ยินดีต้อนรับสู่โลกแห่งการปรับเรียบข้อมูล (Graduation)!

ในการทำงานด้านคณิตศาสตร์ประกันภัย เรามักจะต้องเจอกับข้อมูลอัตราการตายหรือข้อมูลการเปลี่ยนสถานะดิบ (raw mortality or transition data) เมื่อเราดูอัตราดิบ (crude rates) เรามักจะพบว่าค่าเหล่านี้กระโดดขึ้นลงจากอายุหนึ่งไปอีกอายุหนึ่งเนื่องจากสัญญาณรบกวนจากการสุ่ม (sampling noise) ปริมาณความเสี่ยงที่น้อย (small exposures) หรือเหตุการณ์ที่ไม่คาดคิด แต่ในโลกความเป็นจริง เราคาดหวังให้อัตราการตายตามชีววิทยาที่แท้จริงดำเนินไปอย่างราบเรียบตามอายุที่เพิ่มขึ้น

การปรับเรียบข้อมูล (Graduation) คือกระบวนการทำให้ค่าอัตราดิบที่ "ขรุขระ" เหล่านี้มีความราบเรียบ เพื่อสร้างชุดของความเข้มข้นของการเปลี่ยนสถานะ (transition intensities) หรือความน่าจะเป็นที่มีความสม่ำเสมอ น่าเชื่อถือ และเหมาะสมสำหรับการกำหนดเบี้ยประกันภัย การตั้งเงินสำรอง และการคาดการณ์ทางการเงิน

ในบทนี้ เราจะมาเรียนรู้ว่าทำไมเราต้องปรับเรียบข้อมูล วิธีการปรับเรียบข้อมูลทั้ง 3 วิธีตามหลักสูตร วิธีการทดสอบ ความเรียบ (smoothness) และชุดของ การทดสอบทางสถิติ ที่ใช้ในการประเมินความสอดคล้องกับข้อมูลและการตรวจจับอคติ (bias)

1. ทำไมเราต้องปรับเรียบข้อมูล (Graduate)?

หากกลุ่มตัวอย่างดิบของเราแสดงว่าคนอายุ 50 ปีมีอัตราการตายมากกว่าคนอายุ 51 ปีถึงสองเท่า เพียงเพราะการเสียชีวิตจากอุบัติเหตุไม่กี่ครั้งในกลุ่มตัวอย่างที่มีขนาดพอประมาณ การกำหนดราคาตามอัตราดิบจะนำไปสู่เบี้ยประกันภัยที่ไม่แน่นอนและเกิดการบิดเบือนทางการค้า

เราทำการปรับเรียบค่าประมาณดิบด้วยเหตุผลหลัก 3 ประการ:

1. เพื่อกำจัดความผันผวนจากการสุ่มตัวอย่าง: ข้อมูลดิบมี "สัญญาณรบกวน" (noise) ที่บดบังรูปแบบที่แท้จริงที่ซ่อนอยู่
2. เพื่อสร้างความสม่ำเสมอและความเรียบ: อัตราควรมีการเปลี่ยนแปลงอย่างมีตรรกะตามช่วงอายุ (เช่น โดยทั่วไปอัตราการตายของผู้ใหญ่ควรเพิ่มขึ้นตามอายุ) เพื่อให้เบี้ยประกันภัยและเงินสำรองที่คำนวณได้มีพัฒนาการอย่างสม่ำเสมอ
3. เพื่อประมาณค่าอัตราในช่วงอายุที่มีข้อมูลเบาบาง: การปรับเรียบช่วยให้สามารถประมาณค่าในช่วงอายุที่มีข้อมูลสังเกตน้อยหรือขาดหายไปได้

การรักษาสมดุล: ความสอดคล้องกับข้อมูล (Fit) vs ความเรียบ (Smoothness)

การปรับเรียบข้อมูลเกี่ยวข้องกับการรักษาสมดุลขั้นพื้นฐาน (trade-off) ระหว่างสองเกณฑ์ที่ขัดแย้งกัน:

