欢迎来到额外风险建模的世界！

你好！当你深入探索长期保险的世界时，你会很快发现并非每个人都符合“标准”模型。有些人抽烟，有些人患有慢性疾病，而有些人可能从事高风险职业或拥有高风险爱好，例如商业潜水或飞行。在精算术语中，我们称这些为次标准风险 (substandard risks)。

在本章中，我们将学习如何调整死亡率模型，以在定价和保单价值计算中反映这些额外风险。SOA FAM 课程大纲在学习目标 10(e) 下特别考核三种额外风险建模方法：

• 年龄评级 (Age rating)
• 死亡力常数增加 (Constant addition to the force of mortality)
• 死亡率常数倍数 (Constant multiple of the rate of mortality)

让我们来看看每种方法如何运作，以及它们如何影响净保费和保单价值。


为什么我们需要调整死亡率？

标准生命表反映了标准、健康的人群的预期死亡率。如果保险公司对次标准生命采用标准费率，保险给付将会被低估 (underpriced)，导致合同出现预期亏损。为防止这种情况，精算师会调整死亡率假设，以计算出适当较高的毛保费或净保费，并厘定合适的保单价值。


方法 1：年龄评级

年龄评级 (Age rating)（通常称为“增加年龄”）是处理额外风险最古老且最简单的实用方法之一。在这种方法下，一名年龄为 \(x\) 的申请人在进行所有精算计算时，都会被视为年龄为 \(x + h\)，其中 \(h > 0\) 代表增加的评级年数。

运作方式

如果一名年龄为 \(x\) 的申请人获得 \(h\) 年的年龄评级，则每个标准精算函数都会在年龄 \(x + h\) 处进行评估：

• 调整后的 1 年期死亡率： \(q_x^* = q_{x+h}\)
• 调整后的 \(t\) 年期生存概率： \({}_tp_x^* = {}_tp_{x+h}\)
• 调整后的终身寿险精算现值 (APV)： \(A_x^* = A_{x+h}\)
• 调整后的生存年金精算现值 (APV)： \(\ddot{a}_x^* = \ddot{a}_{x+h}\)
• 调整后的年缴净保费： \(P_x^* = P_{x+h} = \frac{A_{x+h}}{\ddot{a}_{x+h}}\)

比喻

把它想象成检查一辆二手车：一辆车龄 4 年的汽车，如果在恶劣条件下行驶了 15 万英里，其损耗程度可能相当于一辆车龄 8 年的车辆。年龄评级将受保生命视为拥有一个大于其生理年龄的“精算年龄”。


方法 2：死亡力常数增加

有时，额外危险最好被表示为一种独立、恒定的死亡危险，并在时间上连续起作用（例如持续的危险爱好或环境暴露）。这是通过在标准死亡力 (force of mortality) 上增加一个常数 \(\phi > 0\) 来建模的。

调整后的死亡力与生存函数

调整后的死亡力 \(\mu_{x+t}^*\) 定义为：
\(\mu_{x+t}^* = \mu_{x+t} + \phi\)

由于生存概率是死亡力积分的指数形式：
\({}_tp_x^* = \exp\left( -\int_0^t (\mu_{x+s} + \phi)\,ds \right) = \exp\left(-\int_0^t \mu_{x+s}\,ds\right) \cdot e^{-\phi t} = {}_tp_x \cdot e^{-\phi t}\)

现值计算的考试提示

请注意，因子 \(e^{-\phi t}\) 在数学上的作用就像增加了利息力！在连续假设下：
\(\bar{A}_x^* = \int_0^\infty e^{-\delta t} {}_tp_x^* \mu_{x+t}^*\,dt\)
类似地，对于连续终身年金：
\(\bar{a}_x^* = \int_0^\infty e^{-\delta t} {}_tp_x^*\,dt = \int_0^\infty e^{-(\delta + \phi) t} {}_tp_x\,dt = \bar{a}_x^{(\delta + \phi)}\)
其中 \(\bar{a}_x^{(\delta + \phi)}\) 是在调整后的利息力 \(\delta^* = \delta + \phi\) 下评估的。


方法 3：死亡率常数倍数

在这种方法中，标准离散 1 年期死亡率 \(q_{x+t}\) 乘以一个常数因子 \(m > 1\)（通常表示为 \(1 + k\) 或百分比，例如标准死亡率的 150% 或 200%）。

公式

对于每个保单年度 \(t = 0, 1, 2, \dots\)：
\(q_{x+t}^* = m \cdot q_{x+t} = (1+k)q_{x+t}\)

相应的调整后 1 年期生存概率为：
\(p_{x+t}^* = 1 - q_{x+t}^* = 1 - m \cdot q_{x+t}\)

多年期生存概率 \({}_kp_x^*\) 随后计算为各调整后单年生存概率的乘积：
\({}_kp_x^* = p_x^* \cdot p_{x+1}^* \dots p_{x+k-1}^* = \prod_{j=0}^{k-1} (1 - m \cdot q_{x+j})\)

边界条件：由于 \(q_{x+t}^*\) 是一个概率，它不能超过 1。当应用倍数 \(m\) 时，精算师通常将比率上限设定为 1，因此 \(q_{x+t}^* = \min(m \cdot q_{x+t}, 1)\)。


在额外风险下计算保费和保单价值

一旦确定了调整后的生存概率 \({}_tp_x^*\) 或死亡率 \(q_{x+t}^*\)，我们便可以使用标准原则来计算精算现值和保单价值：

1. 等价原则保费

对于向 \((x)\) 签发的单位保额完全离散终身寿险保单：
\(P^* = \frac{A_x^*}{\ddot{a}_x^*}\)

由于较高的死亡率会增加死亡给付的预期现值（\(A_x^* > A_x\)），并减少年金给付的预期现值（\(\ddot{a}_x^* < \ddot{a}_x\)），因此次标准风险的净保费 \(P^*\) 必然严格大于标准净保费 \(P\)。

2. 净保费保单价值（预期法）

在经过期数 \(t\) 时，净保费保单价值是使用从该点开始未来的调整后死亡率基准计算的：
\({}_tV^* = A_{x+t}^* - P^* \ddot{a}_{x+t}^*\)

请注意，如果额外风险仅适用于暂时期间（例如额外危险仅适用于前 5 年），则该期间结束后，死亡率基准将恢复为标准基准。


额外风险方法总结比较

• 年龄评级：将年龄设为 \(x + h\)。直接在标准生命表中查阅较高年龄 \(x+h\) 的数值。
• 死亡力常数增加： \(\mu_{x+t}^* = \mu_{x+t} + \phi \implies {}_tp_x^* = {}_tp_x \cdot e^{-\phi t}\)。在所有年龄层增加平坦的连续危险。
• 死亡率常数倍数： \(q_{x+t}^* = m \cdot q_{x+t}\)。成比例调整标准年死亡率，得出 \(p_{x+t}^* = 1 - m \cdot q_{x+t}\)。


考试重要提示

• 仔细核对指定方法：确保你分清了连续死亡力 \(\mu\) 的调整（方法 2）与应用于年死亡率 \(q\) 的常数倍数（方法 3）。
• 暂时性额外风险：如果题目指明申请人仅支付 \(n\) 年的额外风险附加费或仅在 \(n\) 年内面临额外死亡率，请严格仅对 \(t < n\) 进行调整；对于 \(t \ge n\)，适用标准死亡率。
• 保单价值的方向性：虽然额外风险总是会增加保费，但对保单价值的影响则取决于额外风险随着时间推移是保持水平、递增还是递减。