歡迎來到經驗貝葉斯估計 (Empirical Bayesian Estimation)！

在古典貝葉斯可信度理論中，我們會同時指定給定風險參數 \(\Theta\) 下風險的條件分佈，以及 \(\Theta\) 的先驗分佈。然而在現實世界中，我們幾乎不可能知道 \(\Theta\) 的先驗分佈。這就是經驗貝葉斯估計派上用場的時候：我們不去預設先驗分佈，而是直接從跨多個風險的歷史數據中，估計出結構參數——整體均值 \(\mu\)、過程方差的期望值 (EPV) \(v\)，以及假設均值的方差 (VHM) \(a\)。

根據對分佈所作假設的程度，該方法主要分為兩種情況：

- 無母數估計 (Nonparametric estimation)：無論是對條件損失分佈還是先驗參數分佈，都不作任何參數分佈假設。估計完全依賴樣本動差和方差。

- 半母數估計 (Semiparametric estimation)：對給定 \(\Theta\) 下的損失假設了一個參數條件分佈（例如泊松分佈或指數分佈），從而在條件均值與條件方差之間建立了函數關係。然而，對於 \(\Theta\) 則不作任何分佈假設。

1. 無母數情況

在無母數情境下，我們假設手頭有 \(k\) 個風險的數據。我們考慮兩種標準模型：樣本數相等以及風險敞口不相等。

模型 1：樣本數相等（Bühlmann 模型）

假設這 \(k\) 位投保人中每一位都觀察了 \(n\) 個時期，其中 \(X_{ij}\) 為風險 \(i\) 在時期 \(j\) 的觀察理賠額。

步驟 1：個別風險均值
\(\bar{X}_i = \frac{1}{n} \sum_{j=1}^{n} X_{ij}\)

步驟 2：總體均值 (\(\hat{\mu}\))
\(\hat{\mu} = \bar{X} = \frac{1}{k} \sum_{i=1}^{k} \bar{X}_i\)

步驟 3：過程方差的期望值 (\(\hat{v}\))
我們取所有 \(k\) 位投保人不偏樣本方差的平均值：
\(\hat{v} = \frac{1}{k(n - 1)} \sum_{i=1}^{k} \sum_{j=1}^{n} (X_{ij} - \bar{X}_i)^2\)

步驟 4：假設均值的方差 (\(\hat{a}\))
各 \(\bar{X}_i\) 的樣本方差估計的是 \(Var(\bar{X}_i) = a + \frac{v}{n}\)。因此，我們透過減去估計的過程方差成分，來獲得 \(a\) 的不偏估計量：
\(\hat{a} = \frac{1}{k - 1} \sum_{i=1}^{k} (\bar{X}_i - \bar{X})^2 - \frac{\hat{v}}{n}\)

模型 2：風險敞口不相等（Bühlmann-Straub 無母數模型）

當各風險在時期 \(j = 1, \dots, n_i\) 具有不同的風險敞口 \(m_{ij}\) 時，令 \(m_i = \sum_{j=1}^{n_i} m_{ij}\) 且 \(m = \sum_{i=1}^{k} m_i\)。風險均值為 \(\bar{X}_i = \frac{1}{m_i} \sum_{j=1}^{n_i} m_{ij} X_{ij}\)，而總體均值為 \(\bar{X} = \frac{1}{m} \sum_{i=1}^{k} m_i \bar{X}_i\)。

估計 \(v\)：
\(\hat{v} = \frac{1}{\sum_{i=1}^{k} (n_i - 1)} \sum_{i=1}^{k} \sum_{j=1}^{n_i} m_{ij} (X_{ij} - \bar{X}_i)^2\)

估計 \(a\)：
\(\hat{a} = \frac{\sum_{i=1}^{k} m_i (\bar{X}_i - \bar{X})^2 - (k - 1)\hat{v}}{m - \frac{1}{m} \sum_{i=1}^{k} m_i^2}\)

