欢迎来到二项式树的世界！

你好！如果你正在准备 Exam FAM，你大概已经发现，估算期权价格有时就像在预测未来。虽然我们没有水晶球，但我们有更好的工具：二项式期权定价模型 (Binomial Option Pricing Model)。在本章中，我们将学习如何通过假设世界比现实简单一些，来为单一无股息资产的欧式期权定价。我们不再去处理某个时期内的无限可能性，而是假设资产价格只会往两个方向移动：上涨 (Up) 或 下跌 (Down)。如果一开始觉得这个模型很抽象，不用担心；一旦你看懂了其中的规律，它就像看地图一样简单！

1. 核心概念：步步为营

二项式模型是一个「离散时间」(discrete-time) 模型。这意味着我们将期权的寿命划分为特定的时间段（步长）。在最简单的版本，即单期模型 (Single-Period Model) 中，我们只关注今天的价格和到期日的价格。

想象一只股票价格为 \(S\)。在长度为 \(h\) 的一个周期过后，只会发生两种情况：
1. 价格上涨至 \(S_u\)（其中 \(S_u = S \times u\)）
2. 价格下跌至 \(S_d\)（其中 \(S_d = S \times d\)）

必须掌握的关键术语：
• \(u\)：「上涨因子」(up factor)（其中 \(u > 1\)）。
• \(d\)：「下跌因子」(down factor)（其中 \(0 < d < 1\)）。
• \(r\)：连续复利无风险利率。
• \(h\)：以年为单位计的时间步长（例如，如果一年为 1，且我们分为 2 步，则 \(h = 0.5\)）。

无套利条件： 为了让模型合理并避免出现无风险套利（「无中生有」的利润），无风险回报率必须严格介于下跌幅度与上涨幅度之间。对于无股息资产，这意味着：\(d < e^{rh} < u\)。

模型总结

二项式模型将资产价格变动简化为一个「分岔路口」。通过知道相关资产最终可能到达的位置，并计算期权在每种结果下的回报，我们可以进行逆向推导，找出该期权在今天的合理价格。

2. 方法一：复制投资组合 (\(\Delta\) 和 \(B\))

这是衍生工具定价的基石原理：如果两个投资组合在未来的任何可能状态下产生的回报完全相同，它们今天的价格也必须相同。

我们通过建立一个由 \(\Delta\) 股标的股票以及投资于无风险零息债券的金额 \(B\) 组成的投资组合，来复制期权的回报。无论股票上涨还是下跌，我们都让这个投资组合的价值 (\(\Delta S + B\)) 等于期权的价值。

计算公式（无股息资产）：
求股票数量 (\(\Delta\))：
\(\Delta = \frac{V_u - V_d}{S_u - S_d} = \frac{V_u - V_d}{S(u - d)}\)

求债券金额 (\(B\))：
\(B = e^{-rh} \frac{u V_d - d V_u}{u - d}\)

期权价格： \(V = \Delta S + B\)

类比： 将 \(\Delta\) 想成一个「敏感度因子」。它告诉你期权回报相对于股票价格变动的幅度。例如，如果股票价差 \(S_u - S_d\) 为 \$1，而期权价差 \(C_u - C_d\) 为 \$0.50，那么你的 \(\Delta\) 就是 0.50。

3. 方法二：风险中性定价（期望现值法）

在 Exam FAM 中，风险中性期望现值法是最常用的方法。我们对衍生工具定价时，假设投资者是风险中性的，这意味着所有资产均以无风险利率 \(r\) 增长。

步骤 1：计算风险中性概率 (\(p^*\))
在风险中性条件下，股票的预期回报率等于无风险利率：\(S e^{rh} = p^* S_u + (1 - p^*) S_d\)。解出 \(p^*\) 得：
\(p^* = \frac{e^{rh} - d}{u - d}\)

步骤 2：计算期权价值
现在，计算在 \(p^*\) 下的预期回报，并以无风险利率将其折现回今天：
\(V = e^{-rh} [p^* V_u + (1 - p^*) V_d]\)

