Understand mean-variance portfolio theory and its application

ยินดีต้อนรับสู่ทฤษฎีพอร์ตการลงทุนแบบ Mean-Variance!

สวัสดีครับ! วันนี้เราจะมาเจาะลึกหนึ่งในหัวข้อที่โด่งดังที่สุดของเศรษฐศาสตร์การเงิน นั่นคือ ทฤษฎีพอร์ตการลงทุนแบบ Mean-Variance (Mean-Variance Portfolio Theory - MVPT) ซึ่งถือเป็นหัวใจสำคัญในส่วนของ การประเมินมูลค่าสินทรัพย์ (Asset Valuations) ของวิชา CM2 เลยทีเดียวครับ
ไม่ต้องกังวลกับชื่อเรียกที่ดูทางการนะครับ! แท้จริงแล้ว MVPT ก็คือการตามหา "จุดที่ลงตัวที่สุด" ระหว่างการสร้างผลตอบแทนให้ได้มากที่สุด (Mean) กับการลดโอกาสที่จะเกิดความผิดพลาดให้น้อยที่สุด (Variance) เหมือนกับการเรียนรู้วิธีอบเค้กให้สมบูรณ์แบบนั่นแหละครับ คือคุณอยากให้มันอร่อยที่สุดเท่าที่จะทำได้ โดยที่ไม่ให้มันแบนแต๊ดแต๋ตอนอบเสร็จนั่นเอง!

1. พื้นฐาน: ทฤษฎีพอร์ตการลงทุนแบบ Mean-Variance คืออะไร?

ทฤษฎีพอร์ตการลงทุนแบบ Mean-Variance ซึ่งนำเสนอโดย Harry Markowitz ชี้ให้เห็นว่า นักลงทุนไม่ได้มองแค่ว่าหุ้นรายตัวจะเติบโตได้เท่าใดเท่านั้น แต่พวกเขาจะมองว่า พอร์ตการลงทุน (กลุ่มของสินทรัพย์) โดยรวมนั้นมีผลการดำเนินงานอย่างไร

สมมติฐานสำคัญ (หรือ "กติกาของเกม")

เพื่อให้การคำนวณทางคณิตศาสตร์ทำได้ง่าย เราจึงต้องมีสมมติฐานบางประการ ไม่ต้องกังวลหากสิ่งเหล่านี้ดูไม่สมจริงไปบ้าง เพราะนี่เป็นเพียง "จุดเริ่มต้น" ของทฤษฎีเท่านั้น:

1. การหลีกเลี่ยงความเสี่ยง (Risk Aversion): เราสมมติว่านักลงทุนเป็นผู้ที่ "กลัวความเสี่ยง" หมายความว่าถ้าการลงทุนสองอย่างให้ผลตอบแทนเท่ากัน นักลงทุนจะเลือกตัวที่มี ความเสี่ยงต่ำที่สุด เสมอ
2. ระยะเวลาเดียว (Single Period): เราสมมติว่าทุกคนลงทุนในระยะเวลาถือครองที่กำหนดไว้แน่นอนช่วงเวลาหนึ่ง (เช่น หนึ่งปี)
3. เกณฑ์การตัดสินใจ (Decision Criteria): นักลงทุนตัดสินใจลงทุนโดยพิจารณาจากผลตอบแทนที่คาดหวังและความแปรปรวน (หรือส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน) ของผลตอบแทนเท่านั้น

MVPT จะนำไปสู่พอร์ตการลงทุนที่เหมาะสมที่สุดเมื่อใด?