• ความสอดคล้องกับข้อมูล (Adherence to data / Goodness of Fit): เส้นโค้งที่ปรับเรียบแล้วควรอยู่ใกล้กับอัตราดิบที่สังเกตได้โดยไม่บิดเบือนระดับที่แท้จริงของข้อมูล
• ความเรียบ (Smoothness): การเปลี่ยนแปลงของอัตราในแต่ละช่วงอายุที่อยู่ติดกันควรค่อยเป็นค่อยไปและไม่มีรอยพับที่ผิดปกติหรือการแกว่งตัวอย่างรุนแรง

การเปรียบเทียบ: การลากเส้นตรงเชื่อมทุกจุดที่สังเกตได้จะให้ความสอดคล้อง 100% แต่ความเรียบเป็น 0% ในทางกลับกัน เส้นตรงแนวนอนแบนราบมีความเรียบ 100% แต่ความสอดคล้องแย่มาก การปรับเรียบข้อมูลที่ประสบความสำเร็จจะต้องหาจุดสมดุลที่เหมาะสมที่สุดระหว่างสองสิ่งนี้

2. วิธีการปรับเรียบข้อมูล (Methods of Graduation)

หลักสูตร CS2 กำหนดวิธีการปรับเรียบข้อมูลหลักไว้ 3 วิธี หมายเหตุ: ภายใต้วัตถุประสงค์ของหลักสูตร 4.5 ผู้เข้าสอบไม่จำเป็นต้องทำการปรับเรียบข้อมูลในห้องสอบ แต่จะต้องรู้กระบวนการ หลักการ รวมถึงข้อดีและข้อเสียของแต่ละวิธี

A. วิธีใช้สูตรพารามิเตอร์ (สูตรทางคณิตศาสตร์)

เราปรับเส้นโค้งทางคณิตศาสตร์ให้เข้ากับความเข้มข้นของการเปลี่ยนสถานะดิบหรืออัตราการตายดิบตลอดช่วงอายุทั้งหมด เช่น กฎของ Gompertz ( \( \mu_x = B c^x \) ), กฎของ Makeham ( \( \mu_x = A + B c^x \) ) หรือสูตรพหุนาม
• ข้อดี: ให้ผลลัพธ์ของอัตราที่มีความเรียบในตัวเอง กะทัดรัดในการจัดเก็บและเขียนโปรแกรม และง่ายต่อการคำนวณฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ประกันภัย
• ข้อเสีย: ขาดความยืดหยุ่นหากรูปร่างการตายที่แท้จริงของประชากรเบี่ยงเบนไปจากสูตรที่เลือกในช่วงอายุบางช่วง

B. วิธีอ้างอิงจากตารางมาตรฐาน (Reference to a Standard Table)

เรานำตารางมรณะมาตรฐานที่เป็นที่ยอมรับอย่างกว้างขวางมาปรับให้เข้ากับประสบการณ์เฉพาะของเราโดยใช้ฟังก์ชันเชื่อมโยงทางคณิตศาสตร์แบบง่าย เช่น การแปลงเชิงเส้น ( \( \mathring{q}_x = a + b q_x^s \) ) หรือการแปลงแบบโลจิท (logit transformation) ( \( \text{logit}(\mathring{q}_x) = \alpha + \beta \, \text{logit}(q_x^s) \) )
• ข้อดี: มีประสิทธิภาพสูงสำหรับชุดข้อมูลขนาดเล็กที่ข้อมูลดิบเพียงอย่างเดียวไม่สามารถกำหนดรูปร่างของเส้นโค้งมรณะได้ เป็นการ "ยืม" รูปร่างทางชีววิทยาที่สมจริงมาจากประชากรที่น่าเชื่อถือ
• ข้อเสีย: ถูกจำกัดด้วยรูปร่างของตารางมาตรฐานที่เลือก และไม่เหมาะสมหากไม่มีตารางมาตรฐานที่เข้ากันได้

