欢迎来到经验贝叶斯估计 (Empirical Bayesian Estimation)！

在经典贝叶斯可信度理论中，我们会同时指定给定风险参数 \(\Theta\) 下风险的条件分布，以及 \(\Theta\) 的先验分布。然而在现实世界中，我们几乎不可能知道 \(\Theta\) 的先验分布。这就是经验贝叶斯估计派上用场的时候：我们不去预设先验分布，而是直接从跨多个风险的历史数据中，估计出结构参数——整体均值 \(\mu\)、过程方差的期望值 (EPV) \(v\)，以及假设均值的方差 (VHM) \(a\)。

根据对分布所作假设的程度，该方法主要分为两种情况：

- 无参数估计 (Nonparametric estimation)：无论是对条件损失分布还是先验参数分布，都不作任何参数分布假设。估计完全依赖样本矩和方差。

- 半参数估计 (Semiparametric estimation)：对给定 \(\Theta\) 下的损失假设了一个参数条件分布（例如泊松分布或指数分布），从而在条件均值与条件方差之间建立了函数关系。然而，对于 \(\Theta\) 则不作任何分布假设。

1. 无参数情况

在无参数情境下，我们假设手头有 \(k\) 个风险的数据。我们考虑两种标准模型：样本数相等以及风险敞口不相等。

模型 1：样本数相等（Bühlmann 模型）

假设这 \(k\) 位投保人中每一位都观察了 \(n\) 个时期，其中 \(X_{ij}\) 为风险 \(i\) 在时期 \(j\) 的观察理赔额。

步骤 1：个别风险均值
\(\bar{X}_i = \frac{1}{n} \sum_{j=1}^{n} X_{ij}\)

步骤 2：总体均值 (\(\hat{\mu}\))
\(\hat{\mu} = \bar{X} = \frac{1}{k} \sum_{i=1}^{k} \bar{X}_i\)

步骤 3：过程方差的期望值 (\(\hat{v}\))
我们取所有 \(k\) 位投保人无偏样本方差的平均值：
\(\hat{v} = \frac{1}{k(n - 1)} \sum_{i=1}^{k} \sum_{j=1}^{n} (X_{ij} - \bar{X}_i)^2\)

步骤 4：假设均值的方差 (\(\hat{a}\))
各 \(\bar{X}_i\) 的样本方差估计的是 \(Var(\bar{X}_i) = a + \frac{v}{n}\)。因此，我们通过减去估计的过程方差成分，来获得 \(a\) 的无偏估计量：
\(\hat{a} = \frac{1}{k - 1} \sum_{i=1}^{k} (\bar{X}_i - \bar{X})^2 - \frac{\hat{v}}{n}\)

模型 2：风险敞口不相等（Bühlmann-Straub 无参数模型）

当各风险在时期 \(j = 1, \dots, n_i\) 具有不同的风险敞口 \(m_{ij}\) 时，令 \(m_i = \sum_{j=1}^{n_i} m_{ij}\) 且 \(m = \sum_{i=1}^{k} m_i\)。风险均值为 \(\bar{X}_i = \frac{1}{m_i} \sum_{j=1}^{n_i} m_{ij} X_{ij}\)，而总体均值为 \(\bar{X} = \frac{1}{m} \sum_{i=1}^{k} m_i \bar{X}_i\)。

估计 \(v\)：
\(\hat{v} = \frac{1}{\sum_{i=1}^{k} (n_i - 1)} \sum_{i=1}^{k} \sum_{j=1}^{n_i} m_{ij} (X_{ij} - \bar{X}_i)^2\)

估计 \(a\)：
\(\hat{a} = \frac{\sum_{i=1}^{k} m_i (\bar{X}_i - \bar{X})^2 - (k - 1)\hat{v}}{m - \frac{1}{m} \sum_{i=1}^{k} m_i^2}\)