ภายใต้ทฤษฎีอรรถประโยชน์ที่คาดหวัง (Expected Utility Theory) นักลงทุนที่มีเหตุผลจะพยายามทำให้อรรถประโยชน์ที่คาดหวัง \( E[U(W)] \) สูงสุด การวิเคราะห์แบบ Mean-Variance จะสอดคล้องอย่างเคร่งครัดกับการทำให้อรรถประโยชน์ที่คาดหวังสูงสุดภายใต้เงื่อนไขข้อใดข้อหนึ่งในสองข้อนี้:
1. อรรถประโยชน์กำลังสอง (Quadratic Utility): นักลงทุนมีฟังก์ชันอรรถประโยชน์กำลังสอง \( U(w) = w - b w^2 \) (โดยที่ \( b > 0 \)) ซึ่งอรรถประโยชน์ที่คาดหวังจะขึ้นอยู่กับค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนของความมั่งคั่งอย่างแท้จริง โดยไม่ขึ้นอยู่กับว่าผลตอบแทนของสินทรัพย์จะมีการแจกแจงแบบใด
2. ผลตอบแทนมีการแจกแจงแบบปกติหลายตัวแปร (Multivariate Normally Distributed Returns): ผลตอบแทนของสินทรัพย์เป็นไปตามการแจกแจงปกติร่วมกัน เนื่องจากค่าการแจกแจงปกติถูกกำหนดขึ้นโดยสมบูรณ์จากค่าเฉลี่ย ความแปรปรวน และความแปรปรวนร่วม ดังนั้นผู้ที่ต้องการทำให้อรรถประโยชน์ที่คาดหวังสูงสุดและกลัวความเสี่ยงทุกคนจะตัดสินใจโดยอิงจากค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนเพียงเท่านั้น

2. การคำนวณผลตอบแทนและความเสี่ยงของพอร์ตการลงทุน

ก่อนที่เราจะเลือกพอร์ตที่ดีที่สุดได้ เราต้องรู้วิธีวัดค่ามันก่อนครับ

พอร์ตการลงทุนที่มีสองสินทรัพย์

หากคุณถือสินทรัพย์ A และสินทรัพย์ B ด้วยสัดส่วนน้ำหนัก \( w_A \) และ \( w_B \) โดยที่ \( w_A + w_B = 1 \):
ผลตอบแทนที่คาดหวัง:
\( E[R_p] = w_A E[R_A] + w_B E[R_B] \)
ความแปรปรวน:
\( \sigma_p^2 = w_A^2 \sigma_A^2 + w_B^2 \sigma_B^2 + 2w_A w_B \text{Cov}(R_A, R_B) = w_A^2 \sigma_A^2 + w_B^2 \sigma_B^2 + 2w_A w_B \rho_{AB} \sigma_A \sigma_B \)
โดยที่ \( \rho_{AB} \) คือค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ระหว่างสินทรัพย์ทั้งสอง

พอร์ตการลงทุนที่มีสินทรัพย์เสี่ยงหลายตัว (\( n \) สินทรัพย์)

ในทางปฏิบัติ นักคณิตศาสตร์ประกันภัยและผู้จัดการกองทุนจะลงทุนในสินทรัพย์จำนวนมาก สำหรับสินทรัพย์เสี่ยงจำนวน \( n \) ตัวที่มีน้ำหนัก \( w_i \) ซึ่งเป็นไปตาม \( \sum_{i=1}^n w_i = 1 \):

ผลตอบแทนที่คาดหวังของพอร์ตการลงทุน:
\( E[R_p] = \sum_{i=1}^n w_i E[R_i] = \mathbf{w}^T \mathbf{e} \)
โดยที่ \( \mathbf{w} \) คือเวกเตอร์คอลัมน์ของสัดส่วนน้ำหนัก และ \( \mathbf{e} \) คือเวกเตอร์คอลัมน์ของผลตอบแทนที่คาดหวัง

ความแปรปรวนของพอร์ตการลงทุน:
\( \sigma_p^2 = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n w_i w_j \text{Cov}(R_i, R_j) = \sum_{i=1}^n w_i^2 \sigma_i^2 + \sum_{i=1}^n \sum_{j \neq i} w_i w_j C_{ij} \)
โดยที่ \( C_{ij} = \text{Cov}(R_i, R_j) = \rho_{ij} \sigma_i \sigma_j \)
ในรูปแบบสัญกรณ์เมทริกซ์ จะเขียนได้ดังนี้:
\( \sigma_p^2 = \mathbf{w}^T \mathbf{V} \mathbf{w} \)
โดยที่ \( \mathbf{V} \) คือเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมขนาด \( n \times n \) ของผลตอบแทนของสินทรัพย์

