歡迎來到固定收益：含權債券的定價與分析

歡迎！如果你已經來到 Level II，你應該已經知道債券並不總是單純的「今天買入、收利息、到期拿回本金」。有時候，債券會附帶一些額外條款，這些條款稱為隱含期權（embedded options）。在本章中，我們將學習如何為這些期權定價，並理解它們如何改變債券的表現。如果一開始覺得數學部分很複雜，別擔心，我們會一步步拆解！

為什麼這很重要？ 在現實世界中，許多公司債和市政債都會允許發行人「贖回」（買回）債券，允許投資人「賣回」（退還）債券，或允許投資人將債券轉換為普通股。如果你不懂得如何評估這些條款的價值，你可能會買貴了，或者賣得太便宜！

1. 理解基礎：可贖回債券與可賣回債券

在進入數學計算前，我們先釐清這些期權是什麼。你可以把隱含期權想像成是一份與債券本身密不可分的「附帶合約」。

可贖回債券（發行人的好幫手）

可贖回債券（Callable bond）賦予發行人權利，以預定的價格（贖回價格，call price）提前償還債券。
比喻：想像你有一個房貸。如果利率下降，你可能會選擇轉按（refinance）以獲得更低的利率。這本質上就是「贖回」了你的舊貸款並開始一份新貸款。企業的做法也是如此！

關鍵公式： \( Value_{CallableBond} = Value_{StraightBond} - Value_{CallOption} \)

由於這項期權對發行人有利，因此與普通債券相比，投資人會要求更低的買入價格（或更高的收益率）。

可賣回債券（投資人的安全網）

可賣回債券（Putable bond）賦予投資人權利，以預定的價格（賣回價格，put price）將債券賣回給發行人。
比喻：這就像擁有「保證滿意」的退貨政策。如果利率上升導致你的債券價格下跌，你可以直接把它退還給公司並拿回現金。

關鍵公式： \( Value_{PutableBond} = Value_{StraightBond} + Value_{PutOption} \)

由於這項期權對投資人有利，因此你必須為這份「保險」支付更高的價格。

快速總結：
- 可贖回（Callable）： 發行人可以「贖回」債券。對發行人有利。債券價格較低。
- 可賣回（Putable）： 投資人可以「賣回」債券。對投資人有利。債券價格較高。

2. 二項式利率樹（Binomial Interest Rate Tree）

要為這些債券定價，我們不能只用一個折現率，因為利率會隨時間變動。我們使用二項式樹（Binomial Tree）——這是一張未來潛在利率的分布圖。

樹狀圖如何運作

1. 節點（Nodes）： 樹上的每一個點代表特定時間點的一個可能利率。
2. 波動率（Volatility）： 「上升」與「下降」利率之間的差距是由假設的波動率（\( \sigma \)）決定的。波動率越高，分支擴散得越寬。
3. 關係： 在標準模型中，任何節點上的高利率（\( i_H \)）與低利率（\( i_L \)）之間的關係為：
\( i_H = i_L \times e^{2\sigma} \)

定價過程（反向歸納法，Backward Induction）

這是最關鍵的視覺化步驟。要找到今天的價格，我們從最後（到期日）開始，一路回推到現在。這稱為反向歸納法。

逐步定價：
1. 從最後一年開始。債券價值等於本金 + 最後一期利息。
2. 向後退一步。計算每個節點的預期價值（Expected Value）：
\( Value = \frac{0.5 \times (BondValue_{Up} + Coupon) + 0.5 \times (BondValue_{Down} + Coupon)}{1 + r_{node}} \)
3. 「檢查」：
- 對於可贖回債券，任何節點上的價值都不能超過贖回價格：\( NodeValue = \min(CalculatedValue, CallPrice) \)。
- 對於可賣回債券，任何節點上的價值都不能低於賣回價格：\( NodeValue = \max(CalculatedValue, PutPrice) \)。
4. 重複此步驟直到回到節點 0（今天）。

你知道嗎？ 我們在每個節點使用一年期遠期利率（forward rate）來折現一年後的現金流。我們不使用即期利率（spot rate）！

3. 波動率與收益率曲線形狀的影響

學生常覺得這部分很棘手，但有一個簡單的記憶方式：

利率波動率

當波動率增加時，期權（無論是 Call 還是 Put）的價值都會變得更高。
- 對於可贖回債券：當波動率 \( \uparrow \)，贖回期權價值 \( \uparrow \)。因為你要扣除期權價值，所以可贖回債券價格 \( \downarrow \)。
- 對於可賣回債券：當波動率 \( \uparrow \)，賣回期權價值 \( \uparrow \)。因為你要加上期權價值，所以可賣回債券價格 \( \uparrow \)。

收益率曲線形狀

- 如果收益率曲線為向上傾斜（Upward Sloping），債券被贖回的機率較低（因為未來的遠期利率較高）。
- 如果收益率曲線為平坦或倒掛（Flat or Inverted），被贖回的機率會高得多。

記憶口訣： 「波動對期權是好事（Vol is Good for Options）」。如果你擁有期權（可賣回），你會喜歡波動率；如果你是發行人擁有期權（可贖回），你會討厭波動率，因為這增加了被贖回的風險。