2. 半参数情况

在半参数经验贝叶斯估计中，我们指定了条件分布 \(X_{ij} | \Theta_i\) 的形式，但保留 \(\Theta\) 的先验分布不作指定。由于条件模型确定了条件均值 \(\mu(\Theta)\) 与条件方差 \(v(\Theta)\) 之间的数学关系，因此我们直接利用这种结构性关联来估计 \(v\)，而不需要使用纯粹的样本方差。

泊松频率模型

最常见的半参数模型出现在理赔次数 \(N_{ij}\) 给定 \(\Theta_i\) 下服从均值为 \(m_{ij} \lambda(\Theta_i)\) 的泊松分布。定义 \(X_{ij} = \frac{N_{ij}}{m_{ij}}\) 为每单位风险敞口的理赔率。

对于泊松变量，条件方差等于条件均值：
\(E[X_{ij} | \Theta_i] = \mu(\Theta_i) = \lambda(\Theta_i)\)
\(Var(X_{ij} | \Theta_i) = \frac{\lambda(\Theta_i)}{m_{ij}} = \frac{\mu(\Theta_i)}{m_{ij}}\)

因此，过程方差参数为 \(v(\Theta_i) = \mu(\Theta_i)\)，这意味着：
\(v = E[v(\Theta)] = E[\mu(\Theta)] = \mu\)

泊松半参数模型的参数估计：
1. 整体均值：\(\hat{\mu} = \bar{X} = \frac{1}{m} \sum_{i=1}^{k} \sum_{j=1}^{n_i} m_{ij} X_{ij} = \frac{\text{总理赔数}}{\text{总风险敞口}}\)
2. 过程方差：由于 \(v = \mu\)，我们的估计量直接就是：
\(\hat{v} = \hat{\mu}\)
3. 假设均值的方差：我们将 \(\hat{v} = \hat{\mu}\) 代入 Bühlmann-Straub 的分子中：
\(\hat{a} = \frac{\sum_{i=1}^{k} m_i (\bar{X}_i - \bar{X})^2 - (k - 1)\hat{\mu}}{m - \frac{1}{m} \sum_{i=1}^{k} m_i^2}\)

风险敞口相等时的注记：当 \(n_i = n\) 且 \(m_{ij} = 1\) 时，这简化为 \(\hat{v} = \hat{\mu} = \bar{X}\) 以及 \(\hat{a} = \frac{1}{k - 1} \sum_{i=1}^{k} (\bar{X}_i - \bar{X})^2 - \frac{\hat{\mu}}{n}\)。

3. \(\hat{a}\) 的截断规则

由于 \(\hat{a}\) 是通过从观察到的组间变异中减去估计的过程方差成分来估计的，因此样本数据计算出来有可能会出现 \(\hat{a} < 0\)。

由于假设均值的方差不可能是负数，我们使用修正后的估计量：
\(\hat{a}^* = \max(0, \hat{a})\)

当 \(\hat{a} \le 0\) 时，我们设 \(\hat{a}^* = 0\)。这意味着个别经验所展现的变异，并没有超出纯粹由随机巧合（过程方差）所预期的程度，从而导致可信度因子为 \(Z = 0\)，并将 100% 的权重分配给整体均值 \(\hat{\mu}\)。

无参数与半参数估计之总结

1. 无参数：不假设任何条件分布。\(\hat{v}\) 是利用各风险在不同观察期内的样本方差来估计的。
2. 半参数：假设了条件分布（例如泊松分布，其中 \(v = \mu\)）。我们不需要各时期的样本方差来估计 \(v\)；我们直接使用 \(\hat{v} = \hat{\mu}\)。
3. 可信度计算：一旦估计出 \(\hat{\mu}\)、\(\hat{v}\) 和 \(\hat{a}\)，风险 \(i\) 的可信度保费即可使用标准公式计算：\(P_i = Z_i \bar{X}_i + (1 - Z_i)\hat{\mu}\)，其中 \(Z_i = \frac{m_i}{m_i + \hat{v}/\hat{a}}\)（或在风险敞口相等时为 \(Z = \frac{n}{n + \hat{v}/\hat{a}}\)）。