3. การกระจายความเสี่ยง: อย่าเอาไข่ทุกใบใส่ไว้ในตะกร้าใบเดียว

การกระจายความเสี่ยงคือ "ของฟรี" เพียงอย่างเดียวในโลกการเงิน การรวมสินทรัพย์ที่ไม่เคลื่อนที่ไปในทิศทางเดียวกันอย่างสมบูรณ์ จะช่วยให้คุณลดความเสี่ยงของพอร์ตการลงทุนได้โดยที่ไม่จำเป็นต้องแลกด้วยผลตอบแทนที่คาดหวังที่ลดลง

บทบาทของค่าความสัมพันธ์ (\( \rho \)):

1. ถ้า \( \rho = +1 \): สินทรัพย์เคลื่อนที่ตามกันแบบเป๊ะๆ ไม่มีการลดความเสี่ยงเกิดขึ้น โดยส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานจะเป็นเพียงค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานรายตัวเท่านั้น
2. ถ้า \( \rho < +1 \): ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของพอร์ตจะน้อยกว่าค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานรายตัวอย่างแท้จริง
3. ถ้า \( \rho = -1 \): มีความสัมพันธ์เชิงลบอย่างสมบูรณ์ ในทางทฤษฎีคุณสามารถนำสินทรัพย์ทั้งสองมารวมกันเพื่อสร้างพอร์ตการลงทุนที่ปราศจากความเสี่ยงโดยสิ้นเชิงได้เลย (\( \sigma_p = 0 \))

ตัวอย่างในโลกความเป็นจริง: ลองนึกภาพว่าคุณเป็นเจ้าของร้านขายร่มและร้านขายไอศกรีม เวลาฝนตก ร้านขายร่มก็จะขายดีมากและร้านไอศกรีมก็เงียบเหงา แต่พอแดดออกก็จะเป็นในทางกลับกัน เมื่อรวมกันแล้ว รายได้รวมของคุณก็จะคงที่เสมอไม่ว่าสภาพอากาศจะเป็นอย่างไร!

ประโยชน์ทางคณิตศาสตร์ของการกระจายความเสี่ยงข้าม \( n \) สินทรัพย์

เพื่อให้เห็นพลังของการกระจายความเสี่ยงในเชิงคณิตศาสตร์ ลองพิจารณาพอร์ตที่มีน้ำหนักเท่ากันในทุกสินทรัพย์จำนวน \( n \) ตัว ซึ่งแต่ละน้ำหนักจะมีค่าเป็น \( w_i = \frac{1}{n} \) สูตรความแปรปรวนจะกลายเป็น:
\( \sigma_p^2 = \sum_{i=1}^n \left(\frac{1}{n}\right)^2 \sigma_i^2 + \sum_{i=1}^n \sum_{j \neq i} \left(\frac{1}{n}\right)^2 C_{ij} \)
กำหนดให้ \( \bar{\sigma}^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \sigma_i^2 \) เป็นค่าเฉลี่ยความแปรปรวนของสินทรัพย์แต่ละตัว และ \( \bar{C} = \frac{1}{n(n-1)} \sum_{i=1}^n \sum_{j \neq i} C_{ij} \) เป็นค่าเฉลี่ยความแปรปรวนร่วมระหว่างสินทรัพย์ทุกคู่ที่ไม่ซ้ำกัน จะได้ว่า:
\( \sigma_p^2 = \frac{1}{n} \bar{\sigma}^2 + \frac{n-1}{n} \bar{C} \)
เมื่อจำนวนสินทรัพย์ \( n \to \infty \):
\( \frac{1}{n} \bar{\sigma}^2 \to 0 \quad \text{และ} \quad \frac{n-1}{n} \bar{C} \to \bar{C} \)
ผลลัพธ์สำคัญ: เมื่อพอร์ตการลงทุนมีการกระจายความเสี่ยงที่ดี ความแปรปรวนของสินทรัพย์รายตัว (ความเสี่ยงเฉพาะตัวของสินทรัพย์ หรือความเสี่ยงที่กระจายได้) จะถูกขจัดจนเหลือศูนย์ ความแปรปรวนของพอร์ตการลงทุนจะลู่เข้าสู่ค่าเฉลี่ยความแปรปรวนร่วม (ความเสี่ยงเชิงระบบของตลาด หรือความเสี่ยงที่ไม่สามารถกระจายได้)!

