歡迎來到證券價格的隨機模型（Stochastic Models）！

在金融與精算經濟學中，證券價格會隨著不可預測的市場消息和經濟力量而隨時間波動。隨機模型（stochastic model）利用概率論來為這些跨越連續時間的動態、不確定性變動建立模型。在本章中，我們將建立證券價格的連續時間框架，探討標準布朗運動（standard Brownian motion）、隨機微分方程（stochastic differential equations）、伊藤引理（Ito's Lemma）、幾何布朗運動（Geometric Brownian Motion），以及具均值回歸特性的奧恩斯坦-烏倫貝克過程（Ornstein-Uhlenbeck process）。

1. 標準布朗運動（維納過程）

連續時間隨機建模的核心是標準布朗運動（standard Brownian motion），亦稱為維納過程（Wiener process），對於 \( t \ge 0 \) 記作 \( W_t \)（或 \( B_t \)）。

\( W_t \) 的基本性質：

1. 起始值：以概率 1 滿足 \( W_0 = 0 \)。
2. 連續樣本路徑：路徑 \( t \mapsto W_t \) 以概率 1 處處連續。
3. 獨立增量：對任意時間 \( 0 \le s < t \le u < v \)，增量 \( W_v - W_u \) 獨立於 \( W_t - W_s \)。此過程具備馬可夫性質（Markov property）：未來的增量僅取決於當前狀態，而與過去歷史無關。
4. 平穩且呈常態分佈的增量：對任意 \( s < t \)，增量 \( W_t - W_s \sim N(0, t - s) \)。特別是，\( E[W_t] = 0 \) 且 \( \operatorname{Var}(W_t) = t \)。
5. 不可微性：雖然路徑處處連續，但它們以概率 1 處處不可微，並且在任何有限區間內都表現出無窮的全變差（total variation）。

2. 隨機微分方程（SDE）與伊藤積分

由於布朗運動的樣本路徑不可微，一般的微積分無法適用。我們使用以微分形式表示的隨機微分方程（SDE）來為連續時間過程 \( X_t \) 的動態建立模型：
\( dX_t = μ(t, X_t) dt + σ(t, X_t) dW_t \)

在嚴謹的積分形式下，這意味著：
\( X_t = X_0 + \int_0^t μ(s, X_s) ds + \int_0^t σ(s, X_s) dW_s \)

在此：
- \( \int_0^t μ(s, X_s) ds \) 是一個標準的黎曼（或勒貝格）積分，代表確定性的漂移項（drift）。
- \( \int_0^t σ(s, X_s) dW_s \) 是一個關於布朗運動的伊藤積分（Ito integral），代表隨機的擴散項（diffusion）。
- 伊藤積分的一個關鍵性質是它是一個鞅（martingale）（當 \( \sigma \) 滿足標準的可積條件時），意味著在給定當前資訊下，其未來的預期變化為零。

擴散過程 vs 均值回歸過程

- 一般擴散過程具有漂移和擴散函數 \( \mu(t, X_t) \) 與 \( \sigma(t, X_t) \)，其中漂移項可能會導致無拘束的遊走或增長（例如股票價格的指數漂移）。
- 均值回歸過程的特點是包含一個漂移項，每當過程偏離時，該項就會將過程拉回長期中心水平，這使其非常適合不會無限增長的經濟變數。

3. 伊藤引理（Ito's Lemma）

處理隨機過程函數的基石工具是伊藤引理（Ito's Lemma）。它考慮了布朗運動非零的二次變差，在非正式表述中即 \( (dW_t)^2 = dt \)，而 \( dt \cdot dW_t = 0 \) 且 \( (dt)^2 = 0 \)。

一維伊藤公式：

若 \( dX_t = \mu_t dt + \sigma_t dW_t \)，且 \( f(t, x) \) 是一個二次連續可微的函數，則 \( Y_t = f(t, X_t) \) 滿足：
\( dY_t = \frac{\partial f}{\partial t} dt + \frac{\partial f}{\partial x} dX_t + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} (dX_t)^2 \)

代入 \( (dX_t)^2 = \sigma_t^2 dt \)：
\( dY_t = \left( \frac{\partial f}{\partial t} + \mu_t \frac{\partial f}{\partial x} + \frac{1}{2} \sigma_t^2 \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} \right) dt + \sigma_t \frac{\partial f}{\partial x} dW_t \)

4. 幾何布朗運動（連續時間對數常態模型）

股票與證券價格的標準模型是幾何布朗運動（Geometric Brownian Motion, GBM），其受以下隨機微分方程支配：
\( dS_t = \mu S_t dt + \sigma S_t dW_t \)

其中 \( \mu \) 為常數預期回報率（漂移率），而 \( \sigma > 0 \) 為常數波動率。

使用伊藤引理解 SDE：

設 \( f(S_t) = \ln S_t \)。則：
\( \frac{\partial f}{\partial S} = \frac{1}{S_t} \)、\( \frac{\partial^2 f}{\partial S^2} = -\frac{1}{S_t^2} \)，以及 \( \frac{\partial f}{\partial t} = 0 \)。

應用伊藤引理：
\( d(\ln S_t) = \frac{1}{S_t} dS_t + \frac{1}{2} \left(-\frac{1}{S_t^2}\right) (dS_t)^2 \)
\( d(\ln S_t) = \frac{1}{S_t} (\mu S_t dt + \sigma S_t dW_t) - \frac{1}{2 S_t^2} (\sigma^2 S_t^2 dt) = \left(\mu - \frac{1}{2}\sigma^2\right) dt + \sigma dW_t \)

