歡迎來到波的世界：三角函數！

歡迎來到 Mathematics B (MEI) 中最直觀、最「充滿循環」的章節！在本單元中，我們將不再局限於計算三角形的邊長（SOH CAH TOA），而是開始將三角學視為不斷重複的函數。這些函數是數學的「心跳」——從海洋的潮汐到耳機裡的聲波，萬物皆能由它們來描述。如果起初覺得有些棘手，別擔心；只要你掌握了其中的規律，一切都會豁然開朗！

1. 單位圓：超越三角形的三角學

當你剛開始學三角學時，用的是直角三角形。但如果角度是 150°，甚至是 -45° 呢？你無法用它們畫出三角形！為了解決這個問題，我們使用單位圓 (Unit Circle)——一個半徑為 1、圓心在 (0,0) 的圓。

它是如何運作的：

想像一個點在圓周上移動。角度 \(\theta\) 從正 x 軸開始逆時針旋轉。該點的坐標 \((x, y)\) 正好定義了我們的三角函數：

  • 餘弦 (Cosine) 是 x 坐標：\(\cos \theta = x\)
  • 正弦 (Sine) 是 y 坐標：\(\sin \theta = y\)
  • 正切 (Tangent) 是斜率：\(\tan \theta = \frac{y}{x}\)

小貼士：記住「C」對應 Cosine 和 「X」（它們都在字母表的末端附近）。記住「S」對應 Sine 和 「Y」（它們嘛……反正不是 X！）。

CAST 圖

由於點在四個象限中移動，sin、cos 和 tan 的值會由正變負。我們使用 CAST 圖來記憶哪個函數在什麼地方為正：

  • 第一象限 (0-90°)： All（全部）均為正。
  • 第二象限 (90-180°)： Sine 為正。
  • 第三象限 (180-270°)： Tan 為正。

記憶口訣：可以使用英文 "All Stations To Crewe" 或 "Add Sugar To Coffee"。

重點總結：單位圓讓我們能定義任何角度的三角函數值，而不僅僅是三角形內部的角度。

2. 「名人堂」：精確值

MEI 課程要求你熟記特定的三角函數值。雖然你隨時可以使用計算機，但記住這些數值在「不准使用計算機」的題型中將為你節省大量時間。

角度與弧度

在 A-Level 中，我們會同時使用弧度 (Radians) 和角度。請記住：\(180^\circ = \pi\) 弧度。

你需要記住的數值：

  • 0° (0 rad)： \(\sin(0)=0\), \(\cos(0)=1\), \(\tan(0)=0\)
  • 30° (\(\frac{\pi}{6}\) rad)： \(\sin(30)=\frac{1}{2}\), \(\cos(30)=\frac{\sqrt{3}}{2}\), \(\tan(30)=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
  • 45° (\(\frac{\pi}{4}\) rad)： \(\sin(45)=\frac{1}{\sqrt{2}}\), \(\cos(45)=\frac{1}{\sqrt{2}}\), \(\tan(45)=1\)
  • 60° (\(\frac{\pi}{3}\) rad)： \(\sin(60)=\frac{\sqrt{3}}{2}\), \(\cos(60)=\frac{1}{2}\), \(\tan(60)=\sqrt{3}\)
  • 90° (\(\frac{\pi}{2}\) rad)： \(\sin(90)=1\), \(\cos(90)=0\), \(\tan(90)\) 為未定義 (undefined)

你知道嗎？你只需畫一個邊長為 2 的等邊三角形並將其對分，就能推導出 30° 和 60° 的數值！

重點總結：背誦這些數值就像學習乘法表一樣——它會讓後續更難的課題變得簡單許多。

3. 三角函數圖形：視覺化的波

當你在圖表上繪製三角函數時，它們會創造出美麗的重複圖案，這稱為週期函數 (periodic functions)。

正弦圖形：\(y = \sin \theta\)