快速回顾：
• \(V_u\) 是股票上涨时的期权回报（例如，对于看涨期权 (call)，是 \(\max(0, S_u - K)\)；对于看跌期权 (put)，是 \(\max(0, K - S_u)\)）。
• \(V_d\) 是股票下跌时的期权回报。
• 务必包含折现因子 \(e^{-rh}\)！漏掉它是考试中非常常见的错误。

4. 多期树：逐步逆向推导

如果期权一年后到期，而我们用两个 6 个月的步长 (\(h = 0.5\)) 来建模呢？我们将树扩展为两期模型。在标准的重组二项式树 (recombining binomial tree) 中，先上涨后下跌与先下跌后上涨产生的股票价格相同（\(S_{ud} = S_{du} = S \cdot u \cdot d\)）。

逆向推导过程：
1. 终端节点： 计算到期时（时间 \(2h\)）的股票价格：\(S_{uu} = S u^2\)、\(S_{ud} = S u d\) 以及 \(S_{dd} = S d^2\)。确定每个最终节点处衍生工具的回报。
2. 倒推一步至时间 \(h\)： 使用风险中性公式将每对终端价值折现回中间节点（\(V_u\) 和 \(V_d\)）：
\(V_u = e^{-rh} [p^* V_{uu} + (1 - p^*) V_{ud}]\)
\(V_d = e^{-rh} [p^* V_{ud} + (1 - p^*) V_{dd}]\)
3. 倒推一步至时间 0： 将 \(V_u\) 和 \(V_d\) 折现回今天，求出初始期权价格 \(V\)：
\(V = e^{-rh} [p^* V_u + (1 - p^*) V_d]\)

关键要点

无论树有多少步，过程都是完全相同的：计算末端叶节点的回报，并利用 \(p^*\) 和折现因子 \(e^{-rh}\) 将价值「拉」回节点 0。

5. 看跌期权及简单欧式衍生工具的定价

二项式树具有通用性：它适用于任何回报取决于到期时标的股票价格的欧式衍生工具。在 Exam FAM 的考核范围内，所有衍生工具均为单一无股息资产的欧式衍生工具。

欧式看涨期权 (Call Option)： 回报为 \(C_T = \max(0, S_T - K)\)。注意 \(\Delta = \frac{C_u - C_d}{S_u - S_d} \ge 0\)，意味着看涨期权需要买入持有股票多头（\(\Delta > 0\)）并借入资金（\(B < 0\)）。

欧式看跌期权 (Put Option)： 回报为 \(P_T = \max(0, K - S_T)\)。对于看跌期权，\(P_u \le P_d\)，因为股价下跌时看跌期权的价值更高。因此：
\(\Delta = \frac{P_u - P_d}{S_u - S_d} \le 0\)
这意味着复制看跌期权需要卖空股票（\(\Delta < 0\)）并将资金借出投资于债券（\(B > 0\)）。

看涨-看跌期权平价关系 (Put-Call Parity) 检验： 对于行权价为 \(K\)、到期时间为 \(T\) 的欧式期权，二项式模型得出的价格在每个节点都必须满足看涨-看跌期权平价关系：
\(C - P = S - K e^{-rT}\)

6. 总结与成功小贴士

\(p^*\) 记忆法：
记住「增长因子减去下跌因子，除以上涨因子减去下跌因子」：
\(p^* = \frac{e^{rh} - d}{u - d}\)
分子是增长因子 \(e^{rh}\) 减去下跌因子 \(d\)；分母是两者的价差 \(u - d\)。

解题快速检查表：
• 你计算的时间步长 \(h\) 正确吗？如果到期时间为 \(T\) 且有 \(n\) 步，则 \(h = T / n\)。
• 在 \(e^{rh}\) 和 \(e^{-rh}\) 中，你是否将年利率 \(r\) 乘以 \(h\) 了？
• 你计算的是看涨期权（\(\max(0, S - K)\)）还是看跌期权（\(\max(0, K - S)\)）？
• 你是否使用 \(e^{-rh}\) 将每个预期回报折现回了一个周期？

最后的鼓励： 二项式模型的结构清晰且规律一致。一旦你熟练掌握了节点的构建以及利用 \(p^*\) 进行逆向滚动计算，你会发现这是 Exam FAM 中最稳拿分数的题目之一。继续多加练习画树吧！