Convolution and recursive formulas for aggregate claims

欢迎来到总赔款（Aggregate Claims）的世界！

你好！既然你已经修读到 Exam ASTAM，你一定已经知道，保险公司关心的不仅仅是单一的一笔赔款——他们更在乎在一段时间内必须赔付的总金额。这笔总金额称为总赔款（Aggregate Claim），通常记作 \(S\)。

在本章中，我们将学习如何计算 \(S\) 的概率分布。为什么这很重要？因为如果精算师无法预测总赔款超过特定金额的可能性，公司可能就没有足够的资金来支付赔款！我们将专注于两个主要的“工具包”：卷积（Convolution）（适用于赔款次数为固定时）以及递归公式（Recursive Formulas）（Panjer 递归及其在 \((a, b, 0)\) 和 \((a, b, 1)\) 类别的推广，适用于赔款次数为随机变量时）。

如果一开始觉得数学部分看起来很吃力，别担心。我们会把它拆解成容易消化的小部分！

1. 基本构建：什么是 \(S\)？

在深入公式之前，让我们回顾一下核心的集体风险模型（collective risk model）：

\(S = X_1 + X_2 + \dots + X_N\)

其中：
• \(N\) 是频率（Frequency）（赔款次数）。
• \(X_i\) 是严重程度（Severity）（第 \(i\) 笔赔款的金额）。
• \(S\) 是总损失（Aggregate Loss）（赔付出的总金额“堆”，当 \(N = 0\) 时，\(S = 0\)）。

在本章中，我们假设所有的 \(X_i\) 都是独立同分布（i.i.d.）的非负随机变量，并且与 \(N\) 也是相互独立的。

2. 卷积法（Convolution Method）

想象一下，你确定发生了刚好 2 笔赔款（\(N=2\)）。要找出总成本为 100 元的概率，你必须检查所有两个非负数字加起来等于 100 的组合（例如：20+80、50+50、0+100）。

卷积其实就是将独立随机变量的所有组合加总的正式数学方法。

运作方式：

如果我们定义 \(f_X(x)\) 为离散严重程度 \(X\) 的概率质量函数（pmf），那么 \(n\) 笔赔款总和的 pmf（记为 \(n\) 阶卷积 \(f_X^{*n}(s)\)）计算如下：

\(f_X^{*n}(s) = \sum_{x=0}^{s} f_X(x) \cdot f_X^{*(n-1)}(s-x)\)

逐步拆解：

1. 从 \(n=0\) 和 \(n=1\) 开始： 根据定义，\(f_X^{*0}(0) = 1\)（其余为 0），而 \(f_X^{*1}(s) = f_X(s)\)。
2. 进入 \(n=2\)： 计算二阶卷积：\(f_X^{*2}(s) = \sum_{x=0}^{s} f_X(x) f_X(s-x)\)。
3. 持续进行： 对于 \(n=3\)，将 \(f_X(x)\) 与 \(f_X^{*2}\) 的结果进行卷积。
4. 总和分布： 若 \(N\) 是随机的，则整体的 pmf 为 \(f_S(s) = \sum_{n=0}^{\infty} p_n f_X^{*n}(s)\)，累积分布函数（cdf）为 \(F_S(s) = \sum_{n=0}^{\infty} p_n F_X^{*n}(s)\)。

重点总结： 卷积在概念上非常直接，但若要在复合模型中对无界的 \(N\) 进行计算，需要累加无限个卷积——这在手算上是完全不切实际的。

3. Panjer 递归公式：\((a, b, 0)\) 类别

为免去计算无穷无尽的卷积，Harry Panjer 提出了一种当频率 \(N\) 属于 \((a, b, 0)\) 类别时的精确递归关系。

\((a, b, 0)\) 关系式

回想一下，对于 \((a, b, 0)\) 家族中的分布，其概率满足：
\(p_k = \left(a + \frac{b}{k}\right) p_{k-1}, \quad k = 1, 2, 3, \dots\)

三个成员分布为：
• Poisson(\(\lambda\))： \(a = 0\)，\(b = \lambda\)，\(p_0 = e^{-\lambda}\)
• 二项分布 Binomial(\(m, q\))： \(a = -\frac{q}{1-q} < 0\)，\(b = \frac{(m+1)q}{1-q}\)，\(p_0 = (1-q)^m\)
• 负二项分布 Negative Binomial(\(r, \beta\))： \(a = \frac{\beta}{1+\beta} > 0\)，\(b = \frac{(r-1)\beta}{1+\beta}\)，\(p_0 = (1+\beta)^{-r}\)

\((a, b, 0)\) 递归公式

对于定义在非负整数 \(x = 0, 1, 2, \dots\) 上的离散严重程度分布 pmf \(f_X(x)\)，总赔款 pmf \(f_S(s)\) 满足：

