Understand the principles of rational choice theory

หลักการของทฤษฎีการเลือกอย่างมีเหตุผลในการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ประกันภัย

ยินดีต้อนรับสู่ ทฤษฎีการเลือกอย่างมีเหตุผล (Rational Choice Theory) สำหรับวิชา CM2! ในเศรษฐศาสตร์การเงินและคณิตศาสตร์ประกันภัย เราสร้างแบบจำลองเพื่อศึกษาว่าตัวแทนทางเศรษฐกิจตัดสินใจอย่างไรให้เกิดประโยชน์สูงสุดเมื่อต้องเผชิญกับความไม่แน่นอนและความเสี่ยง แทนที่จะพิจารณาสินค้าอุปโภคบริโภคทั่วไปภายใต้สภาวะที่แน่นอน CM2 จะมุ่งเน้นไปที่ผู้ตัดสินใจซึ่งต้องเลือกท่ามกลางผลตอบแทนทางการเงินและโอกาสการลงทุนที่มีความไม่แน่นอน โดยการทำให้ อรรถประโยชน์ที่คาดหวัง (Expected Utility) มีค่าสูงสุด

รากฐานสำคัญ: สัจพจน์ของความเป็นเหตุเป็นผล (Axioms of Rationality)

ในการสร้างกรอบแนวคิดทางคณิตศาสตร์ที่สอดคล้องกันสำหรับการตัดสินใจภายใต้ความไม่แน่นอน ทฤษฎีการเลือกอย่างมีเหตุผลสมมติว่าความพึงพอใจของบุคคลที่มีต่อทางเลือกที่มีความเสี่ยง (หรือลอตเตอรี) เป็นไปตามสัจพจน์พื้นฐาน (สัจพจน์ของฟอน นอยมันน์-มอร์เกนสเติร์น หรือ von Neumann-Morgenstern axioms) ดังนี้:

1. ความครบถ้วน (Completeness): สำหรับทางเลือกที่มีความเสี่ยงสองทางเลือกใดๆ \( A \) และ \( B \) บุคคลสามารถจัดลำดับได้เสมอ: ไม่ว่าจะเป็น \( A \succ B \), \( B \succ A \), หรือ \( A \sim B \) (รู้สึกเฉยๆ หรือให้ความพึงพอใจเท่ากัน)
2. การถ่ายทอดได้ (Transitivity): ถ้า \( A \succ B \) และ \( B \succ C \) แล้ว ย่อมได้ว่า \( A \succ C \)
3. ความต่อเนื่อง (Continuity): ถ้า \( A \succ B \succ C \) จะมีความน่าจะเป็น \( p \in (0, 1) \) ค่าหนึ่งที่ทำให้ผู้ตัดสินใจรู้สึกเฉยๆ ระหว่างการได้รับผลลัพธ์ \( B \) อย่างแน่นอน กับการเล่นลอตเตอรีที่ให้ผลลัพธ์ \( A \) ด้วยความน่าจะเป็น \( p \) และให้ผลลัพธ์ \( C \) ด้วยความน่าจะเป็น \( 1 - p \)
4. ความเป็นอิสระต่อกัน (Independence): ถ้า \( A \succ B \) ดังนั้นสำหรับทางเลือกที่สาม \( C \) ใดๆ และความน่าจะเป็น \( p \in (0, 1] \) ใดๆ ลอตเตอรีที่ผสมระหว่าง \( A \) กับ \( C \) จะได้รับความพึงพอใจมากกว่าลอตเตอรีที่ผสมระหว่าง \( B \) กับ \( C \) อย่างแท้จริง: \( pA + (1-p)C \succ pB + (1-p)C \)

ทฤษฎีบทอรรถประโยชน์ที่คาดหวัง (The Expected Utility Theorem)

เมื่อความพึงพอใจของบุคคลเป็นไปตามสัจพจน์เหล่านี้ พฤติกรรมของพวกเขาสามารถแสดงได้ด้วย ฟังก์ชันอรรถประโยชน์เชิงตัวเลข (Cardinal Utility Function) \( U(w) \) ที่นิยามบนระดับความมั่งคั่ง \( w \) ภายใต้ ทฤษฎีบทอรรถประโยชน์ที่คาดหวัง (Expected Utility Theorem) เมื่อพิจารณาทางเลือกที่มีความเสี่ยงซึ่งมีผลตอบแทน \( w_i \) เกิดขึ้นด้วยความน่าจะเป็น \( p_i \) ผู้ตัดสินใจจะเลือกทางเลือกที่ทำให้อรรถประโยชน์ที่คาดหวังมีค่าสูงสุด:

