Appreciate different stochastic models for security prices and how and when they can be applied

ยินดีต้อนรับสู่แบบจำลองสโตแคสติกสำหรับราคาหลักทรัพย์!

ในทางเศรษฐศาสตร์การเงินและคณิตศาสตร์ประกันภัย ราคาหลักทรัพย์มีความผันผวนไปตามกาลเวลาเพื่อตอบสนองต่อข่าวสารในตลาดและแรงขับเคลื่อนทางเศรษฐกิจที่คาดเดาไม่ได้ แบบจำลองสโตแคสติก (Stochastic Model) ใช้ทฤษฎีความน่าจะเป็นเพื่อสร้างแบบจำลองการเคลื่อนที่ที่ไม่แน่นอนและมีพลวัตเหล่านี้ในเวลาต่อเนื่อง ในบทนี้ เราจะพัฒนากรอบแนวคิดแบบเวลาต่อเนื่องสำหรับราคาหลักทรัพย์ โดยศึกษาเกี่ยวกับ การเคลื่อนที่แบบบราวน์มาตรฐาน, สมการเชิงอนุพันธ์สโตแคสติก, เล็มมาของอิโตะ, การเคลื่อนที่แบบบราวน์เชิงเรขาคณิต และ กระบวนการออร์นสไตน์-อูห์เลนเบก ที่มีคุณสมบัติการดึงดูดกลับสู่ค่าเฉลี่ย

1. การเคลื่อนที่แบบบราวน์มาตรฐาน (กระบวนการวีเนอร์)

หัวใจสำคัญของการสร้างแบบจำลองสโตแคสติกแบบเวลาต่อเนื่องคือ การเคลื่อนที่แบบบราวน์มาตรฐาน (Standard Brownian Motion) หรือที่เรียกว่า กระบวนการวีเนอร์ (Wiener Process) ซึ่งเขียนแทนด้วย \( W_t \) (หรือ \( B_t \)) สำหรับ \( t \ge 0 \)

คุณสมบัติพื้นฐานของ \( W_t \):

1. ค่าเริ่มต้น: \( W_0 = 0 \) ด้วยความน่าจะเป็นเท่ากับ 1
2. เส้นทางตัวอย่างมีความต่อเนื่อง: เส้นทาง \( t \mapsto W_t \) มีความต่อเนื่องในทุกๆ จุดด้วยความน่าจะเป็นเท่ากับ 1
3. ส่วนเพิ่มที่เป็นอิสระต่อกัน: สำหรับเวลาใดๆ \( 0 \le s < t \le u < v \) ส่วนเพิ่ม \( W_v - W_u \) จะเป็นอิสระจาก \( W_t - W_s \) กระบวนการนี้มี คุณสมบัติมาร์คอฟ (Markov Property) กล่าวคือ ส่วนเพิ่มในอนาคตขึ้นอยู่กับสถานะปัจจุบันเท่านั้น ไม่ได้ขึ้นอยู่กับประวัติในอดีต
4. ส่วนเพิ่มนิ่งที่มีการแจกแจงแบบปกติ: สำหรับ \( s < t \) ใดๆ ส่วนเพิ่ม \( W_t - W_s \sim N(0, t - s) \) โดยเฉพาะอย่างยิ่ง \( E[W_t] = 0 \) และ \( \operatorname{Var}(W_t) = t \)
5. ไม่สามารถหาอนุพันธ์ได้: แม้ว่าเส้นทางจะมีความต่อเนื่องในทุกๆ จุด แต่ก็ไม่สามารถหาอนุพันธ์ได้เลยในทุกจุดด้วยความน่าจะเป็นเท่ากับ 1 และแสดงการแปรผันรวมเป็นอนันต์ (Infinite total variation) ในทุกช่วงเวลาที่มีขอบเขต