\(f_S(s) = \frac{1}{1 - a f_X(0)} \sum_{x=1}^{s} \left(a + \frac{b x}{s}\right) f_X(x) f_S(s-x), \quad s = 1, 2, 3, \dots\)

起始值：\(f_S(0)\)

为了初始化递归，我们需要 \(f_S(0) = P(S = 0)\)。当没有赔款发生，或所有发生的赔款金额恰好都是零时，总赔款等于零：
\(f_S(0) = P_N(f_X(0))\)

其中 \(P_N(z) = E[z^N]\) 是 \(N\) 的概率生成函数（pgf）。
如果 \(f_X(0) = 0\)（赔款金额严格为正），这会漂亮地简化为 \(f_S(0) = P_N(0) = p_0\)，而且前面的系数项 \(\frac{1}{1 - a f_X(0)}\) 会变成 1。

4. 拓展递归公式：\((a, b, 1)\) 类别

在 Exam ASTAM 中，总损失模型经常涉及零截断（zero-truncated）或零修正（zero-modified）的频率分布。这些构成了 \((a, b, 1)\) 类别，其递归关系从 \(k = 2\) 开始：

\(p_k = \left(a + \frac{b}{k}\right) p_{k-1}, \quad k = 2, 3, 4, \dots\)

因为该关系在从 \(k=0\) 到 \(k=1\) 时并不成立，所以在 \(x=s\) 的步骤会出现一个调整项。

\((a, b, 1)\) 递归公式

当频率 \(N\) 属于 \((a, b, 1)\) 类别且离散严重程度定义于 \(x = 0, 1, 2, \dots\) 时，对 \(s = 1, 2, 3, \dots\) 的递归公式为：

\(f_S(s) = \frac{\left[p_1 - (a + b) p_0\right] f_X(s) + \sum_{x=1}^{s} \left(a + \frac{b x}{s}\right) f_X(x) f_S(s-x)}{1 - a f_X(0)}\)

注意其关联性： 当 \(N\) 属于 \((a, b, 0)\) 类别时，\(p_1 = (a + b) p_0\)，因此括号中的项 \(\left[p_1 - (a+b)p_0\right]\) 会归零，完美符合原本的 Panjer 公式！

\((a, b, 1)\) 的起始值：

同前所述，\(f_S(0) = P_N(f_X(0))\)。若 \(f_X(0) = 0\)，则 \(f_S(0) = p_0\)。对于零截断分布，\(p_0 = 0\)，因此 \(f_S(0) = 0\)。

推导分布函数 \(F_S(s)\)

一旦你计算出 \(f_S(0), f_S(1), \dots, f_S(s)\)，只要累加这些概率，便能轻易求得累积分布函数：
\(F_S(s) = \sum_{y=0}^{s} f_S(y)\)

5. 逐步递归过程与连续型严重程度

如何在考试中应用递归：

1. 判断频率类别： 确定 \(N\) 属于 \((a, b, 0)\) 还是 \((a, b, 1)\)，并找出 \(a\)、\(b\)、\(p_0\) 以及 \(p_1\)。
2. 求 \(f_S(0)\)： 计算 \(P_N(f_X(0))\)。
3. 计算 \(f_S(1)\)： 带入 \(s=1\) 套用公式（会用到 \(f_S(0)\)）。
4. 计算 \(f_S(2), f_S(3), \dots\)： 每个步骤都会用到之前算出的 \(f_S(s-x)\) 值。
5. 累加 \(F_S(s)\)： 若题目要求累积概率 \(P(S \le s)\) 或超额损失保费（stop-loss premium），则将计算出的数值相加。

如果严重程度是连续型该怎么办？

递归公式需要离散的严重程度分布。当实际的严重程度为连续型时，我们首先使用步长 \(h\) 将其离散化为网格，可采用以下方法：
• 舍入法（Method of Rounding）： 根据网格点周围的区间将概率质量分配给网格点 \(jh\)：对于 \(j \ge 1\)，\(f_j = F_X(jh + h/2) - F_X(jh - h/2)\)，而 \(f_0 = F_X(h/2)\)。
• 局部矩匹配法（Method of Local Moment Matching）： 在子区间内匹配各阶矩，以保留局部的平均值及／或方差。

6. 快速回顾与考试陷阱

注意指标范围： 在两种 Panjer 公式中，总和都是从 \(x=1\) 到 \(s\)，绝对不是从 \(x=0\) 开始。\(x=0\) 的部分已经由分母 \(1 - a f_X(0)\) 处理了。
权重项： 总和内部的权重始终是 \(\left(a + \frac{b x}{s}\right)\)。请注意，\(x\) 是当前的严重程度指标，而 \(s\) 是总损失指标。
零修正 vs. 零截断： 对于 \((a, b, 1)\) 模型，千万不要忘记额外的 \(\left[p_1 - (a+b)p_0\right] f_X(s)\) 项。如果频率是零截断分布，则 \(p_0 = 0\)，该项简化为 \(p_1 f_X(s)\)。