\( E[U(W)] = \sum_i p_i U(w_i) \) (ในกรณีวิเวก หรือไม่ต่อเนื่อง) หรือ \( E[U(W)] = \int U(w) f(w) dw \) (ในกรณีต่อเนื่อง)

คุณสมบัติสำคัญของฟังก์ชันอรรถประโยชน์

1. ความไม่อิ่มตัว (Non-Satiation)

นักลงทุนที่มีเหตุผลย่อมชอบความมั่งคั่งที่มากกว่าเสมอ ในทางคณิตศาสตร์ อรรถประโยชน์ส่วนเพิ่มจะมีค่าเป็นบวกอย่างแท้จริง:
\( U'(w) > 0 \)

2. ทัศนคติต่อความเสี่ยง (Attitudes Toward Risk)

ความพึงพอใจต่อความเสี่ยงของบุคคลจะถูกกำหนดโดยความโค้งของฟังก์ชันอรรถประโยชน์ (เครื่องหมายของอนุพันธ์อันดับสอง, \( U''(w) \)):

การกลัวความเสี่ยง (Risk Aversion): นักลงทุนไม่ชอบความเสี่ยงและชอบผลลัพธ์ที่แน่นอนมากกว่าทางเลือกที่มีความเสี่ยงซึ่งมีผลตอบแทนที่คาดหวังเท่ากัน ตามอสมการของเจนเซน (Jensen's Inequality) จะได้ว่า \( E[U(W)] < U(E[W]) \) ซึ่งสอดคล้องกับฟังก์ชันอรรถประโยชน์ที่มีลักษณะเว้าอย่างแท้จริง (strictly concave) โดยที่อรรถประโยชน์ส่วนเพิ่มจะลดลงเมื่อความมั่งคั่งเพิ่มขึ้น:
\( U''(w) < 0 \)
ความเป็นกลางต่อความเสี่ยง (Risk Neutrality): นักลงทุนรู้สึกเฉยๆ ระหว่างการเดิมพันที่มีความเสี่ยงกับมูลค่าที่คาดหวังของการเดิมพันนั้น: \( E[U(W)] = U(E[W]) \) ซึ่งสอดคล้องกับฟังก์ชันอรรถประโยชน์ที่เป็นเส้นตรง:
\( U''(w) = 0 \)
การแสวงหาความเสี่ยง (Risk Seeking): นักลงทุนชอบการเดิมพันมากกว่ามูลค่าที่คาดหวังของการเดิมพันนั้น: \( E[U(W)] > U(E[W]) \) ซึ่งสอดคล้องกับฟังก์ชันอรรถประโยชน์ที่มีลักษณะนูนอย่างแท้จริง (strictly convex):
\( U''(w) > 0 \)

มาตรวัดการกลัวความเสี่ยง: มาตรวัดของแอร์โรว์-แพรตต์ (Arrow-Pratt Measures)

เพื่อวัดระดับการกลัวความเสี่ยงโดยไม่ขึ้นอยู่กับการแปลงเชิงเส้นแบบบวกของ \( U(w) \) เราจะใช้มาตรวัดของ แอร์โรว์-แพรตต์ (Arrow-Pratt):

การกลัวความเสี่ยงสัมบูรณ์ (Absolute Risk Aversion - ARA)

สัมประสิทธิ์การกลัวความเสี่ยงสัมบูรณ์ นิยามดังนี้:
\( A(w) = -\frac{U''(w)}{U'(w)} \)
- การกลัวความเสี่ยงสัมบูรณ์ลดลง (Decreasing Absolute Risk Aversion - DARA): \( A'(w) < 0 \) เมื่อบุคคลมีความมั่งคั่งมากขึ้น พวกเขาพร้อมที่จะถือครองสินทรัพย์เสี่ยงในรูปของจำนวนเงินที่แท้จริงเพิ่มขึ้น ซึ่งถือว่าเป็นพฤติกรรมทางเศรษฐศาสตร์ที่มีความเป็นไปได้จริงมากที่สุด
- การกลัวความเสี่ยงสัมบูรณ์คงที่ (Constant Absolute Risk Aversion - CARA): \( A'(w) = 0 \) การเปลี่ยนแปลงของความมั่งคั่งไม่ส่งผลต่อจำนวนเงินที่นำไปลงทุนในสินทรัพย์เสี่ยง
- การกลัวความเสี่ยงสัมบูรณ์เพิ่มขึ้น (Increasing Absolute Risk Aversion - IARA): \( A'(w) > 0 \) บุคคลจะลดสัดส่วนมูลค่าเงินที่เผชิญกับความเสี่ยงลงเมื่อความมั่งคั่งเพิ่มขึ้น

การกลัวความเสี่ยงสัมพัทธ์ (Relative Risk Aversion - RRA)