2. สมการเชิงอนุพันธ์สโตแคสติก (SDEs) และอินทิกรัลอิโตะ

เนื่องจากเส้นทางตัวอย่างของการเคลื่อนที่แบบบราวน์ไม่สามารถหาอนุพันธ์ได้ เราจึงไม่สามารถใช้แคลคูลัสแบบธรรมดาได้ เราสร้างแบบจำลองพลวัตของกระบวนการเวลาต่อเนื่อง \( X_t \) โดยใช้ สมการเชิงอนุพันธ์สโตแคสติก (Stochastic Differential Equation หรือ SDE) ซึ่งเขียนในรูปของผลต่างเชิงอนุพันธ์ได้ดังนี้:
\( dX_t = μ(t, X_t) dt + σ(t, X_t) dW_t \)

ในรูปอินทิกรัลอย่างรัดกุม หมายถึง:
\( X_t = X_0 + \int_0^t μ(s, X_s) ds + \int_0^t σ(s, X_s) dW_s \)

ในที่นี้:
- \( \int_0^t μ(s, X_s) ds \) คืออินทิกรัลแบบรีมันน์ (หรือเลอเบก) มาตรฐาน ซึ่งแสดงถึง ค่าแนวโน้ม (Drift) ที่เป็นแบบกำหนดได้ (Deterministic)
- \( \int_0^t σ(s, X_s) dW_s \) คือ อินทิกรัลอิโตะ (Ito Integral) เทียบกับการเคลื่อนที่แบบบราวน์ ซึ่งแสดงถึง ค่าความผันผวน (Diffusion) แบบสุ่ม
- คุณสมบัติสำคัญของอินทิกรัลอิโตะคือ มันเป็น มาร์ติงเกล (Martingale) (เมื่อ \( \sigma \) สอดคล้องกับเงื่อนไขการอินทิเกรตมาตรฐาน) ซึ่งหมายความว่าการเปลี่ยนแปลงที่คาดหวังในอนาคตเมื่อทราบข้อมูลปัจจุบันจะมีค่าเป็นศูนย์

กระบวนการแพร่กระจาย เทียบกับ กระบวนการดึงดูดกลับสู่ค่าเฉลี่ย

- กระบวนการแพร่กระจายทั่วไป (General Diffusion Process) จะมีฟังก์ชันแนวโน้มและความผันผวนเป็น \( \mu(t, X_t) \) และ \( \sigma(t, X_t) \) โดยที่ค่าแนวโน้มอาจนำไปสู่การเคลื่อนที่แบบเปิดกว้างไร้ทิศทางหรือการเติบโตขึ้นเรื่อยๆ (เช่น แนวโน้มแบบเลขชี้กำลังในราคาหุ้น)
- กระบวนการดึงดูดกลับสู่ค่าเฉลี่ย (Mean-Reverting Process) จะมีพจน์แนวโน้มที่คอยดึงกระบวนการให้กลับเข้าสู่ระดับศูนย์กลางในระยะยาวเมื่อใดก็ตามที่มันเบี่ยงเบนออกไป ทำให้เหมาะสมอย่างยิ่งสำหรับตัวแปรทางเศรษฐกิจที่ไม่ได้เติบโตขึ้นไปอย่างไม่มีที่สิ้นสุด

3. เล็มมาของอิโตะ

เครื่องมือที่เป็นรากฐานสำคัญสำหรับการจัดการฟังก์ชันของกระบวนการสโตแคสติกคือ เล็มมาของอิโตะ (Ito's Lemma) ซึ่งคำนึงถึงการแปรผันกำลังสอง (Quadratic variation) ที่ไม่เป็นศูนย์ของการเคลื่อนที่แบบบราวน์ โดยในทางปฏิบัติแล้ว \( (dW_t)^2 = dt \) ในขณะที่ \( dt \cdot dW_t = 0 \) และ \( (dt)^2 = 0 \)

สูตรของอิโตะสำหรับหนึ่งมิติ:

ถ้า \( dX_t = \mu_t dt + \sigma_t dW_t \) และ \( f(t, x) \) เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้อย่างต่อเนื่องสองครั้งแล้ว \( Y_t = f(t, X_t) \) จะสอดคล้องกับ:
\( dY_t = \frac{\partial f}{\partial t} dt + \frac{\partial f}{\partial x} dX_t + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} (dX_t)^2 \)

