歡迎來到 FP3 微分單元！讓我們掌握全新的函數

未來的數學家你好！歡迎來到進階純數學 3 (FP3) 的微分章節。別驚慌！我們只是在 P3 已掌握的強大技巧（連鎖律 Chain Rule、乘積律 Product Rule、隱函數微分 Implicit Differentiation）基礎上，進行進一步的擴展。

在本章中，我們將學習如何微分兩類全新的函數，從而顯著擴充你的數學工具箱：
1. 反三角函數 (Inverse Trigonometric Functions)（例如 \(\arcsin x\)）。
2. 雙曲函數及其反函數 (Hyperbolic Functions and their Inverses)（例如 \(\cosh x\) 和 \(\operatorname{arsinh} x\)）。

掌握這些技巧至關重要，因為這些微分結果是許多複雜積分、級數展開和微分方程的基石。讓我們開始吧！

第一節：微分工具箱複習（核心概念）

在接觸新函數之前，我們先快速重溫你最需要、也最常用的規則：連鎖律 (The Chain Rule)。

複習：連鎖律

當我們需要微分一個「函數的函數」時，就會用到連鎖律。若 \(y = f(u)\) 且 \(u = g(x)\)，則：

$$ \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \times \frac{du}{dx} $$

例子： 若 \(y = \cosh(3x^2)\)，我們設 \(u = 3x^2\)。則 \(\frac{dy}{du} = \sinh u\) 而 \(\frac{du}{dx} = 6x\)。
因此，\(\frac{dy}{dx} = (\sinh(3x^2)) \times (6x) = 6x \sinh(3x^2)\)。（我們稍後會詳細介紹 \(\cosh\) 的微分，但方法都是一樣的！）

快速複習箱：先備知識

確保你已熟練以下微分運算：

  • 標準函數 (\(x^n, e^{kx}, \ln x\))
  • 圓三角函數 (\(\sin, \cos, \tan\))
  • 連鎖律、乘積律及商數律 (Chain, Product, and Quotient Rules)

第二節：反三角函數的微分

反三角函數 (\(\arcsin x\), \(\arccos x\), \(\arctan x\)) 回答了這個問題：「給定這個比值，對應的角度是什麼？」

在 FP3 中，我們不只是使用這些函數，更會利用隱函數微分 (Implicit Differentiation) 和你在 P3 學過的恆等式來推導它們的導數。

2.1：推導 \(y = \arcsin x\) 的導數

不用擔心需要死背推導過程，但理解其中的步驟有助於加深記憶！

  1. 由 \(y = \arcsin x\) 開始，這意味著 \(x = \sin y\)。
  2. 對 \(x\) 進行隱函數微分： $$ \frac{d}{dx}(x) = \frac{d}{dx}(\sin y) $$ $$ 1 = (\cos y) \frac{dy}{dx} $$
  3. 重新排列以求出 \(\frac{dy}{dx}\)： $$ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\cos y} $$
  4. 利用 P3 的恆等式 \(\sin^2 y + \cos^2 y = 1\)，可知 \(\cos y = \sqrt{1 - \sin^2 y}\)。
  5. 由於 \(x = \sin y\)，將 \(x\) 代回： $$ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $$

2.2：標準結果（記住這些！）

以下是必須直接運用的基本公式。留意它們之間的美妙相似之處！

反三角函數的導數

若 \(|x| < 1\)：

  • $$ \frac{d}{dx}(\arcsin x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $$
  • $$ \frac{d}{dx}(\arccos x) = - \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $$

對於所有實數 \(x\)：

  • $$ \frac{d}{dx}(\arctan x) = \frac{1}{1 + x^2} $$

🧠 記憶小撇步：關於「Co」開頭的函數

就像標準微分中 \(\frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x\) 一樣，任何以「co」開頭的反函數（例如 \(\arccos x\)），其導數結果都會是負數。

2.3：反三角函數的連鎖律應用

如果反三角函數內部是一個關於 \(x\) 的函數，請應用連鎖律。

例子： 求 \(y = \arcsin(4x^3)\) 的 \(\frac{dy}{dx}\)。

  1. 識別外層函數：\(\arcsin u\)。內層函數為 \(u = 4x^3\)。
  2. 微分內層函數：\(\frac{du}{dx} = 12x^2\)。
  3. 對 \(u\) 微分外層函數（使用標準公式）：\(\frac{dy}{du} = \frac{1}{\sqrt{1 - u^2}}\)。
  4. 結合兩者： $$ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1 - (4x^3)^2}} \times (12x^2) = \frac{12x^2}{\sqrt{1 - 16x^6}} $$

第三節：雙曲函數的微分

雙曲函數 (\(\sinh x\), \(\cosh x\), \(\tanh x\)) 是基於指數 \(e^x\) 定義的。它們的行為與圓三角函數相似，但其導數有關鍵的差異。

3.1：雙曲函數的標準導數

記得定義：\(\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}\) 和 \(\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}\)。你可以輕易推導出它們的導數：

$$ \frac{d}{dx}(\sinh x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{e^x - e^{-x}}{2}\right) = \frac{e^x - (-e^{-x})}{2} = \frac{e^x + e^{-x}}{2} = \cosh x $$