  • 從 (0,0) 開始。
  • 在 1 和 -1 之間波動（這稱為振幅 Amplitude）。
  • 每 360° 重複一次（這是週期 Period）。
  • 對原點具有旋轉對稱性。

餘弦圖形：\(y = \cos \theta\)

  • 從頂點 (0,1) 開始。
  • 看起來與正弦圖形完全相同，但向左平移了 90°。
  • 對 y 軸對稱（這是一個偶函數）。

正切圖形：\(y = \tan \theta\)

  • 看起來像一系列「S」形。
  • 在 90°、270° 等位置有垂直漸近線 (asymptotes)（圖形永遠不會觸碰的線）。
  • 週期較短：每 180° 重複一次。

常見錯誤：忘記了 \(\tan \theta\) 重複的頻率是 \(\sin \theta\) 和 \(\cos \theta\) 的兩倍！

重點總結：正弦從中心開始；餘弦從頂部開始；正切有它無法跨越的「牆」（漸近線）。

4. 三角函數圖形的變換

就像代數函數一樣，你可以拉伸、壓縮和平移三角函數圖形。這是考試中的常見考點！

變換步驟指南：

  1. \(y = a\sin(x)\)：這是垂直拉伸。它會改變振幅。如果 \(a=3\)，波形會向上達到 3，向下達到 -3。
  2. \(y = \sin(bx)\)：這是水平拉伸。它會改變週期。新的週期為 \(\frac{360}{b}\)。所以，\(\sin(2x)\) 每 180° 就會重複一次（速度快了兩倍！）。
  3. \(y = \sin(x) + d\)：這是垂直平移。它將整個波形向上或向下移動。
  4. \(y = \sin(x + c)\)：這是水平平移。它將波形向左（如果 \(c\) 為正）或向右（如果 \(c\) 為負）移動。

類比：想像三角函數圖形是一個彈簧。改變 \(a\) 會把它拉高；改變 \(b\) 會把它擠在一起；改變 \(c\) 和 \(d\) 只是把整個彈簧在房間裡移動位置。

重點總結：函數外部的數字會影響 y 軸（垂直方向）；函數內部的數字會影響 x 軸（水平方向），而且通常會產生與你預期相反的效果！

5. 反三角函數：逆向思考

如果 \(\sin(30) = 0.5\)，那麼反函數會告訴我們，數值 0.5 對應的角度是 30°。我們將其寫為 \(\arcsin\)、\(\arccos\) 和 \(\arctan\)（或 \(\sin^{-1}, \cos^{-1}, \tan^{-1}\)）。

定義域與值域的陷阱

由於三角函數圖形會無限重複，計算機只能給你一個答案（即主值 Principal Value）。我們需要限制值域，讓反函數能正確運作：

  • \(\arcsin(x)\)：輸出在 -90° 和 90° 之間（\(-\frac{\pi}{2}\) 到 \(\frac{\pi}{2}\)）。
  • \(\arccos(x)\)：輸出在 0° 和 180° 之間（\(0\) 到 \(\pi\)）。
  • \(\arctan(x)\)：輸出在 -90° 和 90° 之間（\(-\frac{\pi}{2}\) 到 \(\frac{\pi}{2}\)）。

快速回顧：
函數： \(\sin \theta\)。 反函數： \(\arcsin(x)\)
圖形： 反函數的圖形是原函數圖形沿著 \(y = x\) 線的反射。

重點總結：反函數能找出角度，但它們只會給出「主要」答案。請利用圖形的對稱性來找出指定範圍內的其他解！

總結檢查清單

在進入「三角恆等式」之前，請確保你能：

  • 繪製單位圓並解釋為什麼 \(\sin \theta = y\) 而 \(\cos \theta = x\)。
  • 背誦 0, 30, 45, 60, 和 90 度的精確值。
  • 畫出 Sine, Cosine, 和 Tan 的圖形，包括它們的週期和漸近線。
  • 將諸如 \(y = 2\cos(x) + 1\) 之類的變換應用到圖形上。
  • 識別反三角函數的主值。