2. 半母數情況

在半母數經驗貝葉斯估計中，我們指定了條件分佈 \(X_{ij} | \Theta_i\) 的形式，但保留 \(\Theta\) 的先驗分佈不作指定。由於條件模型確定了條件均值 \(\mu(\Theta)\) 與條件方差 \(v(\Theta)\) 之間的數學關係，因此我們直接利用這種結構性關聯來估計 \(v\)，而不需要使用純粹的樣本方差。

泊松頻率模型

最常見的半母數模型出現在理賠次數 \(N_{ij}\) 給定 \(\Theta_i\) 下服從均值為 \(m_{ij} \lambda(\Theta_i)\) 的泊松分佈。定義 \(X_{ij} = \frac{N_{ij}}{m_{ij}}\) 為每單位風險敞口的理賠率。

對於泊松變量，條件方差等於條件均值：
\(E[X_{ij} | \Theta_i] = \mu(\Theta_i) = \lambda(\Theta_i)\)
\(Var(X_{ij} | \Theta_i) = \frac{\lambda(\Theta_i)}{m_{ij}} = \frac{\mu(\Theta_i)}{m_{ij}}\)

因此，過程方差參數為 \(v(\Theta_i) = \mu(\Theta_i)\)，這意味著：
\(v = E[v(\Theta)] = E[\mu(\Theta)] = \mu\)

泊松半母數模型的參數估計：
1. 整體均值：\(\hat{\mu} = \bar{X} = \frac{1}{m} \sum_{i=1}^{k} \sum_{j=1}^{n_i} m_{ij} X_{ij} = \frac{\text{總理賠數}}{\text{總風險敞口}}\)
2. 過程方差：由於 \(v = \mu\)，我們的估計量直接就是：
\(\hat{v} = \hat{\mu}\)
3. 假設均值的方差：我們將 \(\hat{v} = \hat{\mu}\) 代入 Bühlmann-Straub 的分子中：
\(\hat{a} = \frac{\sum_{i=1}^{k} m_i (\bar{X}_i - \bar{X})^2 - (k - 1)\hat{\mu}}{m - \frac{1}{m} \sum_{i=1}^{k} m_i^2}\)

風險敞口相等時的註記：當 \(n_i = n\) 且 \(m_{ij} = 1\) 時，這簡化為 \(\hat{v} = \hat{\mu} = \bar{X}\) 以及 \(\hat{a} = \frac{1}{k - 1} \sum_{i=1}^{k} (\bar{X}_i - \bar{X})^2 - \frac{\hat{\mu}}{n}\)。

3. \(\hat{a}\) 的截斷規則

由於 \(\hat{a}\) 是透過從觀察到的組間變異中減去估計的過程方差成分來估計的，因此樣本數據計算出來有可能會出現 \(\hat{a} < 0\)。

由於假設均值的方差不可能是負數，我們使用修正後的估計量：
\(\hat{a}^* = \max(0, \hat{a})\)

當 \(\hat{a} \le 0\) 時，我們設 \(\hat{a}^* = 0\)。這意味著個別經驗所展現的變異，並沒有超出純粹由隨機巧合（過程方差）所預期的程度，從而導致可信度因子為 \(Z = 0\)，並將 100% 的權重分配給整體均值 \(\hat{\mu}\)。

無母數與半母數估計之總結

1. 無母數：不假設任何條件分佈。\(\hat{v}\) 是利用各風險在不同觀察期內的樣本方差來估計的。
2. 半母數：假設了條件分佈（例如泊松分佈，其中 \(v = \mu\)）。我們不需要各時期的樣本方差來估計 \(v\)；我們直接使用 \(\hat{v} = \hat{\mu}\)。
3. 可信度計算：一旦估計出 \(\hat{\mu}\)、\(\hat{v}\) 和 \(\hat{a}\)，風險 \(i\) 的可信度保費即可使用標準公式計算：\(P_i = Z_i \bar{X}_i + (1 - Z_i)\hat{\mu}\)，其中 \(Z_i = \frac{m_i}{m_i + \hat{v}/\hat{a}}\)（或在風險敞口相等時為 \(Z = \frac{n}{n + \hat{v}/\hat{a}}\)）。