C. ฟังก์ชันสปไลน์ (Spline Functions)

สปไลน์จะแบ่งช่วงอายุออกเป็นส่วนๆ คั่นด้วยจุดขอบเขตที่เรียกว่า knots โดยปรับพหุนามอันดับต่ำ (โดยทั่วไปคือ cubic splines) ให้เข้ากับแต่ละส่วน พร้อมทั้งกำหนดให้เส้นโค้ง อนุพันธ์อันดับที่หนึ่ง และอนุพันธ์อันดับที่สองมีความต่อเนื่องกันที่จุด knots
• ข้อดี: มีความยืดหยุ่นสูง สามารถปรับให้เข้ากับรูปแบบการตายที่ซับซ้อนหรือไม่เป็นไปตามมาตรฐานเฉพาะจุดได้ โดยไม่ทำให้เกิดคลื่นรบกวนที่ไม่พึงประสงค์ในช่วงอายุอื่นๆ
• ข้อเสีย: การเลือกจำนวนและตำแหน่งของ knots อาจมีความเป็นอัตวิสัย (subjective) การใส่ knots มากเกินไปจะนำไปสู่ปัญหา overfitting (การจำลองสัญญาณรบกวนแบบสุ่มซ้ำขึ้นมา)

3. การทดสอบความเรียบ (Testing for Smoothness)

ความเรียบเป็นคุณสมบัติของอัตราที่ปรับเรียบแล้วโดยตัวของมันเอง ซึ่งเป็นอิสระจากข้อมูลที่สังเกตได้

• ผลต่างจำกัด (Finite Differences): วิธีมาตรฐานในการทดสอบความเรียบคือการคำนวณผลต่างลำดับถัดไปของอัตราที่ปรับเรียบแล้ว โดยเฉพาะอย่างยิ่งผลต่างอันดับที่สาม (third differences) ( \( \Delta^3 \mathring{q}_x \) )
• เกณฑ์สำหรับความเรียบ: ผลต่างอันดับที่สามควรมีขนาดเล็ก เปลี่ยนแปลงอย่างราบเรียบตามช่วงอายุ และไม่ควรสลับเครื่องหมายบวกลบบ่อยๆ ลำดับของผลต่างอันดับที่สามที่กระโดดไปมาอย่างผิดปกติบ่งชี้ถึงการขาดความเรียบ

4. การทดสอบทางสถิติสำหรับความสอดคล้องกับข้อมูลและอคติ

เมื่อเราได้อัตราที่ปรับเรียบแล้ว เราจะทดสอบว่าอัตราที่ปรับเรียบนั้น ( \( \mathring{q}_x \) หรือ \( \mathring{\mu}_x \) ) สอดคล้องกับข้อมูลดิบอย่างเพียงพอ ไม่มีอคติเชิงระบบ และเป็นไปตามรูปร่างที่แท้จริงหรือไม่ ให้ \( d_x \) แทนจำนวนผู้เสียชีวิตที่สังเกตได้, \( E_x \) แทนจำนวนผู้มีความเสี่ยงต่อการเสียชีวิตเริ่มต้น (initial exposed to risk) และ \( \hat{d}_x = E_x \mathring{q}_x \) แทนจำนวนผู้เสียชีวิตที่คาดหวังภายใต้อัตราที่ปรับเรียบแล้ว

ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน (ส่วนเหลือ) ที่อายุ \( x \) คือ:
\( z_x = \frac{d_x - E_x \mathring{q}_x}{\sqrt{E_x \mathring{q}_x (1 - \mathring{q}_x)}} \approx \frac{d_x - \hat{d}_x}{\sqrt{\text{Var}(d_x)}} \)

A. การทดสอบ Chi-Square ( \( \chi^2 \) ) (การทดสอบความสอดคล้องโดยรวม)

ทดสอบความสอดคล้องโดยรวมในทุกๆ \( m \) ช่วงอายุ
• ตัวสถิติทดสอบ: \( \sum_{x} z_x^2 = \sum_{x} \frac{(d_x - E_x \mathring{q}_x)^2}{E_x \mathring{q}_x (1 - \mathring{q}_x)} \sim \chi_k^2 \)
• องศาอิสระ (Degrees of Freedom): \( k = m - p \) โดยที่ \( m \) คือจำนวนกลุ่มอายุ และ \( p \) คือจำนวนพารามิเตอร์ที่ประมาณค่าในระหว่างการปรับเรียบ (เมื่อทดสอบกับตารางมาตรฐานที่ไม่มีการประมาณค่าพารามิเตอร์จากข้อมูล จะได้ \( p = 0 \) )
• การนำไปใช้: หากตัวสถิติมีค่าเกินกว่าค่าวิกฤตส่วนบนของ \( \chi_k^2 \) ให้ปฏิเสธ \( H_0 \) (ความสอดคล้องโดยรวมไม่ดีพอ)