4. เซตโอกาสในการลงทุนและเส้นขอบเขตที่มีประสิทธิภาพ (Efficient Frontier)

หากเราวาดจุดที่เป็นไปได้ทั้งหมดของการรวมกันของสินทรัพย์เสี่ยงลงบนกราฟ (โดยมีแกนนอนเป็นความเสี่ยง \( \sigma_p \) และแกนตั้งเป็นผลตอบแทน \( E[R_p] \)) เราจะได้ เซตโอกาสในการลงทุน (Opportunity Set) (ซึ่งมักจะมีรูปทรงคล้ายกระสุนหรือเส้นโค้ง)

เส้นขอบเขตที่มีประสิทธิภาพ (Efficient Frontier)

เราไม่อยากอยู่ตรงไหนก็ได้ภายในรูปทรงกระสุนนั้น นักลงทุนที่มีเหตุผลจะเลือกเฉพาะพอร์ตที่อยู่บน ขอบด้านบน เท่านั้นครับ
คำจำกัดความ: เส้นขอบเขตที่มีประสิทธิภาพ (Efficient Frontier) คือเซตของพอร์ตการลงทุนที่ให้ ผลตอบแทนที่คาดหวังสูงสุดสำหรับระดับความเสี่ยงที่กำหนด หรือในทางกลับกันคือให้ ความเสี่ยงต่ำสุดสำหรับระดับผลตอบแทนที่คาดหวังที่กำหนด

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย: นักเรียนมักเข้าใจผิดว่าขอบเขตทั้งหมดคือส่วนที่มีประสิทธิภาพ ซึ่งไม่ใช่เลยครับ! มีเพียง ครึ่งบน (พอร์ตที่อยู่บนหรือเหนือกว่าพอร์ต Global Minimum Variance Portfolio ขึ้นไป) เท่านั้นที่นับเป็นส่วนหนึ่งของ Efficient Frontier จุดที่อยู่บนขอบเขตครึ่งล่างจัดว่าไม่มีประสิทธิภาพ (Inefficient) เพราะนักลงทุนสามารถได้รับผลตอบแทนที่คาดหวังที่สูงกว่าสำหรับระดับความเสี่ยงที่เท่ากันเป๊ะๆ ได้บนส่วนครึ่งบน

5. การเลือกพอร์ตการลงทุนที่เหมาะสมที่สุด (เส้นความพอใจเท่ากัน - Indifference Curves)

แล้วนักลงทุนแต่ละคนจะเลือกพอร์ตที่เหมาะสมที่สุดของตนเองบน Efficient Frontier ได้อย่างไร? มันขึ้นอยู่กับ ฟังก์ชันอรรถประโยชน์ (Utility Function) ของแต่ละคนครับ

เราใช้ เส้นความพอใจเท่ากัน (Indifference Curves) เพื่อแสดงความชอบของนักลงทุนระหว่างผลตอบแทนที่คาดหวังกับความแปรปรวน:
- สำหรับนักลงทุนที่ หลีกเลี่ยงความเสี่ยง (Risk-Averse) เส้นความพอใจเท่ากันจะลาดขึ้น (การรับความเสี่ยงที่มากขึ้นต้องการผลตอบแทนที่คาดหวังสูงขึ้นเพื่อรักษาอรรถประโยชน์ที่คาดหวังให้เท่าเดิม) และมีลักษณะโค้งนูน (Convex)
- การขยับขึ้นไปด้านบนและไปทางซ้ายจะแสดงถึงอรรถประโยชน์ที่คาดหวังที่สูงขึ้น
- พอร์ตการลงทุนที่เหมาะสมที่สุด (The Optimal Portfolio) สำหรับนักลงทุน คือจุดที่เส้นความพอใจเท่ากัน สัมผัส กับ Efficient Frontier (เส้นโค้งอรรถประโยชน์ที่สูงที่สุดเท่าที่จะเอื้อมถึง)

