Properties of Interest Rates

Q: 金融市场中主要的无风险基准利率和常见利率类型有哪些？

主要包括国库券利率、担保隔夜融资利率（SOFR，取代了含信用风险的 LIBOR）以及通过证券抵押借贷产生的回购利率。

Q: 如何将每年计息 $ m $ 次的年名义利率 $ R_m $ 转换为等价的连续复利利率 $ R_c $？

转换公式为：$ R_c = m \ln\left(1 + \frac{R_m}{m}\right) $；反之则为：$ R_m = m \left(e^{R_c / m} - 1\right) $。

Q: 即期利率（零息利率）与到期收益率（YTM）在债券估值中有什么本质区别？

即期利率针对每一笔特定期限现金流分别使用对应的零息利率折现；而到期收益率是用单一内部收益率对所有现金流折现，假设收益率曲线平坦且再投资收益恒定。

Q: 什么是自举法 (Bootstrapping)，其构建零息利率曲线的基本逻辑是什么？

自举法是一种迭代方法，先由不付息的短期工具直接提取短期零息利率，再依次利用已知的较短期限利率对附息债券的早期票息折现，从而逐级求解最长期限的未知零息利率。

Q: 远期利率协议 (FRA) 在借贷开始时（时点 $ T_1 $）进行贴现结算的现金流计算公式是什么？

$ \text{Cash Flow at } T_1 = \frac{L \times (R_M - R_K) \times \tau}{1 + R_M \times \tau} $

Q: 麦考利久期与修正久期之间有什么数学关系和概念区别？

$ D_{\text{mod}} = \frac{D_{\text{mac}}}{1 + y/m} $；麦考利久期衡量收回现金流的加权平均时间（以年为单位），而修正久期衡量收益率变动时债券价格的百分比敏感度。

Q: 如何利用修正久期和凸性综合估算债券价格的百分比变动？

二阶泰勒展开近似公式为：$ \frac{\Delta P}{P} \approx -D_{\text{mod}} \Delta y + \frac{1}{2} C (\Delta y)^2 $

Q: 解释利率期限结构的三大主要理论（预期理论、市场分割理论、流动性偏好理论）的核心观点分别是什么？

预期理论认为长期利率等于未来短期利率的平均预期；市场分割理论认为各期限利率由其独立的资金供求决定；流动性偏好理论认为投资者需要流动性补偿，导致远期利率高于预期即期利率。

FRM Part I · FRM · 阅读约 4 分钟 · 更新于: 2026年11月11日

欢迎来到利率的世界！

利率常被称为金融世界的“心跳”。无论您是在评估债券价值、为互换（掉期）定价，还是管理资产负债表风险，理解利率的运作方式都至关重要。在本章中，我们将探讨支配资金随时间增长的基础特性、曲线的构建方式，以及债券价格如何对利率变化作出反应。

1. 利率的不同类型

根据信用资质、抵押品和流动性的不同，整个金融体系中存在着不同的利率：

国库券利率 (Treasury Rates)

这是主权政府为短期国库券 (Treasury bills)、中期国债 (notes) 和长期国债 (bonds) 等债务凭证所支付的收益率。由于政府可以通过征税和印钞来偿还本币债务，因此国库券利率几乎不存在违约风险。然而，政府债券收益率受到监管需求和税务因素的影响，这可能会使其略低于其他无风险基准利率。

SOFR 与无风险基准利率

历史上，伦敦银行同业拆借利率（LIBOR）一直是浮动利率贷款和衍生工具的主要基准利率。由于 LIBOR 反映的是无担保的银行同业借贷，它包含了银行信用风险，且交易量持续萎缩。现代金融市场已转向以担保隔夜融资利率 (SOFR) 作为主要的参考和无风险基准利率。SOFR 是一种由美国国债全额抵押的隔夜利率，因此基本上没有信用风险。

回购利率 (Repo Rates)

在回购协议 (Repo) 中，一家机构向交易对手出售高资质证券（如国债），并同意在未来某个日期以略高的价格买回。出售价格与回购价格之间的年化差额就是回购利率。由于该交易由标的抵押品担保，因此回购利率的交易水平非常接近无风险利率。

2. 复利频率与利率转换

复利频率决定了已赚取的利息产生未来利息的频繁程度。对于每年计息 $ m $ 次的年名义利率 $ R $，$ \$1 $ 在 $ n $ 年后的终值为：

$ \text{Terminal Value} = \left(1 + \frac{R}{m}\right)^{m \times n} $

当 $ m \to \infty $ 时，计息变为连续复利，终值为：

$ \text{Terminal Value} = e^{R_c n} $

转换公式

若要将每年计息 $ m $ 次的利率 $ R_m $ 转换为等价的连续复利利率 $ R_c $：
$ R_c = m \ln\left(1 + \frac{R_m}{m}\right) $

若要将连续复利利率 $ R_c $ 转换回每年计息 $ m $ 次的利率 $ R_m $：
$ R_m = m \left(e^{R_c / m} - 1\right) $