สัมประสิทธิ์การกลัวความเสี่ยงสัมพัทธ์ วัดระดับการกลัวความเสี่ยงเทียบกับการเดิมพันตามสัดส่วนและร้อยละของความมั่งคั่ง:
\( R(w) = w A(w) = -\frac{w U''(w)}{U'(w)} \)
- การกลัวความเสี่ยงสัมพัทธ์คงที่ (Constant Relative Risk Aversion - CRRA): \( R'(w) = 0 \) เมื่อความมั่งคั่งเปลี่ยนแปลง บุคคลยังคงรักษาสัดส่วนของความมั่งคั่งที่จัดสรรในสินทรัพย์เสี่ยงไว้คงเดิม
- การกลัวความเสี่ยงสัมพัทธ์ลดลง/เพิ่มขึ้น (Decreasing/Increasing Relative Risk Aversion - DRRA/IRRA): สัดส่วนของความมั่งคั่งที่ลงทุนในสินทรัพย์เสี่ยงจะเพิ่มขึ้น/ลดลง เมื่อความมั่งคั่งเพิ่มขึ้น

ฟังก์ชันอรรถประโยชน์ที่ใช้บ่อย

หลักสูตรกำหนดให้ต้องมีความคุ้นเคยกับคุณสมบัติทางคณิตศาสตร์และทางเศรษฐศาสตร์ของฟังก์ชันอรรถประโยชน์มาตรฐาน ดังนี้:

1. อรรถประโยชน์กำลังสอง (Quadratic Utility): \( U(w) = w - b w^2 \) (สำหรับ \( w < \frac{1}{2b} \), \( b > 0 \))
- อนุพันธ์: \( U'(w) = 1 - 2bw > 0 \), \( U''(w) = -2b < 0 \)
- การกลัวความเสี่ยงสัมบูรณ์: \( A(w) = \frac{2b}{1 - 2bw} \) ซึ่งมีค่าเพิ่มขึ้นตาม \( w \) (IARA) คุณสมบัตินี้ขัดกับสัญชาตญาณทางเศรษฐศาสตร์เนื่องจากบอกเป็นนัยว่าคนรวยจะยอมรับความเสี่ยงทางการเงินในเชิงสัมบูรณ์น้อยลง
- ประเด็นสำคัญใน CM2: อรรถประโยชน์ที่คาดหวังขึ้นอยู่กับค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนของความมั่งคั่งเท่านั้น: \( E[U(W)] = E[W] - b E[W^2] = E[W] - b(Var(W) + (E[W])^2) \) ซึ่งเชื่อมโยงทฤษฎีการเลือกอย่างมีเหตุผลเข้ากับทฤษฎีกลุ่มหลักทรัพย์แบบผลตอบแทน-ความแปรปรวน (Mean-Variance Portfolio Theory) โดยตรง

2. อรรถประโยชน์ลอการิทึม (Logarithmic Utility): \( U(w) = \ln(w) \) (สำหรับ \( w > 0 \))
- อนุพันธ์: \( U'(w) = \frac{1}{w} > 0 \), \( U''(w) = -\frac{1}{w^2} < 0 \)
- \( A(w) = \frac{1}{w} \) (DARA)
- \( R(w) = w \left(\frac{1}{w}\right) = 1 \) (CRRA)

3. อรรถประโยชน์ยกกำลัง (Power Utility): \( U(w) = \frac{w^{1 - \gamma}}{1 - \gamma} \) (สำหรับ \( \gamma > 0, \gamma \neq 1 \))
- อนุพันธ์: \( U'(w) = w^{-\gamma} \), \( U''(w) = -\gamma w^{-\gamma - 1} \)
- \( A(w) = \frac{\gamma}{w} \) (DARA)
- \( R(w) = \gamma \) (CRRA โดยที่ \( \gamma \) คือสัมประสิทธิ์คงที่ของการกลัวความเสี่ยงสัมพัทธ์)

4. อรรถประโยชน์เลขชี้กำลัง (Exponential Utility): \( U(w) = -e^{-a w} \) (สำหรับ \( a > 0 \))
- อนุพันธ์: \( U'(w) = a e^{-aw} \), \( U''(w) = -a^2 e^{-aw} \)
- \( A(w) = a \) (CARA, การกลัวความเสี่ยงสัมบูรณ์คงที่)
- \( R(w) = a w \) (IRRA)

ความมั่งคั่งปัจจุบันและอรรถประโยชน์ที่ขึ้นกับสภาวะ (State-Dependent Utility)

