ยินดีต้อนรับสู่แบบจำลองการอยู่รอด (Survival Models)!
สวัสดีครับ! ยินดีต้อนรับสู่หนึ่งในบทเรียนที่เป็นพื้นฐานสำคัญที่สุดในเส้นทางวิชา CS2 ของคุณ ในบทนี้เราจะมาเรียนรู้วิธีสร้างแบบจำลองเวลาจนกว่าจะเกิด "เหตุการณ์" บางอย่าง ในทางคณิตศาสตร์ประกันภัย เรามักจะมุ่งเน้นไปที่ชีวิตและความตายของมนุษย์ แต่หลักการเหล่านี้สามารถนำไปประยุกต์ใช้ได้อย่างเท่าเทียมกันกับการพังของชิ้นส่วนเครื่องจักร การผิดนัดชำระหนี้ หรือการทยอยจ่ายค่าสินไหมทดแทน (claims run-off) ไม่ต้องกังวลไปนะครับถ้าเห็นคณิตศาสตร์แล้วรู้สึกหนักใจ เราจะค่อยๆ ย่อยไปทีละขั้นตอนพร้อมกันครับ
ตัวแปรสุ่มสำหรับอายุขัยที่เหลืออยู่ (The Future Lifetime Random Variable)
พิจารณาชีวิตหนึ่งที่มีอายุ x ปีเป๊ะๆ ในวันนี้ เนื่องจากเราไม่รู้ว่าอายุขัยในอนาคตจะยาวนานเท่าใด เราจึงแทนระยะเวลาของชีวิตที่เหลืออยู่ด้วยตัวแปรสุ่มแบบต่อเนื่อง ซึ่งเขียนแทนด้วย \( T_x \)
• \( T_x \) คืออายุขัยในอนาคตของคนที่ปัจจุบันอายุ \( x \) ปี ตัวอย่างเช่น ถ้าคนอายุ 30 ปี มีชีวิตรอดต่อไปจนถึงอายุ 75 ปีแล้วเสียชีวิต ดังนั้น \( T_{30} = 45 \)
• อายุ ณ ขณะเสียชีวิต คือตัวแปรสุ่ม \( X = x + T_x \)
เงื่อนไขความสอดคล้อง (The Consistency Condition)
คนที่มีอายุ \( x \) ปี จะมีอายุถึง \( x + t + s \) ปีได้ ก็ต่อเมื่อเขามีชีวิตรอดจนถึงอายุ \( x + t \) ปีเสียก่อน แล้วจึงมีชีวิตรอดต่อไปอีก \( s \) ปีจากอายุ \( x + t \) สิ่งนี้ก่อให้เกิด เงื่อนไขความสอดคล้อง (consistency condition) ที่เป็นพื้นฐานสำคัญในการเชื่อมโยงตัวแปรสุ่มของอายุขัยระหว่างช่วงอายุต่างๆ เข้าด้วยกัน:
\( P(T_x > t + s) = P(T_x > t) \cdot P(T_x > t + s \mid T_x > t) = P(T_x > t) \cdot P(T_{x+t} > s) \)
ในสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ประกันภัย เราสามารถเขียนให้อยู่ในรูปกระชับได้ดังนี้:
\( {}_{t+s}p_x = {}_tp_x \cdot {}_sp_{x+t} \)
ฟังก์ชันการอยู่รอด ฟังก์ชันการแจกแจง และฟังก์ชันความหนาแน่น
คณิตศาสตร์ประกันภัยใช้สัญลักษณ์เฉพาะเพื่ออธิบายการแจกแจงของ \( T_x \):
1. ฟังก์ชันการอยู่รอด (The Survival Function): \( S_x(t) \) หรือ \( {}_tp_x \)
ฟังก์ชันการอยู่รอดจะบอกความน่าจะเป็นที่คนอายุ \( x \) ปี จะมีชีวิตรอดต่อไปได้อย่างน้อย \( t \) ปี:
\( {}_tp_x = S_x(t) = P(T_x > t) \)
• ณ เวลา \( t = 0 \), \( {}_0p_x = 1 \)
• เมื่อ \( t \to \infty \), \( {}_tp_x \to 0 \)
• เมื่อ \( t = 1 \) เราจะเขียนว่า \( p_x \) แทนที่จะเขียนว่า \( {}_1p_x \)
2. ฟังก์ชันการแจกแจงสะสม (The Cumulative Distribution Function): \( F_x(t) \) หรือ \( {}_tq_x \)
นี่คือส่วนตรงกันข้าม (complement) ของการอยู่รอด ซึ่งก็คือความน่าจะเป็นที่คนอายุ \( x \) ปี จะเสียชีวิตภายใน \( t \) ปี:
\( {}_tq_x = F_x(t) = P(T_x \le t) = 1 - {}_tp_x \)
เมื่อ \( t = 1 \) เราจะเขียนว่า \( q_x \)
3. ฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็น (The Probability Density Function): \( f_x(t) \)
การหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันการแจกแจงจะทำให้ได้ฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็น (PDF) ของอายุขัยในอนาคต:
\( f_x(t) = \frac{d}{dt} F_x(t) = -\frac{d}{dt} {}_tp_x \)
อัตราการตายหรืออัตราอันตราย (The Force of Mortality / Hazard Rate): \( \mu_{x+t} \)
อัตราการตาย (force of mortality) ณ อายุ \( x + t \) เขียนแทนด้วย \( \mu_{x+t} \) คืออัตราการเสียชีวิตแบบทันทีทันใด (instantaneous rate) สำหรับผู้ที่มีชีวิตรอดจนถึงอายุดังกล่าว:
\( \mu_{x+t} = \lim_{dt \to 0^+} \frac{P(t < T_x \le t + dt \mid T_x > t)}{dt} = \frac{f_x(t)}{{}_tp_x} = -\frac{1}{{}_tp_x}\frac{d}{dt} {}_tp_x = -\frac{d}{dt} \ln({}_tp_x) \)
เมื่อทำการอินทิเกรตทั้งสองข้างจาก \( 0 \) ถึง \( t \) จะได้ความสัมพันธ์พื้นฐานที่สำคัญยิ่ง:
\( {}_tp_x = \exp\left( -\int_0^t \mu_{x+s}\,ds \right) \)
สูตรอินทิกรัลสำหรับความน่าจะเป็นและความหนาแน่น
จากความสัมพันธ์เหล่านี้ เราจะได้รูปสมการอินทิกรัลสำคัญที่มักออกสอบเป็นประจำ:
• ฟังก์ชันความหนาแน่น: \( f_x(t) = {}_tp_x \mu_{x+t} \)
• ความน่าจะเป็นของการเสียชีวิต: \( {}_tq_x = \int_0^t f_x(s)\,ds = \int_0^t {}_sp_x \mu_{x+s}\,ds \)
• ความน่าจะเป็นที่จะเสียชีวิตระหว่างช่วงอายุ \( x + t \) และ \( x + t + u \): \( {}_{t|u}q_x = {}_tp_x - {}_{t+u}p_x = \int_t^{t+u} {}_sp_x \mu_{x+s}\,ds \)
กฎการตายที่มีชื่อเฉพาะ (Named Laws of Mortality)
ก่อนที่ตารางคำนวณมาตรฐานจะถูกใช้อย่างแพร่หลาย นักคณิตศาสตร์ประกันภัยได้คิดค้นแบบจำลองพารามิเตอร์ขึ้นมาเพื่ออธิบายว่าอัตราการตายเปลี่ยนแปลงไปตามอายุอย่างไร หลักสูตรกำหนดให้คุณต้องทราบกฎดั้งเดิม 2 กฎดังต่อไปนี้:
• กฎของกอมเพิร์ตซ์ (Gompertz Law): สมมติว่าอัตราการตายเพิ่มขึ้นเป็นฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลตามอายุ อันเนื่องมาจากความชราภาพตามวัย (aging/senescence):
\( \mu_x = B c^x \quad (B > 0, c > 1) \)
• กฎของเมกแฮม (Makeham Law): เพิ่มค่าความเสี่ยงพื้นฐานที่ไม่ขึ้นกับอายุเข้าไป เพื่อสะท้อนถึงการเสียชีวิตจากอุบัติเหตุ:
\( \mu_x = A + B c^x \quad (A \ge -B, B > 0, c > 1) \)
อายุขัยในอนาคตแบบปีเต็ม (Curtate Future Lifetime): \( K_x \)
ในธุรกิจประกันชีวิตและกองทุนบำเหน็จบำนาญ ผลประโยชน์และเบี้ยประกันมักจะจ่ายเป็นรายปี นักคณิตศาสตร์ประกันภัยจึงนิยาม อายุขัยในอนาคตแบบปีเต็ม (curtate future lifetime) ซึ่งเขียนแทนด้วย \( K_x \) ให้เป็นจำนวนปีเต็มที่คนอายุ \( x \) มีชีวิตอยู่ก่อนจะเสียชีวิต:
\( K_x = \lfloor T_x \rfloor \)
แตกต่างจาก \( T_x \) ตรงที่ \( K_x \) เป็นตัวแปรสุ่มแบบ ไม่ต่อเนื่อง (discrete) โดยมีค่าเป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ \( k \in \{0, 1, 2, \dots\} \)
ฟังก์ชันความน่าจะเป็นของ \( K_x \)
ความน่าจะเป็นที่คนอายุ \( x \) จะมีชีวิตอยู่รอดได้ครบ \( k \) ปีเต็มพอดี แล้วเสียชีวิตภายในปีที่ \( (k+1) \) คือ:
