欢迎来到联合人寿保单价值（Policy Values for Joint Lives）！

在之前的学习中，你已经掌握了如何计算单人保单的保单价值（责任准备金）。在精算实务中，保险与退休方案往往涵盖一对被保险人——例如夫妻或商业伙伴。在本章中，我们将探讨如何运用经典状态符号以及多状态模型（Multiple State Model）架构，来厘定与管理联合人寿的保险及年金之保单价值。

1. 联合保单评估的核心原则

与单人寿险一样，时间 \(t\) 的前瞻性保单价值（记作 \(_tV\)）代表未来给付与费用的预期现值，减去未来总保费或纯保费的预期现值：

保单价值 = PVFB + PVFE – PVFP

对于联合被保险人 \((x)\) 与 \((y)\)，现金流取决于两人的状态失效与存活情况：

• 联合生存状态（Joint Life Status, \(xy\)）： 当 \(x\) 或 \(y\) 首次死亡时状态即终止。
• 最后生存者状态（Last Survivor Status, \(\overline{xy}\)）： 当第二次（最后一人）死亡时状态才终止。

2. 联合人寿保险 (\(xy\)) 的保单价值

对于一份在首次死亡时给付保险金额、并在两人均存活时缴付年缴纯平准保费 \(P_{xy}\) 的全离散联合人寿保险：

\(_tV_{xy} = A_{x+t:y+t} - P_{xy} \cdot \ddot{a}_{x+t:y+t}\)

其中 \(P_{xy} = \frac{A_{xy}}{\ddot{a}_{xy}}\)。若任一方在时间 \(t\) 之前或当刻死亡，合同即告终止，保单价值变为 0。

3. 最后生存者保险 (\(\overline{xy}\)) 的保单价值

最后生存者保单仅在第二次死亡发生时才给付保险金。厘定保单价值直接取决于时间 \(t\) 时谁仍然存活：

• 当两人均存活时（状态 0）： 若年缴保费 \(P_{\overline{xy}}\) 在至少一人存活时持续缴付，则准备金为 \(_tV^{(0)} = A_{\overline{x+t:y+t}} - P_{\overline{xy}} \cdot \ddot{a}_{\overline{x+t:y+t}}\)。
• 在 \(y\) 死亡后（状态 1）： 合同仅就 \(x\) 单独继续有效。前瞻性准备金变为 \(_tV^{(1)} = A_{x+t} - P \cdot \ddot{a}_{x+t}\)（依据首度死亡后适用的保费规则计算）。
• 在 \(x\) 死亡后（状态 2）： 前瞻性准备金变为 \(_tV^{(2)} = A_{y+t} - P \cdot \ddot{a}_{y+t}\)。

关于线性恒等式的重要注意事项： 虽然给付的预期现值满足 \(A_{\overline{xy}} = A_x + A_y - A_{xy}\)，但对于仍在缴费的保单，保单价值一般并不满足 \(_tV_{\overline{xy}} = \ _tV_x + \ _tV_y - \ _tV_{xy}\)，这是因为根据等价原则厘定的保费 \(P_{\overline{xy}} \neq P_x + P_y - P_{xy}\)。

