歡迎來到二維恆速的世界！
有沒有想過航空管制員是如何讓數百架飛機在空中穿梭卻互不碰撞的？又或是船長如何在風大浪急的海洋中航行，精準地抵達數千英里外的一個小港口？這其中的秘訣就在於向量 (vectors) 與恆速 (constant velocity)。
在進階力學 (Further Mechanics, FM1) 的這一章中，我們將告別簡單的「左右移動」，邁向二維世界。我們將學習如何使用座標和向量來精確描述物體的位置與運動方向。如果你覺得之前的數學單元中接觸到的向量有點抽象，不必擔心——我們會一步一步為你拆解！
1. 基本概念：位移、速率與速度
在深入數學運算之前，我們先釐清一些術語。在力學中，我們必須分清楚「你走了多遠」與「你最終身在何處」。
- 位移 (Displacement, \(\mathbf{r}\) 或 \(\mathbf{s}\))： 這是一個向量。它代表從起點（原點）出發的直線距離與方向。
- 速度 (Velocity, \(\mathbf{v}\))： 這同樣是一個向量。它同時告訴我們物體運動的快慢以及運動方向。
- 速率 (Speed)： 這是一個純量 (scalar)。它僅指速度的大小。我們可以使用畢氏定理 (Pythagoras’ Theorem) 來計算速度向量的模長。
如何書寫向量
在考試中，你會看到兩種向量的表示法，它們的意思是完全一樣的！
- 單位向量形式 (Unit Vector Form)： \(a\mathbf{i} + b\mathbf{j}\)（其中 \(\mathbf{i}\) 代表向右 1 單位，\(\mathbf{j}\) 代表向上 1 單位）。
- 列向量形式 (Column Vector Form)： \(\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}\)
快速複習： 若要從速度向量 \(\mathbf{v} = x\mathbf{i} + y\mathbf{j}\) 計算速率，公式為：
\( \text{Speed} = |\mathbf{v}| = \sqrt{x^2 + y^2} \)
2. 基本位置方程式
如果一個物體從特定位置出發並以恆定速度運動，我們就能預測它在任何時間 \(t\) 的精確位置。
公式如下：
\( \mathbf{r} = \mathbf{r}_0 + \mathbf{v}t \)
其中：
\(\mathbf{r}\) = 時間 \(t\) 時的位置
\(\mathbf{r}_0\) = 初始位置（\(t = 0\) 時的位置）
\(\mathbf{v}\) = 恆定速度向量
\(t\) = 經過的時間
例子：一個機器人從位置 \(2\mathbf{i} + 3\mathbf{j}\) 出發，以 \(4\mathbf{i} - 1\mathbf{j}\) 的速度移動了 3 秒。它現在在哪裡？
\( \mathbf{r} = (2\mathbf{i} + 3\mathbf{j}) + (4\mathbf{i} - 1\mathbf{j}) \times 3 \)
\( \mathbf{r} = (2 + 12)\mathbf{i} + (3 - 3)\mathbf{j} = 14\mathbf{i} \)
重點總結： 位置向量就是起始點加上「速度的位移累積」（速度乘以時間）。
3. 合速度
有時候，物體會同時受到兩個速度影響。想像一艘船試圖橫渡河流，船本身有引擎推力，但河流的水流也會推動它。
要找到合速度 (resultant velocity)（即船實際行進的路徑），我們只需要將這兩個向量加起來即可。
計算方法：
1. 向量加法： 如果 \(\mathbf{v}_{boat} = \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \end{pmatrix}\) 且 \(\mathbf{v}_{river} = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \end{pmatrix}\)，則合速度為 \(\begin{pmatrix} 5 \\ 2 \end{pmatrix}\)。
2. 向量三角形： 你可以將向量「首尾相接」(tip-to-tail) 繪畫出來。這通常會構成一個直角三角形，讓你能夠運用正弦、餘弦函數或畢氏定理。
你知道嗎？ 機師駕駛飛機時必須稍微「逆風」修正方向，才能讓合速度保持在通往機場的直線上。這被稱為「蟹形進場」(crab angle)！
4. 相對速度
相對速度是指從另一個運動中的物體角度來看，某物體「看起來」運動得有多快。
黃金法則： 要計算 A 相對於 B 的速度（記作 \(\mathbf{v}_{A|B}\) 或 \({}_B\mathbf{v}_A\)），你需要將物體 A 的速度減去觀察者 B 的速度。
\( \mathbf{v}_{A|B} = \mathbf{v}_A - \mathbf{v}_B \)
類比： 如果你坐在時速 60 英里的車裡，而另一輛時速 70 英里的車超過你，對你來說，它看起來只比你快了 10 英里。那 10 英里就是相對速度。
記憶小撇步： 「A 相對於 B」= A 減 B。
5. 攔截與最近距離
這通常是本章最具挑戰性的部分，但我們可以將其分解為清晰的步驟。
攔截（碰撞）
如果兩個物體 A 和 B 在同一時間位於同一位置，它們就會發生碰撞。
解題步驟：設定 \(\mathbf{r}_A = \mathbf{r}_B\) 並求解 \(t\)。如果 \(\mathbf{i}\) 和 \(\mathbf{j}\) 分量算出的 \(t\) 值相同，它們就會碰撞！
最近距離
如果兩個物體不會發生碰撞，它們之間仍會存在一個距離最近的點。要找到這個距離：
- 找出相對位置向量：\(\mathbf{r}_{A|B} = \mathbf{r}_A - \mathbf{r}_B\)。
- 這會得到一個關於 \(t\) 的表達式，例如 \(\begin{pmatrix} 2t-4 \\ t+3 \end{pmatrix}\)。
- 使用畢氏定理計算距離的平方 (\(d^2\))：\(d^2 = (2t-4)^2 + (t+3)^2\)。
- 要找到最小距離，有兩種選擇：
- 微積分： 對表達式進行微分 (\(\frac{d(d^2)}{dt}\))，令其等於零並解出 \(t\)。
- 配方法 (Completing the Square)： 將二次方程式改寫以找出最小值。
- 將求得的 \(t\) 代回你的距離公式，即可找到實際的最小距離。
常見錯誤： 同學們常忘記我們處理的是 \(d^2\) 的最小值。最後千萬別忘了開根號才能得到真正的距離 \(d\)！
快速複習欄
1. 位置： \(\mathbf{r} = \mathbf{r}_0 + \mathbf{v}t\)
2. 速率： 速度的模長 \(\sqrt{x^2 + y^2}\)
3. 相對速度： \(\mathbf{v}_{A|B} = \mathbf{v}_A - \mathbf{v}_B\)
4. 相對位置： \(\mathbf{r}_{A|B} = \mathbf{r}_A - \mathbf{r}_B\)
5. 最近距離： 將兩物體間距離的平方 \(d^2\) 最小化。
如果剛開始覺得相對速度的部分有點燒腦，別擔心。記住，你只是將其中一個物體「凍結」，透過它的視角來觀察世界！多練習繪製向量圖，這些規律很快就會變得清晰明瞭。