3. 债券估值：即期利率与到期收益率

零息利率 (Zero Rate)（或 $ n $ 年期即期利率，表示为 $ r_n $）是指在到期日 $ n $ 进行单笔现金支付，中间无任何票息支付的投资所赚取的收益率。

利用即期利率为债券估值

由于每笔票息在不同的时间点支付，每笔现金流都应该使用与其特定期限相对应的零息利率进行折现。对于在时间 $ t_i $ 支付现金流 $ C_i $、并在到期日 $ T $ 支付面值 $ F $ 的债券，在连续复利下的价格为：

$ P = \sum_{i=1}^N C_i e^{-r_i t_i} + F e^{-r_T T} $

到期收益率 (YTM)

到期收益率 ($ y $) 是使所有未来现金流的现值等于该债券观察到的市场价格 $ P $ 的单一折现率：

$ P = \sum_{i=1}^N C_i e^{-y t_i} + F e^{-y T} $

虽然到期收益率提供了一个方便的概括指标，但它假设收益率曲线是平坦的，且所有中间票息都可以按 $ y $ 进行再投资。相比之下，即期利率才反映了真正的市场折现情况。

4. 自举法构建零息利率 (Bootstrapping Zero Rates)

由于大多数长期债券都会定期支付票息，长期限的零息利率很少能被直接观察到。自举法 (Bootstrapping method) 利用货币市场利率和附息债券，通过反复迭代来确定零息利率曲线。

自举法的步骤

步骤 1： 直接从不支付票息的短期工具（如短期国库券）中获取零息利率。
步骤 2： 转问下一个期限最短的附息债券（例如每半年付息一次的 1 年期债券）。利用步骤 1 中已知的较短期限零息利率，对该债券较早的票息进行折现。
步骤 3： 求解对应于最终到期日的未知零息利率。
步骤 4： 对更长期限的债券依序重复此过程，利用所有先前求出的零息利率来折现较早的现金流。

5. 远期利率 (Forward Rates)

远期利率是由当前即期利率所隐含的、适用于未来某段期间借贷的利率。

连续复利公式

设 $ R_1 $ 为到期日 $ T_1 $ 的零息利率，$ R_2 $ 为到期日 $ T_2 $ 的零息利率（其中 $ T_2 > T_1 $）。在 $ T_1 $ 至 $ T_2 $ 期间的隐含远期利率 $ R_F $ 为：

$ R_F = \frac{R_2 T_2 - R_1 T_1}{T_2 - T_1} $

如果零息利率曲线向上倾斜（$ R_2 > R_1 $），则远期利率高于即期利率（$ R_F > R_2 $）。如果零息利率曲线出现反转/倒挂（$ R_2 < R_1 $），则远期利率低于即期利率。

6. 远期利率协议 (FRAs)

远期利率协议 (FRA) 是一种场外交易 (OTC) 合约，旨在锁定在未来 $ T_1 $ 至 $ T_2 $ 期间针对名义本金 $ L $ 所支付或收取的利率。

FRA 现金流机制

设 $ R_K $ 为约定的固定远期利率，$ R_M $ 为在时间 $ T_1 $ 观察到的参考市场利率（例如在该期间复利的 SOFR）。合约期限为 $ \tau = T_2 - T_1 $。

在到期日 $ T_2 $，借款人（即支付固定利率 $ R_K $ 并收取浮动利率 $ R_M $ 的一方）的现金回报为：

$ \text{Payoff at } T_2 = L \times (R_M - R_K) \times \tau $

在标准市场惯例中，FRA 在借贷期开始时（即时间 $ T_1 $）进行结算。为了反映即时付款，该回报会以当时的浮动利率 $ R_M $ 折现至 $ T_1 $：

$ \text{Cash Flow at } T_1 = \frac{L \times (R_M - R_K) \times \tau}{1 + R_M \times \tau} $

7. 久期与凸性 (Duration and Convexity)

当利率变动时，债券价格会朝相反方向变动。风险经理利用久期和凸性来量化这种价格敏感度。

麦考利久期 (Macaulay Duration)

麦考利久期 ($ D_{\text{mac}} $) 衡量收取债券各期现金流所需的加权平均时间，权重为每笔现金流的现值：

$ D_{\text{mac}} = \sum_{i=1}^n t_i \left[\frac{C_i (1 + y/m)^{-m t_i}}{P}\right] $

修正久期与美元久期

修正久期 ($ D_{\text{mod}} $) 直接将价格百分比变动与收益率变动联系起来：

$ D_{\text{mod}} = \frac{D_{\text{mac}}}{1 + \frac{y}{m}} $

注：在连续复利下，$ D_{\text{mod}} = D_{\text{mac}} $。

美元久期 (Dollar Duration)（当按 1 个基点的变动调整时也称为 DV01）衡量给定收益率变动下的绝对美元价格变动：

$ \text{Dollar Duration} = D_{\text{mod}} \times P $

凸性与综合价格变动近似计算

久期提供了一阶线性近似。由于不含期权的债券其价格-收益率关系是凸的（呈曲线状），因此久期会在收益率下降时低估价格的上涨幅度，并在收益率上升时高估价格的下跌幅度。

凸性 ($ C $) 反映了价格对收益率的二阶导数：

$ C = \frac{1}{P} \frac{d^2 P}{dy^2} $

结合久期和凸性，可得出债券价格变动的二阶泰勒展开式：

$ \frac{\Delta P}{P} \approx -D_{\text{mod}} \Delta y + \frac{1}{2} C (\Delta y)^2 $

