歡迎來到二項式樹的世界！

你好！如果你正在準備 Exam FAM，你大概已經發現，估算期權價格有時就像在預測未來。雖然我們沒有水晶球，但我們有更好的工具：二項式期權定價模型 (Binomial Option Pricing Model)。在本章中，我們將學習如何通過假設世界比現實簡單一些，來為單一無股息資產的歐式期權定價。我們不再去處理某個時期內的無限可能性，而是假設資產價格只會往兩個方向移動：上漲 (Up) 或 下跌 (Down)。如果一開始覺得這個模型很抽象，不用擔心；一旦你看懂了其中的規律，它就像看地圖一樣簡單！

1. 核心概念：步步為營

二項式模型是一個「離散時間」(discrete-time) 模型。這意味著我們將期權的壽命劃分為特定的時間段（步長）。在最簡單的版本，即單期模型 (Single-Period Model) 中，我們只關注今天的價格和到期日的價格。

想像一隻股票價格為 \(S\)。在長度為 \(h\) 的一個週期過後，只會發生兩種情況：
1. 價格上漲至 \(S_u\)（其中 \(S_u = S \times u\)）
2. 價格下跌至 \(S_d\)（其中 \(S_d = S \times d\)）

必須掌握的關鍵術語：
• \(u\)：「上漲因子」(up factor)（其中 \(u > 1\)）。
• \(d\)：「下跌因子」(down factor)（其中 \(0 < d < 1\)）。
• \(r\)：連續複利無風險利率。
• \(h\)：以年為單位計的時間步長（例如，如果一年為 1，且我們分為 2 步，則 \(h = 0.5\)）。

無套利條件： 為了讓模型合理並避免出現無風險套利（「無中生有」的利潤），無風險回報率必須嚴格介於下跌幅度與上漲幅度之間。對於無股息資產，這意味著：\(d < e^{rh} < u\)。

模型總結

二項式模型將資產價格變動簡化為一個「分岔路口」。通過知道相關資產最終可能到達的位置，並計算期權在每種結果下的回報，我們可以進行逆向推導，找出該期權在今天的合理價格。

2. 方法一：複製投資組合 (\(\Delta\) 和 \(B\))

這是衍生工具定價的基石原理：如果兩個投資組合在未來的任何可能狀態下產生的回報完全相同，它們今天的價格也必須相同。

我們通過建立一個由 \(\Delta\) 股標的股票以及投資於無風險零息債券的金額 \(B\) 組成的投資組合，來複製期權的回報。無論股票上漲還是下跌，我們都讓這個投資組合的價值 (\(\Delta S + B\)) 等於期權的價值。

計算公式（無股息資產）：
求股票數量 (\(\Delta\))：
\(\Delta = \frac{V_u - V_d}{S_u - S_d} = \frac{V_u - V_d}{S(u - d)}\)

求債券金額 (\(B\))：
\(B = e^{-rh} \frac{u V_d - d V_u}{u - d}\)

期權價格： \(V = \Delta S + B\)

類比： 將 \(\Delta\) 想成一個「敏感度因子」。它告訴你期權回報相對於股票價格變動的幅度。例如，如果股票價差 \(S_u - S_d\) 為 \$1，而期權價差 \(C_u - C_d\) 為 \$0.50，那麼你的 \(\Delta\) 就是 0.50。

3. 方法二：風險中性定價（期望現值法）

在 Exam FAM 中，風險中性期望現值法是最常用的方法。我們對衍生工具定價時，假設投資者是風險中性的，這意味著所有資產均以無風險利率 \(r\) 增長。

步驟 1：計算風險中性概率 (\(p^*\))
在風險中性條件下，股票的預期回報率等於無風險利率：\(S e^{rh} = p^* S_u + (1 - p^*) S_d\)。解出 \(p^*\) 得：
\(p^* = \frac{e^{rh} - d}{u - d}\)

步驟 2：計算期權價值
現在，計算在 \(p^*\) 下的預期回報，並以無風險利率將其折現回今天：
\(V = e^{-rh} [p^* V_u + (1 - p^*) V_d]\)

