欢迎来到生存模型的世界！

你好！欢迎来到你 CS2 之旅中最基础的章节之一。在本章中，我们将学习如何为“事件”发生的时间进行建模。在精算学中，我们通常关注人类的生死，但这些原理同样适用于机器零件损坏、贷款违约或理赔进展 (claims run-off)。不用担心数学看起来很深奥——我们会一步步把它拆解！

未来寿命随机变量

考虑一个今天刚好 x 岁的人。由于未来寿命是未知的，我们用一个连续随机变量来表示其剩余寿命，记为 \( T_x \)。

• \( T_x \) 是一个 \( x \) 岁的人的未来寿命。例如，如果一个 30 岁的人活到 75 岁去世，那么 \( T_{30} = 45 \)。
• 去世时的年龄为随机变量 \( X = x + T_x \)。

一致性条件

一个 \( x \) 岁的人能活到 \( x + t + s \) 岁，当且仅当他们首先存活到 \( x + t \) 岁，然后从 \( x + t \) 岁起再多活 \( s \) 年。这引出了联系不同年龄寿命随机变量的基本一致性条件 (consistency condition)：
\( P(T_x > t + s) = P(T_x > t) \cdot P(T_x > t + s \mid T_x > t) = P(T_x > t) \cdot P(T_{x+t} > s) \)
在精算符号中，这可以简洁地表示为：
\( {}_{t+s}p_x = {}_tp_x \cdot {}_sp_{x+t} \)

生存函数、分布函数与密度函数

精算数学使用专门的符号来描述 \( T_x \) 的分布：

1. 生存函数：\( S_x(t) \) 或 \( {}_tp_x \)

生存函数给出了一个 \( x \) 岁的人至少再多活 \( t \) 年的概率：
\( {}_tp_x = S_x(t) = P(T_x > t) \)
• 在 \( t = 0 \) 时，\( {}_0p_x = 1 \)。
• 当 \( t \to \infty \) 时，\( {}_tp_x \to 0 \)。
• 当 \( t = 1 \) 时，我们通常记作 \( p_x \) 而非 \( {}_1p_x \)。

2. 累积分布函数：\( F_x(t) \) 或 \( {}_tq_x \)

这是生存的补数——即一个 \( x \) 岁的人在 \( t \) 年内去世的概率：
\( {}_tq_x = F_x(t) = P(T_x \le t) = 1 - {}_tp_x \)
当 \( t = 1 \) 时，我们写作 \( q_x \)。

3. 概率密度函数：\( f_x(t) \)

对分布函数求导可得出未来寿命的概率密度函数 (PDF)：
\( f_x(t) = \frac{d}{dt} F_x(t) = -\frac{d}{dt} {}_tp_x \)

死亡力（危险率）：\( \mu_{x+t} \)

在年龄 \( x + t \) 的死亡力 (Force of Mortality)，记为 \( \mu_{x+t} \)，是活到该年龄的人的瞬时死亡率：
\( \mu_{x+t} = \lim_{dt \to 0^+} \frac{P(t < T_x \le t + dt \mid T_x > t)}{dt} = \frac{f_x(t)}{{}_tp_x} = -\frac{1}{{}_tp_x}\frac{d}{dt} {}_tp_x = -\frac{d}{dt} \ln({}_tp_x) \)

将两边从 \( 0 \) 到 \( t \) 进行积分，可得出基本关系式：
\( {}_tp_x = \exp\left( -\int_0^t \mu_{x+s}\,ds \right) \)

概率与密度的积分公式

从这些关系中，我们可以得出经常在考试中测验的关键积分表达式：
• 密度函数：\( f_x(t) = {}_tp_x \mu_{x+t} \)
• 死亡概率：\( {}_tq_x = \int_0^t f_x(s)\,ds = \int_0^t {}_sp_x \mu_{x+s}\,ds \)
• 在年龄 \( x + t \) 与 \( x + t + u \) 之间死亡的概率：\( {}_{t|u}q_x = {}_tp_x - {}_{t+u}p_x = \int_t^{t+u} {}_sp_x \mu_{x+s}\,ds \)