從 0 到 \( t \) 進行積分：
\( \ln S_t - \ln S_0 = \left(\mu - \frac{1}{2}\sigma^2\right) t + \sigma W_t \)
\( S_t = S_0 \exp\left( \left(\mu - \frac{1}{2}\sigma^2\right) t + \sigma W_t \right) \)

對數常態模型的性質：

1. 嚴格正值性：由於指數函數嚴格為正，只要 \( S_0 > 0 \)，對所有 \( t \) 都有 \( S_t > 0 \)。具有有限責任的證券其價值不可為負數。
2. 回報分佈：連續複利回報率 \( \ln(S_t / S_0) \) 呈常態分佈，均值為 \( (\mu - \frac{1}{2}\sigma^2)t \)，方差為 \( \sigma^2 t \)。因此，證券價格服從對數常態分佈（lognormal distribution）。
3. 期望值與方差：
\( E[S_t] = S_0 e^{\mu t} \)
\( \operatorname{Var}(S_t) = S_0^2 e^{2\mu t} (e^{\sigma^2 t} - 1) \)

支持與反對對數常態模型的實證證據：

支持證據：
- 價格保持嚴格非負，符合有限責任。
- 模型針對百分比變化而非絕對金額變化進行建模，反映了投資者評估回報的方式。
- 數學處理性佳（mathematical tractability）：能得出解析解，例如布萊克-舒爾斯（Black-Scholes）公式。

反對證據：
- 厚尾 / 肥尾（峰度 Kurtosis）：現實世界中的回報分佈比常態分佈表現出更厚的尾部；市場崩盤和大額跳空的發生頻率遠高於 GBM 的預測。
- 波動率群聚與非常數波動率：真實市場波動率隨時間變化並形成群聚現象（高波動期後往往伴隨高波動），與常數 \( \sigma \) 的假設相悖。
- 波動率微笑 / 偏斜（Volatility Smile / Skew）：期權市場中的隱含波動率隨行使價而變化，證明市場並非在單一恆定波動率下為衍生工具定價。
- 連續性 / 跳空風險（Jump Risk）：重大消息公佈時，真實證券價格會出現不連續的跳空，而布朗運動的路徑則是嚴格連續的。

5. 奧恩斯坦-烏倫貝克過程（Ornstein-Uhlenbeck Process）

奧恩斯坦-烏倫貝克（OU）過程是一種表現出均值回歸（mean reversion）特性的連續時間隨機過程。其隨機微分方程為：
\( dX_t = \alpha(\mu - X_t) dt + \sigma dW_t \)

其中：
- \( \alpha > 0 \) 是均值回歸速度。
- \( \mu \) 是長期均值（回歸水平）。
- \( \sigma > 0 \) 是常數波動率。
- \( W_t \) 是標準布朗運動。

漂移項如何運作：

- 當 \( X_t > \mu \) 時，漂移項 \( \alpha(\mu - X_t) < 0 \)，施加向下的壓力使其拉回 \( \mu \)。
- 當 \( X_t < \mu \) 時，漂移項 \( \alpha(\mu - X_t) > 0 \)，將 \( X_t \) 向上拉向 \( \mu \)。

性質與顯式解：

透過將伊藤引理應用於 \( e^{\alpha t} X_t \)，可得出精確解為：
\( X_t = \mu + (X_0 - \mu) e^{-\alpha t} + \sigma \int_0^t e^{-\alpha(t - s)} dW_s \)

由於確定性被積函數關於布朗運動的積分呈常態分佈，因此 \( X_t \) 在任何時間均呈常態分佈：
- 期望值：\( E[X_t] = \mu + (X_0 - \mu) e^{-\alpha t} \)，當 \( t \to \infty \) 時趨向於 \( \mu \)。
- 方差：\( \operatorname{Var}(X_t) = \frac{\sigma^2}{2\alpha} (1 - e^{-2\alpha t}) \)，當 \( t \to \infty \) 時趨向於平穩方差 \( \frac{\sigma^2}{2\alpha} \)。

6. 何時以及如何應用這些模型

在精算實務與金融工程中，模型的選擇取決於資產背後的經濟特性：

在以下情況使用幾何布朗運動 (GBM)：

- 普通股票與股票指數：沒有天然上限或錨定點的資產，且預期會隨著經濟生產力在長期內呈指數增長。
- 有限責任證券：價值不能跌破零的資產。
- 基準衍生工具定價：封閉解期權估值（布萊克-舒爾斯-默頓 Black-Scholes-Merton 框架）。

在以下情況使用奧恩斯坦-烏倫貝克過程 (OU)：

- 短期利率：OU 過程構成了利率期限結構 瓦西塞克模型（Vasicek model） 的基礎，在該模型中，宏觀經濟政策與市場力量會將利率拉回均衡目標。
- 商品價格與能源市場：石油、天然氣和農產品的價格錨定於長期邊際生產成本；過高的價格會激勵供應增加，進而將價格拉回。
- 隨機波動率模型：將波動率本身建模為圍繞市場平均波動率水平波動的均值回歸過程。

OU 模型需要記住的局限性：由於 \( X_t \) 呈常態分佈，它以非零概率可能取負值。雖然在歷史上觀察到過負利率，但如果未經修正，它不適合作為無法出現負價格資產的直接模型。