B. การทดสอบค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน (Standardised Deviations Test - การทดสอบค่าผิดปกติเฉพาะจุด)

ทดสอบว่าค่าเบี่ยงเบนแต่ละช่วงอายุเป็นไปตามพฤติกรรมของการแจกแจงปกติมาตรฐาน \( z_x \sim N(0, 1) \) หรือไม่
• การนำไปใช้: เราตรวจสอบว่าประมาณ 68% ของ \( z_x \) ตกอยู่ในช่วง \( (-1, 1) \) , 95% ตกอยู่ในช่วง \( (-2, 2) \) และแทบทั้งหมดอยู่ในช่วง \( (-3, 3) \) หรือไม่ หากพบค่าใดค่าหนึ่งที่ \( |z_x| > 3 \) แสดงว่าช่วงอายุนั้นมีความไม่สอดคล้องอย่างมีนัยสำคัญ

C. การทดสอบค่าเบี่ยงเบนสะสม (Cumulative Deviations Test - การทดสอบอคติโดยรวม)

ทดสอบอคติโดยรวมตลอดช่วงอายุทั้งหมด (ดูว่าอัตราที่ปรับเรียบแล้วประมาณการจำนวนผู้เสียชีวิตรวมสูงเกินไปหรือต่ำเกินไปอย่างเป็นระบบหรือไม่)
• ตัวสถิติทดสอบ: \( \frac{\sum (d_x - \hat{d}_x)}{\sqrt{\sum \text{Var}(d_x)}} \sim N(0, 1) \)
• การนำไปใช้: การทดสอบแบบสองหางภายใต้การแจกแจงปกติ หากได้ค่าบวกหรือค่าลบขนาดใหญ่ แสดงว่าการปรับเรียบมีอคติอย่างต่อเนื่อง

D. การทดสอบเครื่องหมาย (Signs Test - ความถี่ของทิศทางอคติ)

นับจำนวนค่าเบี่ยงเบนที่เป็นบวก \( P \) จากทั้งหมด \( m \) ช่วงอายุ
• การแจกแจง: ภายใต้ \( H_0 \) (ความน่าจะเป็นเท่ากันที่จะเกิดการประมาณค่าสูงเกินไปหรือต่ำเกินไป) \( P \sim \text{Binomial}(m, 0.5) \) (หรือใช้การแจกแจงปกติประมาณค่าเมื่อ \( m \) มีขนาดใหญ่)
• การนำไปใช้: ตรวจสอบว่าเครื่องหมายใดเครื่องหมายหนึ่งเกิดขึ้นบ่อยกว่าที่ควรจะเป็นโดยบังเอิญอย่างมีนัยสำคัญหรือไม่

E. การทดสอบกลุ่มของเครื่องหมาย (Grouping of Signs Test - การทดสอบการเกาะกลุ่มเพื่อดูอคติเฉพาะจุด)

ทดสอบว่าเครื่องหมายบวกและลบมีการเกาะกลุ่มกันเป็นแนวยาว (extended runs) หรือไม่ ซึ่งบ่งชี้ว่าเส้นโค้งที่ปรับเรียบตัดผ่านข้อมูลและไม่สามารถจับรูปร่างเฉพาะจุดที่แท้จริงได้
• การนำไปใช้: นับจำนวนกลุ่มของเครื่องหมายบวก \( G \) เปรียบเทียบ \( G \) กับค่าวิกฤตจากการแจกแจงของ Steven-Dodd หรือการแจกแจงปกติประมาณค่า หากได้จำนวนกลุ่มน้อยเกินไป แสดงว่ามีอคติเฉพาะจุด (เกิดการเกาะกลุ่มกัน)