或以总美元变动表示：
$ \Delta P \approx -D_{\text{mod}} P \Delta y + \frac{1}{2} C P (\Delta y)^2 $

8. 期限结构理论

利率期限结构（收益率曲线）描述了零息利率与到期期限之间的关系。主要有三种理论解释其形状：

1. 预期理论 (Expectations Theory)

主张长期收益率等于预期未来短期利率的几何平均值。在纯预期理论下，向上倾斜的曲线意味着市场预期未来短期利率将会上升。

2. 市场分割理论 (Market Segmentation Theory)

认为金融机构和借款人根据其负债结构而具有不同的期限偏好（例如，养老基金需要长期资产；商业银行偏好短期流动性）。各个期限的利率是由该特定市场区隔的供求关系独立决定的，期限之间不存在套利机会。

3. 流动性偏好理论 (Liquidity Preference Theory)

指出投资者更偏好短期流动性，并要求对将资金锁定在承受更大价格风险的较长期限工具中给予溢价。因此，远期利率高于预期的未来即期利率，两者差额即为流动性溢价，这解释了为什么即使对未来利率的预期保持不变，收益率曲线通常也是向上倾斜的。

参考资料

2026 FRM Exam Part I Learning Objectives — Global Association of Risk Professionals (GARP)
2026 FRM Candidate Guide — Global Association of Risk Professionals (GARP)

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金融市场中主要的无风险基准利率和常见利率类型有哪些？

主要包括国库券利率、担保隔夜融资利率（SOFR，取代了含信用风险的 LIBOR）以及通过证券抵押借贷产生的回购利率。

如何将每年计息 $ m $ 次的年名义利率 $ R_m $ 转换为等价的连续复利利率 $ R_c $？

转换公式为：$ R_c = m \ln\left(1 + \frac{R_m}{m}\right) $；反之则为：$ R_m = m \left(e^{R_c / m} - 1\right) $。

即期利率（零息利率）与到期收益率（YTM）在债券估值中有什么本质区别？

即期利率针对每一笔特定期限现金流分别使用对应的零息利率折现；而到期收益率是用单一内部收益率对所有现金流折现，假设收益率曲线平坦且再投资收益恒定。

什么是自举法 (Bootstrapping)，其构建零息利率曲线的基本逻辑是什么？

自举法是一种迭代方法，先由不付息的短期工具直接提取短期零息利率，再依次利用已知的较短期限利率对附息债券的早期票息折现，从而逐级求解最长期限的未知零息利率。

在连续复利下，已知期限 $ T_1 $ 的即期利率 $ R_1 $ 和期限 $ T_2 $ 的即期利率 $ R_2 $，隐含远期利率 $ R_F $ 的计算公式是什么？

$ R_F = \frac{R_2 T_2 - R_1 T_1}{T_2 - T_1} $

远期利率协议 (FRA) 在借贷开始时（时点 $ T_1 $）进行贴现结算的现金流计算公式是什么？

$ \text{Cash Flow at } T_1 = \frac{L \times (R_M - R_K) \times \tau}{1 + R_M \times \tau} $

麦考利久期与修正久期之间有什么数学关系和概念区别？

$ D_{\text{mod}} = \frac{D_{\text{mac}}}{1 + y/m} $；麦考利久期衡量收回现金流的加权平均时间（以年为单位），而修正久期衡量收益率变动时债券价格的百分比敏感度。

如何利用修正久期和凸性综合估算债券价格的百分比变动？

二阶泰勒展开近似公式为：$ \frac{\Delta P}{P} \approx -D_{\text{mod}} \Delta y + \frac{1}{2} C (\Delta y)^2 $

解释利率期限结构的三大主要理论（预期理论、市场分割理论、流动性偏好理论）的核心观点分别是什么？

预期理论认为长期利率等于未来短期利率的平均预期；市场分割理论认为各期限利率由其独立的资金供求决定；流动性偏好理论认为投资者需要流动性补偿，导致远期利率高于预期即期利率。

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1. 利率的不同类型

国库券利率 (Treasury Rates)

SOFR 与无风险基准利率

回购利率 (Repo Rates)

2. 复利频率与利率转换

转换公式

3. 债券估值：即期利率与到期收益率

利用即期利率为债券估值

到期收益率 (YTM)

4. 自举法构建零息利率 (Bootstrapping Zero Rates)

自举法的步骤

5. 远期利率 (Forward Rates)

连续复利公式

6. 远期利率协议 (FRAs)

FRA 现金流机制

7. 久期与凸性 (Duration and Convexity)

麦考利久期 (Macaulay Duration)

修正久期与美元久期

凸性与综合价格变动近似计算

8. 期限结构理论

1. 预期理论 (Expectations Theory)

2. 市场分割理论 (Market Segmentation Theory)

3. 流动性偏好理论 (Liquidity Preference Theory)

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