歡迎來到額外風險建模的世界！

你好！當你深入探索長期保險的世界時，你會很快發現並非每個人都符合「標準」模型。有些人抽煙，有些人患有慢性疾病，而有些人可能從事高風險職業或擁有高風險愛好，例如商業潛水或飛行。在精算術語中，我們稱這些為次標準風險 (substandard risks)。

在本章中，我們將學習如何調整死亡率模型，以在定價和保單價值計算中反映這些額外風險。SOA FAM 課程大綱在學習目標 10(e) 下特別考核三種額外風險建模方法：

• 年齡評級 (Age rating)
• 死亡力常數增加 (Constant addition to the force of mortality)
• 死亡率常數倍數 (Constant multiple of the rate of mortality)

讓我們來看看每種方法如何運作，以及它們如何影響淨保費和保單價值。


為什麼我們需要調整死亡率？

標準生命表反映了標準、健康的受保人群的預期死亡率。如果保險公司對次標準生命採用標準費率，保險給付將會被低估 (underpriced)，導致合約出現預期虧損。為防止這種情況，精算師會調整死亡率假設，以計算出適當較高的毛保費或淨保費，並釐定合適的保單價值。


方法 1：年齡評級

年齡評級 (Age rating)（通常稱為「增加年齡」）是處理額外風險最古老且最簡單的實用方法之一。在這種方法下，一名年齡為 \(x\) 的申請人在進行所有精算計算時，都會被視為年齡為 \(x + h\)，其中 \(h > 0\) 代表增加的評級年數。

運作方式

如果一名年齡為 \(x\) 的申請人獲得 \(h\) 年的年齡評級，則每個標準精算函數都會在年齡 \(x + h\) 處進行評估：

• 調整後的 1 年期死亡率： \(q_x^* = q_{x+h}\)
• 調整後的 \(t\) 年期生存概率： \({}_tp_x^* = {}_tp_{x+h}\)
• 調整後的終身壽險精算現值 (APV)： \(A_x^* = A_{x+h}\)
• 調整後的生存年金精算現值 (APV)： \(\ddot{a}_x^* = \ddot{a}_{x+h}\)
• 調整後的年繳淨保費： \(P_x^* = P_{x+h} = \frac{A_{x+h}}{\ddot{a}_{x+h}}\)

比喻

把它想像成檢查一輛二手車：一輛車齡 4 年的汽車，如果在惡劣條件下行駛了 15 萬英里，其耗損程度可能相當於一輛車齡 8 年的車輛。年齡評級將受保生命視為擁有一個大於其生理年齡的「精算年齡」。


方法 2：死亡力常數增加

有時，額外危險最好被表示為一種獨立、恆定的死亡危險，並在時間上連續起作用（例如持續的危險愛好或環境暴露）。這是通過在標準死亡力 (force of mortality) 上增加一個常數 \(\phi > 0\) 來建模的。

調整後的死亡力與生存函數

調整後的死亡力 \(\mu_{x+t}^*\) 定義為：
\(\mu_{x+t}^* = \mu_{x+t} + \phi\)

由於生存概率是死亡力積分的指數形式：
\({}_tp_x^* = \exp\left( -\int_0^t (\mu_{x+s} + \phi)\,ds \right) = \exp\left(-\int_0^t \mu_{x+s}\,ds\right) \cdot e^{-\phi t} = {}_tp_x \cdot e^{-\phi t}\)

現值計算的考試提示

請注意，因子 \(e^{-\phi t}\) 在數學上的作用就像增加了利息力！在連續假設下：
\(\bar{A}_x^* = \int_0^\infty e^{-\delta t} {}_tp_x^* \mu_{x+t}^*\,dt\)
類似地，對於連續終身年金：
\(\bar{a}_x^* = \int_0^\infty e^{-\delta t} {}_tp_x^*\,dt = \int_0^\infty e^{-(\delta + \phi) t} {}_tp_x\,dt = \bar{a}_x^{(\delta + \phi)}\)
其中 \(\bar{a}_x^{(\delta + \phi)}\) 是在調整後的利息力 \(\delta^* = \delta + \phi\) 下評估的。


方法 3：死亡率常數倍數

在這種方法中，標準離散 1 年期死亡率 \(q_{x+t}\) 乘以一個常數因子 \(m > 1\)（通常表示為 \(1 + k\) 或百分比，例如標準死亡率的 150% 或 200%）。

公式

對於每個保單年度 \(t = 0, 1, 2, \dots\)：
\(q_{x+t}^* = m \cdot q_{x+t} = (1+k)q_{x+t}\)

相應的調整後 1 年期生存概率為：
\(p_{x+t}^* = 1 - q_{x+t}^* = 1 - m \cdot q_{x+t}\)

多年期生存概率 \({}_kp_x^*\) 隨後計算為各調整後單年生存概率的乘積：
\({}_kp_x^* = p_x^* \cdot p_{x+1}^* \dots p_{x+k-1}^* = \prod_{j=0}^{k-1} (1 - m \cdot q_{x+j})\)

邊界條件：由於 \(q_{x+t}^*\) 是一個概率，它不能超過 1。當應用倍數 \(m\) 時，精算師通常將比率上限設定為 1，因此 \(q_{x+t}^* = \min(m \cdot q_{x+t}, 1)\)。


在額外風險下計算保費和保單價值

一旦確定了調整後的生存概率 \({}_tp_x^*\) 或死亡率 \(q_{x+t}^*\)，我們便可以使用標準原則來計算精算現值和保單價值：

1. 等價原則保費

對於向 \((x)\) 簽發的單位保額完全離散終身壽險保單：
\(P^* = \frac{A_x^*}{\ddot{a}_x^*}\)

由於較高的死亡率會增加死亡給付的預期現值（\(A_x^* > A_x\)），並減少年金給付的預期現值（\(\ddot{a}_x^* < \ddot{a}_x\)），因此次標準風險的淨保費 \(P^*\) 必然嚴格大於標準淨保費 \(P\)。

2. 淨保費保單價值（預期法）

在經過期數 \(t\) 時，淨保費保單價值是使用從該點開始未來的調整後死亡率基準計算的：
\({}_tV^* = A_{x+t}^* - P^* \ddot{a}_{x+t}^*\)

請注意，如果額外風險僅適用於暫時期間（例如額外危險僅適用於前 5 年），則該期間結束後，死亡率基準將恢復為標準基準。


額外風險方法總結比較

• 年齡評級：將年齡設為 \(x + h\)。直接在標準生命表中查閱較高年齡 \(x+h\) 的數值。
• 死亡力常數增加： \(\mu_{x+t}^* = \mu_{x+t} + \phi \implies {}_tp_x^* = {}_tp_x \cdot e^{-\phi t}\)。在所有年齡層增加平坦的連續危險。
• 死亡率常數倍數： \(q_{x+t}^* = m \cdot q_{x+t}\)。成比例調整標準年死亡率，得出 \(p_{x+t}^* = 1 - m \cdot q_{x+t}\)。


考試重要提示

• 仔細核對指定方法：確保你分清了連續死亡力 \(\mu\) 的調整（方法 2）與應用於年死亡率 \(q\) 的常數倍數（方法 3）。
• 暫時性額外風險：如果題目指明申請人僅支付 \(n\) 年的額外風險附加費或僅在 \(n\) 年內面臨額外死亡率，請嚴格僅對 \(t < n\) 進行調整；對於 \(t \ge n\)，適用標準死亡率。
• 保單價值的方向性：雖然額外風險總是會增加保費，但對保單價值的影響則取決於額外風險隨著時間推移是保持水平、遞增還是遞減。