F. การทดสอบความสัมพันธ์เชิงอนุกรม (Serial Correlation Test - ความสอดคล้องของรูปร่าง / สหสัมพันธ์ในตัวเอง)

ทดสอบว่าส่วนเหลือที่อยู่ติดกันมีความสัมพันธ์กันหรือไม่ ซึ่งแสดงให้เห็นว่าเส้นโค้งที่ปรับเรียบนั้นบิดตัวไปรอบๆ ข้อมูลดิบอย่างเป็นระบบหรือไม่
• ตัวสถิติทดสอบ: สัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ในตัวเองที่ช่วงเวลาห่างกัน 1 หน่วย (sample lag-1 autocorrelation coefficient) \( r_1 = \frac{\sum_{j=1}^{m-1} (z_j - \bar{z})(z_{j+1} - \bar{z})}{\sum_{j=1}^m (z_j - \bar{z})^2} \)
• การแจกแจง: สำหรับ \( m \) ขนาดใหญ่ \( r_1 \sqrt{m} \sim N(0, 1) \)
• การนำไปใช้: ค่า \( r_1 \) ที่เป็นบวกอย่างมีนัยสำคัญบ่งชี้ถึงความสัมพันธ์เชิงอนุกรมที่เป็นบวก (ค่าเบี่ยงเบนที่อายุ \( x+1 \) มีทิศทางสะท้อนตามอายุ \( x \) )

5. การปรับการทดสอบความสอดคล้องสำหรับกรมธรรม์ที่ซ้ำซ้อน (Duplicate Policies)

ในชุดข้อมูลประกันชีวิตและเงินบำนาญ บุคคลคนเดียวอาจถือกรมธรรม์หลายฉบับ หากบุคคลนั้นเสียชีวิต การเรียกร้องค่าสินไหมมรณกรรมจะเกิดขึ้นหลายรายการพร้อมกัน ซึ่งละเมิดข้อสมมติความเป็นอิสระต่อกันระหว่างการเสียชีวิตของแต่ละกรมธรรม์

• ผลกระทบต่อความแปรปรวน: แม้ว่าจำนวนผู้เสียชีวิตที่คาดหวังจะยังคงไม่เปลี่ยนแปลง ( \( E[d_x] = \hat{d}_x \) ) แต่ความแปรปรวนของจำนวนผู้เสียชีวิตที่สังเกตได้จะขยายตัวขึ้นด้วยตัวคูณ \( r_x > 1 \) :
\( \text{Var}(d_x) = r_x \cdot E_x \mathring{q}_x (1 - \mathring{q}_x) \)
โดยที่ \( r_x = \frac{\sum k^2 n_k}{\sum k n_k} \) คืออัตราส่วนของโมเมนต์ที่สองต่อโมเมนต์ที่หนึ่งของการแจกแจงจำนวนกรมธรรม์ต่อหนึ่งชีวิต
• การปรับปรุงตัวสถิติทดสอบ: หากละเลยกรมธรรม์ที่ซ้ำซ้อน ตัวสถิติทดสอบเช่น Chi-square และค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานเฉพาะจุดจะมีค่าสูงเกินจริง ส่งผลให้เกิดการปฏิเสธการปรับเรียบที่ดีโดยไม่ถูกต้อง ในการแก้ไขการทดสอบ ให้หาร \( \chi^2 \) ด้วย \( r \) และหารค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานด้วย \( \sqrt{r} \)

6. สรุปการทดสอบโดยสังเขป

1. Third Differences: ทดสอบความเรียบของเส้นโค้งที่ปรับเรียบแล้วโดยตรง
2. Chi-Square Test: ทดสอบความสอดคล้องกับข้อมูลโดยรวมในทุกช่วงอายุ (โดยคำนึงถึงองศาอิสระที่สูญเสียไป)
3. Cumulative Deviations: ทดสอบอคติเชิงทิศทางสุทธิโดยรวม
4. Signs Test: ทดสอบอคติเชิงทิศทางจากสัดส่วนของส่วนเหลือที่เป็นบวกเทียบกับลบ
5. Grouping of Signs: ทดสอบแนวต่อเนื่องของเครื่องหมายที่เหมือนกันเพื่อตรวจจับการบิดเบือนรูปร่างเฉพาะจุด
6. Serial Correlation: ทดสอบความสัมพันธ์แบบ lag-1 ระหว่างค่าเบี่ยงเบนที่อยู่ติดกัน
7. Standardised Deviations: ทดสอบช่วงอายุที่แยกเดี่ยวซึ่งมีความไม่สอดคล้องในระดับที่ยอมรับไม่ได้ (ค่าผิดปกติ)