欢迎来到信息表示法 (Information Representation)！
你有没有想过，计算机本质上只是一堆微小的电子开关，它是如何让你观看高画质电影、播放你最爱的歌曲，或是存储你的作业？这一切都要归功于信息表示法。在本章中，我们将探讨计算机如何将现实世界「翻译」成 1 和 0。如果一开始觉得这些概念有点「天外来客」，请不用担心——我们会一步一步为你拆解！
1.1 数据表示法：基础概念
二进制量级：Kilo 与 Kibi 的混淆
在「人类」的世界中，我们使用十进制系统 (Base 10)。当我们说「kilo」时，指的是 1,000。然而，计算机使用二进制系统 (Base 2)，所有数值都以 2 的幂次运作。这导致我们在衡量数据时产生了细微的差异。
十进制前缀 (Base 10)： 这是你日常生活中使用的单位。
- kilo (k): \(10^3\) = 1,000
- mega (M): \(10^6\) = 1,000,000
- giga (G): \(10^9\) = 1,000,000,000
- tera (T): \(10^{12}\) = 1,000,000,000,000
二进制前缀 (Base 2)： 这些是计算机的「真实」测量单位。
- kibi (Ki): \(2^{10}\) = 1,024
- mebi (Mi): \(2^{20}\) = 1,048,576
- gibi (Gi): \(2^{30}\) = 1,073,741,824
- tebi (Ti): \(2^{40}\) = 1,099,511,627,776
记忆小撇步： 如果词汇中间带有「bi」（例如 kibi），它就代表 Binary（二进制），因此它使用的是 1,024 倍数的刻度！
数值系统：二进制、十进制与十六进制
在计算机科学中，我们主要使用三种数值系统：
- 十进制 (Denary/Base 10)： 我们每天使用的 0-9 数字。
- 二进制 (Binary/Base 2)： 只有 0 和 1。这是计算机的母语。
- 十六进制 (Hexadecimal/Base 16)： 使用 0-9 以及 A-F（其中 A=10, B=11, C=12, D=13, E=14, F=15）。
为什么要用十六进制？ 它比二进制简短得多，且人类阅读时较不容易出错。一个「十六进制」数字恰好代表 4 个二进制位元（称为一个 nibble）。
快速回顾： 要将二进制转换为十六进制，请从右边开始将二进制数字每 4 个一组分开。例如，\(1011 | 0101\) 会变成 \(B | 5\)，即 \(B5_{16}\)。
二进制编码十进制 (BCD)
BCD 是一种特殊的数字表示法，将十进制数字的每一个位单独存储为 4-bit 的二进制码。
例子： 要以 BCD 表示数字 85：
8 = 1000
5 = 0101
因此，85 的 BCD 表示为 1000 0101。
现实应用： BCD 常见于数字时钟或计算器，因为这些设备需要个别控制屏幕上的每一个数字。
带符号整数：一补码与二补码
计算机如何辨识一个数是负数？我们使用二补码 (Two's Complement)。
步骤：如何使用二补码将数字变为负数：
- 先写出该数字的正数二进制形式。
- 反转 (Flip) 所有位元（将 0 改为 1，1 改为 0）。这称为「一补码 (One's Complement)」。
- 将结果加 1。这就是「二补码」。
常见错误： 别忘了在 8-bit 的带符号数字中，最左边的位元是符号位元 (sign bit)。如果它是 1，该数字就是负数！
二进制加法与溢位： 当你进行二进制加法时，结果有时会大到无法放入规定的位元数（例如将两个 8-bit 的数字相加，却得到 9-bit 的答案）。这称为溢位 (Overflow)，它可能会导致计算机运算错误！
重点总结： 二进制是给计算机用的，十六进制是让人更容易阅读二进制，而二补码则是处理负数的方法。
1.2 多媒体：图形与声音
位图 (Bitmapped Graphics)
位图由称为像素 (pixels)（图像元素）的微小点组成。每个像素都被分配了一个二进制颜色代码。
- 图像分辨率： 图像的宽度像素数乘以高度像素数（例如 1920 x 1080）。
- 色彩深度 (Color Depth / Bit Depth)： 用来表示单一像素颜色的位元数。使用的位元越多，颜色就越丰富（例如 8-bit 色深允许 \(2^8 = 256\) 种颜色）。
- 文件头 (File Header)： 文件中存储有关图像信息的一小部分数据，例如分辨率和色深。
计算文件大小：
\(文件大小 = 分辨率 (宽 \times 高) \times 色深\)
例子： 一张 100x100 且具备 1-bit 色深的图片，文件大小为 10,000 bits。
矢量图 (Vector Graphics)
矢量图不存储像素，而是存储一张绘图列表，包含数学对象（线条、圆形、矩形）及其属性（颜色、粗细、位置）。
比喻： 位图就像照片；如果你放大太多，它会变得「有块状感」（像素化）。矢量图则像是一组绘图指令；即使你把它放大得跟房子一样大，看起来依然完美清晰！
声音
声音本质上是模拟 (analogue) 的（连续波形），但计算机是数字 (digital) 的。为了存储声音，我们必须进行采样 (sampling)。
- 采样： 在固定的时间间隔内，「快照」声音波形的振幅。
- 采样率 (Sampling Rate)： 每秒进行多少次采样（单位为赫兹，Hz）。采样率越高 = 品质越好但文件越大。
- 采样分辨率 (Sampling Resolution)： 用来存储每个采样点的位元数。分辨率越高 = 对声音音量的表示就越精确。
你知道吗？ 标准 CD 使用的采样率为每秒 44,100 次！这可是大量的快照。
重点总结： 位图使用像素；矢量图使用数学。声音是通过将模拟波形采样成数字位元来捕捉的。
1.3 压缩 (Compression)
压缩是让文件变小的过程。我们为什么需要它？为了节省存储空间，并让文件在网络上传输得更快。
有损与无损压缩
- 有损压缩 (Lossy Compression)： 永久删除一些人类眼睛或耳朵不太可能注意到的数据。一旦删除，就无法恢复。（例子：JPEG, MP3）。
- 无损压缩 (Lossless Compression)： 在不丢失任何原始数据的情况下减小文件大小。当你解压时，它与原始文件完全相同。（例子：PNG, ZIP）。
行程编码 (Run-Length Encoding, RLE)
RLE 是一种简单的无损压缩形式。它寻找连续重复的数据片段，并将其存储为一个单一数值和一个计数。
例子： 想象一排像素：WWWWWBBRRR
使用 RLE，我们将其存储为：5W, 2B, 3R
我们刚刚把 10 个字符变成了 6 个！这对于具有大面积相同颜色的简单图像非常有效。
快速回顾： 当你需要极小的文件且不介意品质轻微下降时（例如流媒体视频），使用有损压缩。当数据必须完美无缺时（例如文本文档或程序代码），使用无损压缩。
重点总结： 压缩节省空间。有损压缩丢弃数据；无损压缩通过巧妙的存储方式保留一切完美细节。