แทนค่า \( (dX_t)^2 = \sigma_t^2 dt \):
\( dY_t = \left( \frac{\partial f}{\partial t} + \mu_t \frac{\partial f}{\partial x} + \frac{1}{2} \sigma_t^2 \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} \right) dt + \sigma_t \frac{\partial f}{\partial x} dW_t \)

4. การเคลื่อนที่แบบบราวน์เชิงเรขาคณิต (แบบจำลองล็อกปกติแบบเวลาต่อเนื่อง)

แบบจำลองมาตรฐานสำหรับราคาหุ้นและหลักทรัพย์คือ การเคลื่อนที่แบบบราวน์เชิงเรขาคณิต (GBM) ซึ่งควบคุมโดย SDE:
\( dS_t = \mu S_t dt + \sigma S_t dW_t \)

โดยที่ \( \mu \) คือผลตอบแทนคาดหวังคงที่ (อัตราแนวโน้ม) และ \( \sigma > 0 \) คือความผันผวนคงที่

การแก้สมการ SDE ด้วยเล็มมาของอิโตะ:

กำหนดให้ \( f(S_t) = \ln S_t \) จะได้ว่า:
\( \frac{\partial f}{\partial S} = \frac{1}{S_t} \), \( \frac{\partial^2 f}{\partial S^2} = -\frac{1}{S_t^2} \) และ \( \frac{\partial f}{\partial t} = 0 \)

ประยุกต์ใช้เล็มมาของอิโตะ:
\( d(\ln S_t) = \frac{1}{S_t} dS_t + \frac{1}{2} \left(-\frac{1}{S_t^2}\right) (dS_t)^2 \)
\( d(\ln S_t) = \frac{1}{S_t} (\mu S_t dt + \sigma S_t dW_t) - \frac{1}{2 S_t^2} (\sigma^2 S_t^2 dt) = \left(\mu - \frac{1}{2}\sigma^2\right) dt + \sigma dW_t \)

อินทิเกรตตั้งแต่ 0 ถึง \( t \):
\( \ln S_t - \ln S_0 = \left(\mu - \frac{1}{2}\sigma^2\right) t + \sigma W_t \)
\( S_t = S_0 \exp\left( \left(\mu - \frac{1}{2}\sigma^2\right) t + \sigma W_t \right) \)

คุณสมบัติของแบบจำลองล็อกปกติ:

1. ความเป็นบวกอย่างแท้จริง: เนื่องจากฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลมีค่าเป็นบวกเสมอ ดังนั้น \( S_t > 0 \) สำหรับทุกๆ \( t \) ตราบใดที่ \( S_0 > 0 \) หลักทรัพย์ที่มีความรับผิดจำกัดจึงไม่มีทางมีค่าติดลบได้
2. การแจกแจงของผลตอบแทน: ผลตอบแทนทบต้นอย่างต่อเนื่อง \( \ln(S_t / S_0) \) มีการแจกแจงแบบปกติโดยมีค่าเฉลี่ย \( (\mu - \frac{1}{2}\sigma^2)t \) และความแปรปรวน \( \sigma^2 t \) ดังนั้น ราคาหลักทรัพย์จึงเป็นไปตาม การแจกแจงแบบล็อกปกติ (Lognormal Distribution)
3. ค่าคาดหวังและความแปรปรวน:
\( E[S_t] = S_0 e^{\mu t} \)
\( \operatorname{Var}(S_t) = S_0^2 e^{2\mu t} (e^{\sigma^2 t} - 1) \)

หลักฐานเชิงประจักษ์ที่สนับสนุนและคัดค้านแบบจำลองล็อกปกติ:

หลักฐานสนับสนุน:
- ราคายังคงไม่ติดลบอย่างแท้จริง ซึ่งสอดคล้องกับหลักการความรับผิดจำกัด
- มีการสร้างแบบจำลองการเปลี่ยนแปลงในรูปของเปอร์เซ็นต์แทนที่จะเป็นตัวเลขสัมบูรณ์ ซึ่งสะท้อนถึงวิธีที่นักลงทุนประเมินผลตอบแทนได้ดี
- ความสะดวกในการคำนวณทางคณิตศาสตร์: ให้ผลลัพธ์ในรูปแบบการวิเคราะห์ที่ชัดเจน เช่น สูตร Black-Scholes

หลักฐานคัดค้าน:
- หางที่หนาหรืออ้วน (ความโด่ง - Kurtosis): การแจกแจงผลตอบแทนในโลกความเป็นจริงมีหางที่อ้วนกว่าการแจกแจงแบบปกติ กล่าวคือ เหตุการณ์วิกฤติตลาดและราคาที่กระโดดอย่างรุนแรงเกิดขึ้นบ่อยกว่าที่แบบจำลอง GBM ทำนายไว้มาก
- การกระจุกตัวของความผันผวนและความผันผวนที่ไม่คงที่: ความผันผวนในตลาดจริงเปลี่ยนแปลงไปตามกาลเวลาและเกิดการเกาะกลุ่มกัน (ช่วงที่มีความผันผวนสูงมักตามด้วยความผันผวนสูง) ซึ่งขัดแย้งกับข้อสมมติที่ว่า \( \sigma \) มีค่าคงที่
- รอยยิ้มหรือความเบ้ของความผันผวน (Volatility Smile / Skew): ความผันผวนแฝง (Implied volatility) จากตลาดออปชันจะแตกต่างกันไปตามราคาใช้สิทธิ ซึ่งแสดงให้เห็นว่าตลาดไม่ได้กำหนดราคาอนุพันธ์ภายใต้ความผันผวนคงที่เพียงค่าเดียว
- ความต่อเนื่อง / ความเสี่ยงจากการกระโดดของราคา (Jump Risk): ราคาหลักทรัพย์ในความเป็นจริงจะกระโดดแบบไม่ต่อเนื่องเมื่อมีการประกาศข่าวสำคัญ ในขณะที่เส้นทางของการเคลื่อนที่แบบบราวน์มีความต่อเนื่องอย่างแท้จริง

5. กระบวนการออร์นสไตน์-อูห์เลนเบก

กระบวนการออร์นสไตน์-อูห์เลนเบก (Ornstein-Uhlenbeck หรือ OU Process) เป็นกระบวนการสโตแคสติกแบบเวลาต่อเนื่องที่มีคุณสมบัติ การดึงดูดกลับสู่ค่าเฉลี่ย (Mean Reversion) โดยมี SDE ดังนี้:
\( dX_t = \alpha(\mu - X_t) dt + \sigma dW_t \)

โดยที่:
- \( \alpha > 0 \) คือ ความเร็วในการดึงดูดกลับสู่ค่าเฉลี่ย
- \( \mu \) คือ ค่าเฉลี่ยระยะยาว (ระดับการกลับเข้าสู่ค่าเฉลี่ย)
- \( \sigma > 0 \) คือความผันผวนคงที่
- \( W_t \) คือการเคลื่อนที่แบบบราวน์มาตรฐาน

พจน์แนวโน้มทำงานอย่างไร:

- เมื่อ \( X_t > \mu \) แนวโน้ม \( \alpha(\mu - X_t) < 0 \) จะสร้างแรงกดลงเพื่อดึงกลับไปสู่ \( \mu \)
- เมื่อ \( X_t < \mu \) แนวโน้ม \( \alpha(\mu - X_t) > 0 \) จะดึง \( X_t \) ให้สูงขึ้นกลับไปสู่ \( \mu \)

คุณสมบัติและผลเฉลยชัดแจ้ง:

เมื่อประยุกต์ใช้เล็มมาของอิโตะกับ \( e^{\alpha t} X_t \) จะได้ผลเฉลยที่แม่นยำคือ:
\( X_t = \mu + (X_0 - \mu) e^{-\alpha t} + \sigma \int_0^t e^{-\alpha(t - s)} dW_s \)