快速回顧：
• \(V_u\) 是股票上漲時的期權回報（例如，對於認購期權 (call)，是 \(\max(0, S_u - K)\)；對於認沽期權 (put)，是 \(\max(0, K - S_u)\)）。
• \(V_d\) 是股票下跌時的期權回報。
• 務必包含折現因子 \(e^{-rh}\)！漏掉它是考試中非常常見的錯誤。

4. 多期樹：逐步逆向推導

如果期權一年後到期，而我們用兩個 6 個月的步長 (\(h = 0.5\)) 來建模呢？我們將樹擴展為兩期模型。在標準的重組二項式樹 (recombining binomial tree) 中，先上漲後下跌與先下跌後上漲產生的股票價格相同（\(S_{ud} = S_{du} = S \cdot u \cdot d\)）。

逆向推導過程：
1. 終端節點： 計算到期時（時間 \(2h\)）的股票價格：\(S_{uu} = S u^2\)、\(S_{ud} = S u d\) 以及 \(S_{dd} = S d^2\)。確定每個最終節點處衍生工具的回報。
2. 倒推一步至時間 \(h\)： 使用風險中性公式將每對終端價值折現回中間節點（\(V_u\) 和 \(V_d\)）：
\(V_u = e^{-rh} [p^* V_{uu} + (1 - p^*) V_{ud}]\)
\(V_d = e^{-rh} [p^* V_{ud} + (1 - p^*) V_{dd}]\)
3. 倒推一步至時間 0： 將 \(V_u\) 和 \(V_d\) 折現回今天，求出初始期權價格 \(V\)：
\(V = e^{-rh} [p^* V_u + (1 - p^*) V_d]\)

關鍵要點

無論樹有多少步，過程都是完全相同的：計算末端葉節點的回報，並利用 \(p^*\) 和折現因子 \(e^{-rh}\) 將價值「拉」回節點 0。

5. 認沽期權及簡單歐式衍生工具的定價

二項式樹具有通用性：它適用於任何回報取決於到期時標的股票價格的歐式衍生工具。在 Exam FAM 的考核範圍內，所有衍生工具均為單一無股息資產的歐式衍生工具。

歐式認購期權 (Call Option)： 回報為 \(C_T = \max(0, S_T - K)\)。注意 \(\Delta = \frac{C_u - C_d}{S_u - S_d} \ge 0\)，意味著認購期權需要買入持有股票多頭（\(\Delta > 0\)）並借入資金（\(B < 0\)）。

歐式認沽期權 (Put Option)： 回報為 \(P_T = \max(0, K - S_T)\)。對於認沽期權，\(P_u \le P_d\)，因為股價下跌時認沽期權的價值更高。因此：
\(\Delta = \frac{P_u - P_d}{S_u - S_d} \le 0\)
這意味著複製認沽期權需要賣空股票（\(\Delta < 0\)）並將資金借出投資於債券（\(B > 0\)）。

認購-認沽期權平價關係 (Put-Call Parity) 檢驗： 對於行使價為 \(K\)、到期時間為 \(T\) 的歐式期權，二項式模型得出的價格在每個節點都必須滿足認購-認沽期權平價關係：
\(C - P = S - K e^{-rT}\)

6. 總結與成功小貼士

\(p^*\) 記憶法：
記住「增長因子減去下跌因子，除以上漲因子減去下跌因子」：
\(p^* = \frac{e^{rh} - d}{u - d}\)
分子是增長因子 \(e^{rh}\) 減去下跌因子 \(d\)；分母是兩者的價差 \(u - d\)。

解題快速檢查表：
• 你計算的時間步長 \(h\) 正確嗎？如果到期時間為 \(T\) 且有 \(n\) 步，則 \(h = T / n\)。
• 在 \(e^{rh}\) 和 \(e^{-rh}\) 中，你是否將年利率 \(r\) 乘以 \(h\) 了？
• 你計算的是認購期權（\(\max(0, S - K)\)）還是認沽期權（\(\max(0, K - S)\)）？
• 你是否使用 \(e^{-rh}\) 將每個預期回報折現回了一個週期？

最後的鼓勵： 二項式模型的結構清晰且規律一致。一旦你熟練掌握了節點的構建以及利用 \(p^*\) 進行逆向滾動計算，你會發現這是 Exam FAM 中最穩拿分數的題目之一。繼續多加練習畫樹吧！