4. 期權調整利差（Option-Adjusted Spread, OAS）

比較債券時，我們常看「利差」（相對於基準的額外收益率）。但對於含權債券，利差會被期權成本「污染」。我們需要將其「淨化」。這就是OAS的作用。

定義： OAS 是加在二項式樹中所有一年期遠期利率上的固定利差，使得計算出來的樹狀價值等於市場價格。

需記憶的關鍵關係：
1. 對於可贖回債券： \( OAS < Z\text{-}Spread \)。(Z-spread 包含了給予發行人的贖回期權的收益率讓步/補償；OAS 將其剔除)。
2. 對於可賣回債券： \( OAS > Z\text{-}Spread \)。(Z-spread 較低是因為投資人為賣回權付了錢；OAS 將該價值加回)。
3. 如果模型中的假設波動率增加：
- 對於可贖回債券：模型贖回期權價值上升 \( \rightarrow \) 模型價格跌至市場價格以下 \( \rightarrow \) OAS 必須減少以匹配市場價格。
- 對於可賣回債券：模型賣回期權價值上升 \( \rightarrow \) 模型價格升至市場價格以上 \( \rightarrow \) OAS 必須增加以將模型價格折現下調至市場價格。

快速複習： 如果你看到兩隻相似的債券，其中一隻 OAS 較高，它被視為低估（值得買入）。如果 OAS 較低，則是高估。

5. 有效存續期（Effective Duration）與有效凸性（Effective Convexity）

標準的「修正存續期（Modified Duration）」和「麥考利存續期（Macaulay Duration）」不能用於含權債券，因為它們假設現金流不會改變。但當債券被贖回或賣回時，現金流確實會改變！我們必須使用「有效」指標。

有效存續期

\( EffDur = \frac{V_- - V_+}{2 \times V_0 \times \Delta y} \)

- 可贖回債券： 當利率走低時，債券很可能被贖回。這產生了一個「價格上限」。因此，當利率低時，可贖回債券的有效存續期比普通債券更低。
- 可賣回債券： 當利率走高時，債券很可能被賣回。這產生了一個「價格下限」。因此，當利率高時，可賣回債券的有效存續期比普通債券更低。

有效凸性

這就是著名的圖表：
- 可贖回債券在利率低時呈現負凸性（Negative Convexity）。這意味著當利率下降時，價格不會如預期般漲得那麼多（因為觸碰了「上限」）。
- 可賣回債券通篇呈現正凸性（Positive Convexity）。價格下限使得利率上升時，價格維持得比普通債券更高。

常見錯誤： 不要混淆修正存續期與有效存續期。如果題目提到含權債券，請務必尋找「有效存續期」。

6. 設有上限與下限的浮動利率票據（Capped and Floored FRNs）

浮動利率票據（FRNs）也可以包含限制票息變動的隱含期權：

1. 設有上限（Capped FRN）： 為票面利率設定上限（Cap）。
- 上限是發行人的期權。
- \( Value_{CappedFRN} = Value_{StraightFRN} - Value_{Cap} \)

2. 設有下限（Floored FRN）： 為票面利率設定下限（Floor）。
- 下限是投資人的期權。
- \( Value_{FlooredFRN} = Value_{StraightFRN} + Value_{Floor} \)

關鍵總結： 就像可贖回/可賣回債券一樣，上限對投資人不利（價格較低），而下限對投資人有利（價格較高）。

7. 可轉換債券（Convertible Bonds）

可轉換債券（Convertible bond）賦予債券持有人將債券轉換為發行公司特定數量普通股的權利。它是一種結合了債務與股權特性的混合證券。

關鍵定義與公式

1. 轉換比率（Conversion Ratio）： 每張轉換債券所換得的普通股數量：
\( \text{Conversion Ratio} = \frac{\text{Par Value}}{\text{Conversion Price}} \)

2. 轉換價值（Conversion Value）： 債券立即轉換為股票時的價值：
\( \text{Conversion Value} = \text{Underlying Share Price} \times \text{Conversion Ratio} \)

3. 可轉換債券的最低價值（Minimum Value）： 該債券的交易價格至少必須為普通債券價值（作為一般無期權債券的價值）與轉換價值兩者中的較高者：
\( \text{Minimum Value} = \max(\text{Straight Value}, \text{Conversion Value}) \)

4. 市場轉換價格（Market Conversion Price）： 投資人透過購買可轉換債券而實際為每股支付的價格：
\( \text{Market Conversion Price} = \frac{\text{Convertible Bond Market Price}}{\text{Conversion Ratio}} \)

5. 每股市場轉換溢價（Market Conversion Premium per Share）：
\( \text{Market Conversion Premium per Share} = \text{Market Conversion Price} - \text{Underlying Share Price} \)

風險與回報特徵

- 當標的股票價格非常低時，可轉債的表現如同普通債券（普通債券價值構成價格下限，稱為「債券底線」或 bond floor）。
- 當股票價格大幅上漲時，可轉債的表現如同股票（逐美元緊密跟隨轉換價值）。
- 在兩者之間，它表現為混合證券，兼具參與股票上行潛力與下行保護。

最終總結清單

- [ ] 我知道可贖回債券 = 普通債券 - 贖回期權？
- [ ] 我知道可賣回債券 = 普通債券 + 賣回期權？
- [ ] 我能解釋為什麼用 OAS 來比較含權債券？
- [ ] 我是否理解波動率對可贖回債券 OAS（減少）與可賣回債券 OAS（增加）的影響？
- [ ] 我是否記得有效存續期是含權債券適當的存續期指標？
- [ ] 我是否能計算可轉換債券的轉換比率、轉換價值與市場轉換溢價？

你做得到！固定收益 Level II 的核心在於理解「如何做」背後的「為什麼」。持續練習那些二項式樹與期權關係，這些邏輯很快就會變成你的直覺！