เนื่องจากอินทิกรัลของฟังก์ชันแบบกำหนดได้เทียบกับการเคลื่อนที่แบบบราวน์มีการแจกแจงแบบปกติ ดังนั้น \( X_t \) จึงมีการแจกแจงแบบปกติในทุกช่วงเวลา:
- ค่าคาดหวัง: \( E[X_t] = \mu + (X_0 - \mu) e^{-\alpha t} \) ซึ่งจะลู่เข้าสู่ \( \mu \) เมื่อ \( t \to \infty \)
- ความแปรปรวน: \( \operatorname{Var}(X_t) = \frac{\sigma^2}{2\alpha} (1 - e^{-2\alpha t}) \) ซึ่งจะลู่เข้าสู่ความแปรปรวนคงที่ (Stationary variance) คือ \( \frac{\sigma^2}{2\alpha} \) เมื่อ \( t \to \infty \)

6. จะเลือกใช้แบบจำลองเหล่านี้เมื่อไหร่และอย่างไร

ในการปฏิบัติงานทางคณิตศาสตร์ประกันภัยและวิศวกรรมการเงิน การเลือกแบบจำลองจะขึ้นอยู่กับลักษณะทางเศรษฐกิจของสินทรัพย์อ้างอิง:

ควรใช้การเคลื่อนที่แบบบราวน์เชิงเรขาคณิต (GBM) เมื่อ:

- หุ้นสามัญและดัชนีหุ้น: สินทรัพย์ที่ไม่มีเพดานตามธรรมชาติหรือไม่มีจุดยึดเหนี่ยว และคาดว่าจะเติบโตแบบทวีคูณ (Exponential) ในระยะยาวตามผลผลิตทางเศรษฐกิจ
- หลักทรัพย์ที่มีความรับผิดจำกัด: สินทรัพย์ที่มูลค่าไม่สามารถลดลงต่ำกว่าศูนย์ได้
- การกำหนดราคาอนุพันธ์มาตรฐาน: การประเมินมูลค่าออปชันที่มีสูตรสำเร็จปิด (Closed-form) ภายใต้กรอบแนวคิด Black-Scholes-Merton

ควรใช้กระบวนการออร์นสไตน์-อูห์เลนเบกเมื่อ:

- อัตราดอกเบี้ยระยะสั้น: กระบวนการ OU เป็นพื้นฐานของ แบบจำลองวาซิเชก (Vasicek Model) สำหรับโครงสร้างตามอายุของอัตราดอกเบี้ย โดยที่นโยบายเศรษฐกิจมหภาคและกลไกตลาดจะคอยดึงอัตราดอกเบี้ยกลับเข้าสู่เป้าหมายดุลยภาพ
- ราคาสินค้าโภคภัณฑ์และตลาดพลังงาน: ราคาน้ำมัน ก๊าซ และผลิตผลทางการเกษตรจะถูกยึดโยงอยู่กับต้นทุนส่วนเพิ่มในการผลิตระยะยาว ซึ่งราคาที่สูงขึ้นจะกระตุ้นให้อุปทานเพิ่มขึ้น และดึงราคาให้ปรับตัวลดลงมาในที่สุด
- แบบจำลองความผันผวนสโตแคสติก: การสร้างแบบจำลองความผันผวนในฐานะที่เป็นกระบวนการดึงดูดกลับสู่ค่าเฉลี่ยรอบระดับความผันผวนเฉลี่ยของตลาด

ข้อจำกัดที่ควรจำสำหรับ OU: เนื่องจาก \( X_t \) มีการแจกแจงแบบปกติ จึงสามารถมีค่าเป็นลบได้ด้วยความน่าจะเป็นที่ไม่เป็นศูนย์ แม้ว่าในอดีตจะเคยพบอัตราดอกเบี้ยติดลบอยู่บ้าง แต่มันไม่เหมาะที่จะใช้เป็นแบบจำลองโดยตรงสำหรับสินทรัพย์ที่ไม่สามารถมีราคาติดลบได้หากไม่มีการปรับแต่งเพิ่มเติม