}\)。想成是「重心」。
3. 修正久期 (\(D_{mod}\))： 定義為 \(-\frac{P'(i)}{P(i)}\)。衡量價格敏感度。
4. 兩者聯繫： \(D_{mod} = \frac{D_{mac}}{1+i} = v \cdot D_{mac}\)。
5. 線性近似： \(\frac{\Delta P}{P} \approx -D_{mod} \cdot \Delta i\)。
6. 麥考利近似： \(P(i + \Delta i) \approx P(i) \left(1 + \frac{\Delta i}{1+i}\right)^{-D_{mac}}\)。
7. 零息債券法則： \(n\) 年期零息債券的麥考利久期剛好就是 \(n\)。