4. 联合年金与回归年金的保单价值

评估联合年金的价值需要追踪以状态存续为条件的给付：

• 联合生存年金： 只要两人均存活，便在每年年初给付 1。在期数 \(t\) 的前瞻性保单价值（对趸缴保费合同而言）简化为 \(_tV = \ddot{a}_{x+t:y+t}\)。
• 最后生存者年金： 只要至少有一人存活，便给付 1。当两双都存活时，\(_tV^{(0)} = \ddot{a}_{\overline{x+t:y+t}} = \ddot{a}_{x+t} + \ddot{a}_{y+t} - \ddot{a}_{x+t:y+t}\)。在 \(y\) 死亡后，准备金随即降至单人寿险年金准备金 \(_tV^{(1)} = \ddot{a}_{x+t}\)。
• 回归年金（Reversionary Annuity）： 在 \(y\) 死亡后向 \(x\) 给付年金，前提是 \(x\) 比 \(y\) 更长寿。当两名被保险人均存活时，未来给付的预期现值为 \(a_{x+t|y+t} = \ddot{a}_{x+t} - \ddot{a}_{x+t:y+t}\)。若由两人生存期间缴付的平准保费 \(P\) 出资，在期数 \(t\) 的前瞻性准备金为 \(_tV^{(0)} = (\ddot{a}_{x+t} - \ddot{a}_{x+t:y+t}) - P \cdot \ddot{a}_{x+t:y+t}\)。当 \(y\) 死亡时，保费停止缴付，准备金会经历一次跳跃，上升至全额单人年金价值：\(_tV^{(1)} = \ddot{a}_{x+t}\)。

5. 多状态模型架构

联合人寿合同可以通过四状态的连续时间或离散时间马尔可夫模型进行系统化建模：

• 状态 0： \(x\) 与 \(y\) 均存活。
• 状态 1： \(x\) 存活，\(y\) 已死亡。
• 状态 2： \(y\) 存活，\(x\) 已死亡。
• 状态 3： \(x\) 与 \(y\) 均已死亡。

在此架构下，\(_tV^{(i)}\) 代表在保单处于状态 \(i\) 的条件下，时间 \(t\) 的保单价值。

6. 递归与 Thiele 微分方程

离散时间递归：

对于在时间 \(t\) 处于状态 0 的保单，若年缴保费 \(P_t\) 于年初收取，且转移给付 \(S_{t+1}^{(0j)}\) 于年末支付：

\((_tV^{(0)} + P_t)(1+i) = p_{x+t:y+t}^{00} \cdot \ _{t+1}V^{(0)} + \sum_{j=1}^{3} p_{x+t:y+t}^{0j} \left( S_{t+1}^{(0j)} + \ _{t+1}V^{(j)} \right)\)

其中 \(_{t+1}V^{(3)} = 0\)，因为最终被吸收到状态 3 后不再有未来的给付。

连续时间 Thiele 微分方程：

在连续时间下，设 \(\delta\) 为利息力，\(P_t^{(0)}\) 为保费现金流入率，\(B_t^{(0)}\) 为状态 0 下的连续年金给付率，\(S_t^{(0j)}\) 为从 0 转移至 \(j\) 时支付的趸缴保险金，而 \(\mu_{x+t:y+t}^{0j}\) 为转移强度。状态 0 的 Thiele 方程为：

\(\frac{d}{dt} \ _tV^{(0)} = \delta \cdot \ _tV^{(0)} + P_t^{(0)} - B_t^{(0)} - \sum_{j \neq 0} \mu_{x+t:y+t}^{0j} \left( S_t^{(0j)} + \ _tV^{(j)} - \ _tV^{(0)} \right)\)

其中项数 \(\left( S_t^{(0j)} + \ _tV^{(j)} - \ _tV^{(0)} \right)\) 为与转移 \(0 \to j\) 相关的净危险保额（Net Amount at Risk）。

7. 总结与关键要点

• 联合生存（\(xy\)）： 现金流于首次死亡时终止；准备金反映联合生存概率 \(_k p_{xy}\)。
• 最后生存者（\(\overline{xy}\)）： 现金流持续至第二次死亡；必须跨越不同状态（两人生存 vs. 一人生存）分别追踪准备金。
• 年金准备金： 回归年金在主要被保险人死亡时，保单价值会出现大幅跳跃，从 \(_tV^{(0)}\) 转变为未经扣减的单人寿险准备金 \(_tV^{(1)} = \ddot{a}_{x+t}\)。
• 评估工具： 离散时间保单价值通过马尔可夫转移递归推展，而连续时间保单价值则依循 Thiele 微分方程。