著名死亡律

在标准计算生命表普及之前，精算师设计了参数模型来描述死亡力随年龄的变化。课程大纲要求你掌握两种经典定律：

• 高珀茨定律 (Gompertz Law)： 假设死亡力由于衰老随年龄呈指数增长：
\( \mu_x = B c^x \quad (B > 0, c > 1) \)
• 麦克汉姆定律 (Makeham Law)： 增加了一个与年龄无关的基准风险，代表意外死亡：
\( \mu_x = A + B c^x \quad (A \ge -B, B > 0, c > 1) \)

截尾未来寿命：\( K_x \)

在人寿保险和养老金计划中，保险金和保费通常是按年支付的。因此，精算师定义了截尾未来寿命 (curtate future lifetime) \( K_x \)，作为一个 \( x \) 岁的人在去世前度过的完整年数：
\( K_x = \lfloor T_x \rfloor \)
与 \( T_x \) 不同，\( K_x \) 是一个离散 (Discrete) 随机变量，取非负整数值 \( k \in \{0, 1, 2, \dots\} \)。

\( K_x \) 的概率函数

一个 \( x \) 岁的人刚好度过 \( k \) 个完整年岁并在第 \( (k+1) \) 年内去世的概率为：
\( P(K_x = k) = P(k \le T_x < k + 1) = {}_kp_x - {}_{k+1}p_x = {}_kp_x \cdot q_{x+k} = {}_k|q_x \)

未来寿命的期望值与方差

1. 完全预期寿命：\( \mathring{e}_x \)

完全预期寿命 (Complete Expectation of Life) 是连续未来寿命 \( T_x \) 的期望值：
\( \mathring{e}_x = E[T_x] = \int_0^\infty t f_x(t)\,dt = \int_0^\infty {}_tp_x\,dt \)
二阶矩 (Second moment) 为：
\( E[T_x^2] = \int_0^\infty t^2 f_x(t)\,dt = 2 \int_0^\infty t\,{}_tp_x\,dt \)
方差通过 \( \text{Var}(T_x) = E[T_x^2] - (\mathring{e}_x)^2 \) 计算得出。

2. 截尾预期寿命：\( e_x \)

截尾预期寿命 (Curtate Expectation of Life) 是 \( K_x \) 的期望值：
\( e_x = E[K_x] = \sum_{k=0}^\infty k P(K_x = k) = \sum_{k=1}^\infty {}_kp_x \)
二阶矩为：
\( E[K_x^2] = \sum_{k=1}^\infty k^2 P(K_x = k) = \sum_{k=1}^\infty (2k - 1)\,{}_kp_x \)
方差为 \( \text{Var}(K_x) = E[K_x^2] - (e_x)^2 \)。

3. \( \mathring{e}_x \) 与 \( e_x \) 之间的关系

假设在每个年龄区间内死亡均匀分布 (UDD)，死亡平均发生在该年龄的中点，从而得出标准近似公式：
\( \mathring{e}_x \approx e_x + \frac{1}{2} \)

双状态单减损模型 vs. 随机寿命模型

生存模型可以通过两种不同的数学方式进行概念化：

• 随机寿命模型 (Random Lifetime Model)： 将生存表述为死亡前的时间 \( T_x \)，作为 \( [0, \infty) \) 上的连续随机变量，由其生存函数 \( S_x(t) \) 或危险函数 \( \mu_{x+t} \) 来刻画。
• 双状态马尔可夫模型 (Two-State Markov Model)： 将该过程表述为连续时间马尔可夫过程 \( \{Y_t\}_{t \ge 0} \)，状态空间为 \( S = \{\text{Alive}, \text{Dead}\} \)，其中“死亡 (Dead)”状态为吸收状态，在年龄 \( x + t \) 从“存活 (Alive)”转移到“死亡”的转移强度为 \( \mu_{x+t} \)。

比较： 两种表述方式会产生相同的生存和死亡概率：\( P(Y_t = \text{Alive} \mid Y_0 = \text{Alive}) = {}_tp_x = \exp\left(-\int_0^t \mu_{x+s}\,ds\right) \)。然而，双状态马尔可夫框架很容易扩展到多状态模型（例如健康–患病–死亡、残疾或重大疾病）和多重减损 (multiple decrements)，而随机寿命模型则直接侧重于单一减损中持续时间的分布。