雙曲函數的導數（正數！）
  • $$ \frac{d}{dx}(\sinh x) = \cosh x $$
  • $$ \frac{d}{dx}(\cosh x) = \sinh x $$
  • $$ \frac{d}{dx}(\tanh x) = \operatorname{sech}^2 x $$

重點提示： 請留意，與圓三角函數不同，微分 \(\cosh x\) 時並不會出現負號！ 這是學生最容易犯錯的地方。

🚫 常見錯誤警示！

切勿在 \(\frac{d}{dx}(\cosh x)\) 的結果中加上負號！
圓三角：\(\frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x\)
雙曲函數：\(\frac{d}{dx}(\cosh x) = \sinh x\) （是正數！）

3.2：雙曲函數倒數的微分

你也應該掌握其他雙曲函數的導數：

  • $$ \frac{d}{dx}(\operatorname{cosech} x) = -\operatorname{cosech} x \coth x $$
  • $$ \frac{d}{dx}(\operatorname{sech} x) = -\operatorname{sech} x \tanh x $$
  • $$ \frac{d}{dx}(\coth x) = -\operatorname{cosech}^2 x $$

第四節：反雙曲函數的微分

本節包含 FP3 中一些最複雜的標準結果。反雙曲函數 (\(\operatorname{arsinh} x, \operatorname{arcosh} x, \operatorname{artanh} x\)) 可以用對數來定義（你在恆等式章節已推導過）。我們利用這些對數形式來求導數。

4.1：推導例子：\(y = \operatorname{arsinh} x\)

我們可以像處理 \(\arcsin x\) 那樣用隱函數微分來推導，或者使用對數定義：
$$ y = \operatorname{arsinh} x = \ln(x + \sqrt{x^2 + 1}) $$

使用連鎖律微分這個式子（對 \(\ln\) 內部的括號要特別小心）：

$$ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\text{內部}} \times \frac{d}{dx}(\text{內部}) $$

經過簡化（這需要對根號項進行微分，即 \(\frac{d}{dx}(\sqrt{x^2 + 1})\)），最終結果非常簡潔：

4.2：標準反雙曲函數導數（關鍵！）

這些結果必須銘記在心，因為它們在積分運算中也會不斷用到。

反雙曲函數的導數

對於所有實數 \(x\)：

  • $$ \frac{d}{dx}(\operatorname{arsinh} x) = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}} $$

若 \(x > 1\)：

  • $$ \frac{d}{dx}(\operatorname{arcosh} x) = \frac{1}{\sqrt{x^2 - 1}} $$

若 \(|x| < 1\)：

  • $$ \frac{d}{dx}(\operatorname{artanh} x) = \frac{1}{1 - x^2} $$

🔑 如何分辨 \(\arcsin x\) 與 \(\operatorname{arsinh} x\)

這是最容易混淆的部分。觀察分母中的符號：

  • 圓三角 (\(\arcsin x\))： 包含 \(1 - x^2\)（「常數」減去「變數平方」）。
  • 雙曲函數 (\(\operatorname{arsinh} x\))： 包含 \(x^2 + 1\)（「變數平方」加上「常數」）。

思考： \(\arcsin x\) 的導數對 \(x\) 有條件限制（必須小於 1），暗示了圓形域的侷限性；而 \(\operatorname{arsinh} x\) 的導數對所有 \(x\) 都有定義，暗示了雙曲曲線較開放、無限制的特性。

4.3：應用例子（結合連鎖律與反雙曲函數）

求 \(y = \operatorname{arcosh}(\sec x)\) 的 \(\frac{dy}{dx}\)。

  1. 識別 \(u = \sec x\)，則 \(\frac{du}{dx} = \sec x \tan x\)。
  2. 應用 \(\operatorname{arcosh}\) 公式於 \(u\)： $$ \frac{dy}{du} = \frac{1}{\sqrt{u^2 - 1}} = \frac{1}{\sqrt{\sec^2 x - 1}} $$
  3. 利用恆等式 \(\tan^2 x + 1 = \sec^2 x\)，可知 \(\sec^2 x - 1 = \tan^2 x\)。 $$ \frac{dy}{du} = \frac{1}{\sqrt{\tan^2 x}} = \frac{1}{\tan x} $$
  4. 使用連鎖律結合： $$ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\tan x} \times (\sec x \tan x) $$
  5. 簡化： $$ \frac{dy}{dx} = \sec x $$

總結與鼓勵

你已經大大提升了你的微分技能！這一章真正的難點不在於技巧（通常還是連鎖律），而在於能否準確背誦標準結果。

微分標準結果總結 (FP3)

函數 \(y\)導數 \(\frac{dy}{dx}\)備註
\(\arcsin x\)\(\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}\)若為 \(\arccos x\) 則為負
\(\arctan x\)\(\frac{1}{1 + x^2}\)這裡沒有根號！
\(\sinh x\)\(\cosh x\)正的！
\(\cosh x\)\(\sinh x\)依然是正的！
\(\operatorname{arsinh} x\)\(\frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}\)\(x^2 + 1\)（恆正，定義域簡單）
\(\operatorname{arcosh} x\)\(\frac{1}{\sqrt{x^2 - 1}}\)\(x^2 - 1\)（要求 \(x > 1\)）
\(\operatorname{artanh} x\)\(\frac{1}{1 - x^2}\)這裡沒有根號！

勤能補拙。多做練習題，特別是那些需要將連鎖律與這些新公式結合的題目。你可以做到的！