6. การเพิ่มสินทรัพย์ที่ไม่มีความเสี่ยง (Risk-Free Asset)

จะเป็นอย่างไรถ้านักลงทุนสามารถให้กู้ยืมหรือกู้ยืมที่อัตราผลตอบแทนที่ไม่มีความเสี่ยง \( r_f \) ได้ด้วย (โดยมีส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเป็นศูนย์และมีความแปรปรวนร่วมกับสินทรัพย์เสี่ยงเป็นศูนย์)?
เส้นขอบเขตที่มีประสิทธิภาพของสินทรัพย์เสี่ยงจะถูกแปลงสภาพกลายเป็นเส้นสัมผัสตรง นั่นคือ เส้นตลาดทุน (Capital Market Line - CML)

สมการของ CML:

\( E[R_p] = r_f + \frac{E[R_M] - r_f}{\sigma_M} \sigma_p \)
โดยที่ \( M \) คือ "พอร์ตตลาด (Market Portfolio)" (พอร์ตสัมผัสจุดเดียวที่ไม่ซ้ำใครบนขอบเขตที่มีประสิทธิภาพของสินทรัพย์เสี่ยง) และ \( \frac{E[R_M] - r_f}{\sigma_M} \) คืออัตราส่วนชาร์ป (Sharpe ratio) ของพอร์ตตลาด

ทฤษฎีการแยกสองกองทุน (Two-Fund Separation Theorem):

1. การตัดสินใจด้านการลงทุน (เชิงเทคนิค): ค้นหาสัดส่วนผสมของสินทรัพย์เสี่ยงที่ดีที่สุด (จุด \( M \)) ภายใต้ความคาดหวังที่เป็นเอกฉันท์ พอร์ตสินทรัพย์เสี่ยงนี้จะเหมือนกันสำหรับนักลงทุนทุกคน!
2. การตัดสินใจด้านการจัดหาเงินทุน (เรื่องส่วนบุคคล): ตัดสินใจว่าจะจัดสรรความมั่งคั่งระหว่างสินทรัพย์ที่ไม่มีความเสี่ยงกับพอร์ตสัมผัส \( M \) มากน้อยเพียงใด โดยขึ้นอยู่กับระดับการหลีกเลี่ยงความเสี่ยงของแต่ละคนเท่านั้น

สรุปรายการตรวจสอบ

ก่อนจะไปต่อ ตรวจสอบให้มั่นใจว่าคุณตอบคำถามเหล่านี้ได้:
- เมื่อใดที่ MVPT มีค่าเท่ากับการทำให้อรรถประโยชน์ที่คาดหวังสูงสุด? (เมื่อผลตอบแทนมีการแจกแจงแบบปกติหลายตัวแปร หรือเมื่อนักลงทุนมีฟังก์ชันอรรถประโยชน์กำลังสอง)
- ความแปรปรวนของพอร์ตการลงทุนคำนวณอย่างไรสำหรับ \( n \) สินทรัพย์? (\( \sigma_p^2 = \sum_i w_i^2 \sigma_i^2 + \sum_i \sum_{j \neq i} w_i w_j C_{ij} = \mathbf{w}^T \mathbf{V} \mathbf{w} \))
- เกิดอะไรขึ้นกับความเสี่ยงในพอร์ตที่มีน้ำหนักเท่ากันเมื่อ \( n \to \infty \)? (พจน์ความแปรปรวนของแต่ละสินทรัพย์จะลู่เข้าสู่ศูนย์ เหลือเพียงแค่ค่าเฉลี่ยความแปรปรวนร่วมเท่านั้น)
- "Efficient Frontier" คืออะไร? (ขอบเขตด้านบนของเซตโอกาสที่ให้ผลตอบแทนสูงสุดสำหรับความแปรปรวนที่กำหนด)
- ทฤษฎีการแยก (Separation Theorem) คืออะไร? (การแยกการเลือกพอร์ตสินทรัพย์เสี่ยงที่เหมาะสมที่สุด ออกจากการจัดสรรการจัดหาเงินทุนส่วนบุคคลร่วมกับเงินสด)