\( P(K_x = k) = P(k \le T_x < k + 1) = {}_kp_x - {}_{k+1}p_x = {}_kp_x \cdot q_{x+k} = {}_k|q_x \)
ค่าคาดหมายและความแปรปรวนของอายุขัยในอนาคต
1. อายุขัยคาดหมายแบบสมบูรณ์ (Complete Expectation of Life): \( \mathring{e}_x \)
อายุขัยคาดหมายแบบสมบูรณ์ คือค่าคาดหมายของอายุขัยในอนาคตแบบต่อเนื่อง \( T_x \):
\( \mathring{e}_x = E[T_x] = \int_0^\infty t f_x(t)\,dt = \int_0^\infty {}_tp_x\,dt \)
โมเมนต์ที่สอง คือ:
\( E[T_x^2] = \int_0^\infty t^2 f_x(t)\,dt = 2 \int_0^\infty t\,{}_tp_x\,dt \)
ความแปรปรวนสามารถคำนวณได้จาก \( \text{Var}(T_x) = E[T_x^2] - (\mathring{e}_x)^2 \)
2. อายุขัยคาดหมายแบบปีเต็ม (Curtate Expectation of Life): \( e_x \)
อายุขัยคาดหมายแบบปีเต็ม คือค่าคาดหมายของ \( K_x \):
\( e_x = E[K_x] = \sum_{k=0}^\infty k P(K_x = k) = \sum_{k=1}^\infty {}_kp_x \)
โมเมนต์ที่สอง คือ:
\( E[K_x^2] = \sum_{k=1}^\infty k^2 P(K_x = k) = \sum_{k=1}^\infty (2k - 1)\,{}_kp_x \)
ความแปรปรวน คือ \( \text{Var}(K_x) = E[K_x^2] - (e_x)^2 \)
3. ความสัมพันธ์ระหว่าง \( \mathring{e}_x \) และ \( e_x \)
ภายใต้ข้อสมมติว่าการเสียชีวิตมีการกระจายตัวอย่างสม่ำเสมอตลอดแต่ละช่วงอายุปี (UDD) การเสียชีวิตจะเกิดขึ้นโดยเฉลี่ยที่กึ่งกลางของช่วงอายุปีนั้นๆ ทำให้ได้สูตรประมาณค่ามาตรฐานดังนี้:
\( \mathring{e}_x \approx e_x + \frac{1}{2} \)
แบบจำลองสองสถานะที่มีสาเหตุการสิ้นสุดเดียว เทียบกับ แบบจำลองอายุขัยแบบสุ่ม
แบบจำลองการอยู่รอดสามารถมองในเชิงคณิตศาสตร์ได้ 2 รูปแบบที่แตกต่างกัน:
• แบบจำลองอายุขัยแบบสุ่ม (Random Lifetime Model): กำหนดการอยู่รอดในรูปของเวลา \( T_x \) จนกระทั่งเสียชีวิต โดยเป็นตัวแปรสุ่มแบบต่อเนื่องบนช่วง \( [0, \infty) \) ซึ่งระบุคุณลักษณะด้วยฟังก์ชันการอยู่รอด \( S_x(t) \) หรือฟังก์ชันอันตราย \( \mu_{x+t} \)
• แบบจำลองมาร์คอฟสองสถานะ (Two-State Markov Model): กำหนดกระบวนการให้อยู่ในรูปของกระบวนการมาร์คอฟแบบเวลาต่อเนื่อง \( \{Y_t\}_{t \ge 0} \) ที่มีปริภูมิทัศนะ (state space) เป็น \( S = \{\text{Alive}, \text{Dead}\} \) โดยที่สถานะ Dead เป็นสถานะดูดกลืน (absorbing state) และความเข้มข้นของการเปลี่ยนสถานะ (transition intensity) จาก Alive ไปยัง Dead ณ อายุ \( x + t \) คือ \( \mu_{x+t} \)
การเปรียบเทียบ: ทั้งสองรูปแบบให้ค่าความน่าจะเป็นของการอยู่รอดและการเสียชีวิตที่ตรงกันทุกประการ: \( P(Y_t = \text{Alive} \mid Y_0 = \text{Alive}) = {}_tp_x = \exp\left(-\int_0^t \mu_{x+s}\,ds\right) \) อย่างไรก็ดี โครงสร้างแบบจำลองมาร์คอฟสองสถานะสามารถนำไปขยายผลต่อยอดเป็นแบบจำลองหลายสถานะ (เช่น Healthy–Sick–Dead, ทุพพลภาพ หรือโรคร้ายแรง) และแบบจำลองที่มีหลายสาเหตุของการสิ้นสุด (multiple decrements) ได้ง่าย ในขณะที่แบบจำลองอายุขัยแบบสุ่มจะมุ่งเน้นไปที่การแจกแจงของระยะเวลาในการสิ้นสุดเพียงสาเหตุเดียวโดยตรง