金融經濟學基礎

歡迎閱讀 CAIA 第一級的金融經濟學基礎 (Financial Economics Foundations) 學習筆記。金融經濟學連接了量化理論與資產估值的實際應用。本章提供了核心工具機制，用於固定收益證券定價、信用風險建模、使用因子模型進行股票定價，以及透過迴歸分析與假設檢定來評估實證關係。

1. 貨幣的時間價值、價格與利率

資產估值的基石在於將未來的現金流進行折現以確定其現值。如果在未來時期 \(t\) 收到現金流 \(CF_t\)，則使用適合該期限的即期利率 (Spot Interest Rate) \(r_t\) 來折現其現值：

\(PV = \frac{CF_t}{(1 + r_t)^t}\)

對於一系列現金流，無套利價格是每筆現金流按其相應的即期利率（或零息利率）進行折現的總和，而不是在所有期限上使用單一且統一的到期收益率：

\(P = \sum_{t=1}^T \frac{CF_t}{(1 + r_t)^t}\)

折現因子 (Discount Factors)：折現因子 \(d_t\) 代表在時間 \(t\) 收到的 \$1 的現值，其中 \(d_t = \frac{1}{(1 + r_t)^t}\)。無風險債券的價格可以簡單寫為 \(P = \sum CF_t \times d_t\)。

2. 遠期利率 (Forward Interest Rates)

遠期利率是在今天約定的利率，適用於在未來某一日期開始並在更後日期到期的貸款或投資。遠期利率防止了在跨多個較短時期投資與鎖定單一長期即期利率之間的套利行為。

在無套利條件下，以兩期即期利率 \(r_2\) 投資兩期，其回報必須完全等於以一期即期利率 \(r_1\) 投資一期，然後再轉滾至從第 1 年開始的一期遠期利率（記為 \(f_{1,1}\)）所得的回報：

\((1 + r_2)^2 = (1 + r_1)(1 + f_{1,1})\)

解出遠期利率：

\(f_{1,1} = \frac{(1 + r_2)^2}{1 + r_1} - 1\)

如果實際的遠期市場利率與該理論利率存在差異，套利者就會透過以較低利率借款並以較高利率貸出，利用定價偏差進行套利，直到該平衡關係恢復為止。

3. 無套利模型與二叉樹模型

無套利模型 (Arbitrage-Free Model) 經過校準，能正確定價所觀察到的高流動性市場工具（如基準政府債券或期權），且不允許存在無風險獲利機會。

二叉樹模型 (Binomial Tree Models)：二叉樹將基礎變數（例如資產價格或短期利率）在離散步長上的演變過程進行建模。在每個步長中，價值可以按因子 \(u\) 向上移動到「上升狀態」，或按因子 \(d\) 向下移動到「下降狀態」。

利用風險中性估值 (Risk-Neutral Valuation)，資產的定價方式是獲取風險中性機率 \(\pi\) 下的預期未來回報，並以無風險利率 \(r\) 進行折現：

\(P_0 = \frac{\pi V_u + (1 - \pi) V_d}{1 + r}\)

其中向上移動的風險中性機率為：

\(\pi = \frac{(1 + r) - d}{u - d}\)

在固定收益二叉樹中，利率沿著節點演變，透過從到期日向後倒推至零時刻，可以對包含內嵌期權的債券（如可贖回或可回售債務）進行估值。

4. 單因子無違約債券模型

為了理解利率的期限結構，單因子期限結構模型假設收益率曲線的所有變動均由一個底層狀態變數驅動：即時短期利率 \(r\)。

單因子模型的主要特徵包括：

- 漂移項與波動率 (Drift and Volatility)：短期利率根據漂移項（預期路徑）和隨機擴散項（波動率）演變。
- 均值回歸 (Mean Reversion)：許多模型納入了均值回歸特徵，即利率隨時間推移會被拉回到長期均衡水平。
- 收益率曲線形狀 (Yield Curve Shapes)：單因子模型根據當前短期利率相對於其長期均值和市場風險溢價的情況，生成向上傾斜、向下傾斜或駝峰狀的收益率曲線。

5. 信用風險的簡約模型 (Reduced-Form Modelling)