ความมั่งคั่งเริ่มต้นในปัจจุบันของบุคคล \( w_0 \) จะเป็นตัวเลื่อนตำแหน่งการประเมินตามแนวเส้นโค้งอรรถประโยชน์ หากการลงทุนให้ผลตอบแทน \( X \) ความมั่งคั่งสุดท้ายทั้งหมดจะเป็น \( W = w_0 + X \) และนักลงทุนจะทำให้ \( E[U(w_0 + X)] \) มีค่าสูงสุด ภายใต้คุณสมบัติ DARA การเพิ่มขึ้นของ \( w_0 \) จะทำให้นักลงทุนมีความเต็มใจที่จะยอมรับการเดิมพันนั้นมากขึ้น

ในทฤษฎีอรรถประโยชน์มาตรฐาน อรรถประโยชน์จะขึ้นอยู่กับความมั่งคั่งสุดท้ายเท่านั้น อย่างไรก็ตาม ภายใต้ อรรถประโยชน์ที่ขึ้นกับสภาวะ (State-Dependent Utility) ตัวฟังก์ชันอรรถประโยชน์เองจะแปรผันตามสภาวะภายนอกของธรรมชาติ: \( U(w, s) \) ตัวอย่างเช่น เงินผลประโยชน์ที่ได้รับในสภาวะที่สุขภาพย่ำแย่หรือเศรษฐกิจตกต่ำอาจให้คุณค่าอรรถประโยชน์ส่วนเพิ่มสูงกว่าเงินจำนวนเดียวกันที่ได้รับในสภาวะที่รุ่งเรือง

การประยุกต์ใช้ในงานคณิตศาสตร์ประกันภัย: การประกันภัยและการลงทุน

1. การประเมินโอกาสการลงทุน

ในการเปรียบเทียบสินทรัพย์เสี่ยงสองชนิด \( X \) และ \( Y \) นักลงทุนจะคำนวณ \( E[U(w_0 + X)] \) และ \( E[U(w_0 + Y)] \) แล้วเลือกสินทรัพย์ที่ให้อรรถประโยชน์ที่คาดหวังสูงกว่า โดย มูลค่าเทียบเท่าความแน่นอน (Certainty Equivalent) \( C \) คือจำนวนความมั่งคั่งที่แน่นอนที่ทำให้ \( U(C) = E[U(W)] \) และส่วนต่าง \( E[W] - C \) จะแสดงถึง ส่วนชดเชยความเสี่ยง (Risk Premium) ของนักลงทุน

2. การวิเคราะห์ปัญหาการประกันภัยเบื้องต้น

พิจารณาบุคคลที่มีความมั่งคั่งเริ่มต้น \( w \) ซึ่งเผชิญกับความเสียหายที่อาจเกิดขึ้น \( L \) ด้วยความน่าจะเป็น \( p \) หากผู้รับประกันภัยเสนอการประกันภัยเต็มจำนวนด้วยเบี้ยประกันภัย \( P \):
- อรรถประโยชน์ที่คาดหวังเมื่อไม่มีการทำประกันภัย: \( E[U_{no\_ins}] = (1 - p) U(w) + p U(w - L) \)
- อรรถประโยชน์เมื่อทำประกันภัย: \( U_{ins} = U(w - P) \)
สำหรับบุคคลที่กลัวความเสี่ยง (\( U'' < 0 \)) อสมการของเจนเซนรับประกันว่าพวกเขาจะยินดีจ่ายเบี้ยประกันภัยสูงสุด \( P_{max} > pL \) (เบี้ยประกันภัยที่สูงกว่าเบี้ยประกันภัยที่เป็นธรรมอย่างแท้จริง) เพื่อกำจัดความเสี่ยงนั้นออกไป

กล่องสรุปด่วน

ประเด็นสำคัญสำหรับ CM2:
- ตัวแทนที่มีเหตุผลจะกระทำการเพื่อเพิ่ม อรรถประโยชน์ที่คาดหวัง \( E[U(W)] \) ให้สูงสุด
- ความไม่อิ่มตัว: \( U'(w) > 0 \); การกลัวความเสี่ยง: \( U''(w) < 0 \)
- มาตรวัดของแอร์โรว์-แพรตต์: สัมบูรณ์ \( A(w) = -\frac{U''(w)}{U'(w)} \) และสัมพัทธ์ \( R(w) = -\frac{w U''(w)}{U'(w)} \)
- อรรถประโยชน์กำลังสอง: IARA, ขึ้นอยู่กับค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนเท่านั้น
- อรรถประโยชน์เลขชี้กำลัง: CARA
- อรรถประโยชน์ยกกำลังและลอการิทึม: DARA และ CRRA
- การประกันภัย: บุคคลที่กลัวความเสี่ยงยินดีจ่ายเบี้ยประกันภัยที่สูงกว่าความเสียหายที่คาดหวังเพื่อแลกกับความแน่นอน