信用風險估值區分了兩種主要的建模方法：結構化模型 (Structural Models) 與簡約模型 (Reduced-Form Models)。

- 結構化模型：將違約視為內生事件，當公司的資產價值跌破其債務責任（違約門檻）時發生。
- 簡約模型：將違約視為外生的、不可預測的跳躍，由風險率 (Hazard Rate)或違約強度 \(\lambda\) 控制。違約可能會在任何時刻意外發生，即使公司的資產負債表看起來具備償付能力。

在簡約模型架構下，在時間 \(t\) 內的風險中性生存機率約為 \(e^{-\lambda t}\)。預期信用損失同時包含了違約機率與違約損失率 (Loss Given Default, LGD)，其中 \(LGD = 1 - \text{回收率 (Recovery Rate)}\)。風險債券的收益率利差補償了投資者承擔的這項預期損失以及信用風險溢價。

6. 單因子股票定價模型

單因子股票模型將資產回報解釋為一個共同宏觀因子的函數：市場風險。

資本資產定價模型 (CAPM) 確立了資產的預期回報率 \(E[R_i]\) 僅取決於其系統性風險，由其市場貝塔 \(\beta_i\) 衡量：

\(E[R_i] = R_f + \beta_i (E[R_m] - R_f)\)

其中 \(\beta_i = \frac{Cov(R_i, R_m)}{Var(R_m)}\)。

總風險可分解為兩個不同部分：
1. 系統性風險（市場風險）：無法透過分散投資消除的風險。投資者因承擔此風險而獲得補償。
2. 非系統性風險（特質風險／個別風險）：可透過投資組合分散化消除的公司特有風險。它不會帶來任何預期風險溢價。

7. 迴歸分析與假設檢定

為了實證估算因子曝險，分析師使用基於單指數市場模型的普通最小平方法 (OLS) 迴歸：

\(R_{i,t} - R_{f,t} = \alpha_i + \beta_i (R_{m,t} - R_{f,t}) + \epsilon_{i,t}\)

其中：
- \(\alpha_i\)（詹森阿爾法，Jensen's Alpha）代表截距，衡量超出市場風險曝險的超額回報。
- \(\beta_i\) 代表資產回報對市場超額回報的敏感度。
- \(\epsilon_{i,t}\) 代表均值為零的殘差項。

假設檢定 (Hypothesis Testing)

為了檢驗經理人是否創造了具統計顯著性的阿爾法，我們設定：
- 虛無假設 (\(H_0\))：\(\alpha_i = 0\)（無超額回報）。
- 對立假設 (\(H_a\))：\(\alpha_i \neq 0\)（存在超額回報）。

檢定統計量等於估計係數除以其標準誤：
\(t = \frac{\hat{\alpha}_i - 0}{SE(\hat{\alpha}_i)}\)

如果 \(t\) 統計量的絕對值超過所選顯著水準的臨界值（或者 \(p\) 值小於 \(\alpha_{crit}\)），我們便拒絕虛無假設。

抽樣與檢定陷阱

- 型一錯誤 (Type I Error)：拒絕了真正的虛無假設（例如，將純粹靠運氣跑贏大市的經理人誤判為具有投資技能）。
- 型二錯誤 (Type II Error)：未能拒絕錯誤的虛無假設（例如，由於雜訊過多或樣本量過小，未能識別出真正優秀的經理人）。
- 存活偏誤 (Survivorship Bias)：樣本遺漏了失敗或已清盤的基金，從而推高歷史回報並扭曲迴歸估計值。
- 數據窺探與選擇偏誤 (Data Snooping and Selection Bias)：在大量模型或子集中進行反覆搜尋，直到純粹偶然發現明顯具有顯著性的關係。

重點概念總結

- 即期與遠期利率：遠期利率代表由無套利關係約束的收支平衡借貸利率。
- 二叉樹估值：將資產價格路徑離散化，並使用風險中性機率向後倒推計算價格。
- 單因子期限結構模型：根據短期利率的隨機路徑對收益率曲線進行建模。
- 簡約信用模型：將違約建模為由風險率驅動的外生泊松到達事件。
- 單因子股票模型：區分了獲得補償的系統性風險 (\(\beta\)) 與可分散的特質風險。
- 迴歸與假設檢定：量化阿爾法與因子敏感度，同時防範型一錯誤、型二錯誤和樣本選擇偏誤。