欢迎来到久期（Duration）的世界！

如果你正在准备 Exam FM，你一定已经知道，当利率上升时，债券价格就会下跌。但对于精算师和投资经理来说，最关键的问题是：价格究竟会变动多少？这正是久期（Duration）帮我们衡量的指标。

你可以把久期想象成衡量一组现金流“敏感度”或“波动性”的方法。无论你是在管理退休基金还是单纯的债券组合，理解久期都是管理利率风险的关键。别担心现在觉得这些概念有点抽象——我们会把它拆解成简单易懂的内容！

1. 麦考利久期（Macaulay Duration）：现金流的“重心”

想象你在手指上平衡一块长木板。如果木板两端有重物，“平衡点”就是重心所在。麦考利久期（\(D_{mac}\)）本质上就是一系列现金流在时间维度上的“重心”。

它是指收到所有现金流的加权平均时间。我们不是按金额大小来分配权重，而是按这些金额的现值（Present Value, PV）来分配。

公式

如果我们在时间 \(t\) 收到支付款 \(R_t\)，且年度实际利率为 \(i\)，则麦考利久期的定义为：

\(D_{mac} = \frac{\sum_{t} t \cdot R_t (1+i)^{-t}}{\sum_{t} R_t (1+i)^{-t}} = \frac{\sum_{t} t \cdot v^t \cdot R_t}{\sum_{t} v^t \cdot R_t}\)

分母 \(\sum_{t} v^t \cdot R_t\) 其实就是该资产的价格（Price, P）或现金流的现值。所以：

\(D_{mac} = \frac{\sum_{t} t \cdot PV(R_t)}{P(i)}\)

现实生活的类比

想象一个每年派发利息的 10 年期债券。你并不是等到第 10 年才拿到所有钱；你在第 1 年拿到一部分，第 2 年又拿到一部分，以此类推。麦考利久期告诉你，平均而言，你需要等待（例如）8.2 年才能收回你的投资价值。

麦考利久期的重要性质

1. 零息债券（Zero-Coupon Bonds）： 对于在 \(n\) 时刻支付的零息债券，麦考利久期刚好就是 \(n\)。这是因为只有一笔支付款，所以加权平均时间就是该支付日期！
2. 附息债券（Coupon Bonds）： 对于任何在到期前支付利息的债券，麦考利久期永远小于到期期限。
3. 利率影响： 随着利率 \(i\) 上升，麦考利久期会下降（因为未来的现金流被折现得更多，使得较早期的支付款在平均权重中占比变得更“重”）。

快速回顾： 麦考利久期 = 加权平均时间。它的单位是年（或是你设定的时间单位）。

2. 修正久期（Modified Duration）：敏感度计量器

麦考利久期告诉我们的是时间，而修正久期（\(D_{mod}\)）告诉我们的是价格敏感度。在数学上，它是根据价格函数相对于收益率 \(i\) 的一阶导数来定义的：

\(D_{mod} = -\frac{P'(i)}{P(i)}\)

麦考利久期与修正久期的关系

这两种衡量指标之间存在着直接的数学联系。对 \(P(i) = \sum R_t (1+i)^{-t}\) 进行求导可得 \(P'(i) = -\sum t \cdot R_t (1+i)^{-(t+1)} = -\frac{1}{1+i} \sum t \cdot R_t (1+i)^{-t}\)。代入定义中可得出：

\(D_{mod} = \frac{D_{mac}}{1+i} = v \cdot D_{mac}\)

注意：如果题目给出的是每年复利 \(m\) 次的名义利率，公式则变为 \(D_{mod} = \frac{D_{mac}}{1 + \frac{i^{(m)}}{m}}\)。

3. 价格变动的一阶近似（First-Order Approximations）

Exam FM 要求考生使用两种不同的一阶近似方法来估算因利率变动（\(\Delta i\)）而引起的现值变动：

方法 A：基于修正久期的一阶线性近似

使用泰勒展开式（Taylor expansion）的第一项，价格的百分比变动可近似为：

\(\frac{\Delta P}{P} \approx -D_{mod} \cdot \Delta i\)

或者以金额表示：

\(\Delta P \approx -P(i) \cdot D_{mod} \cdot \Delta i\)

\(P(i + \Delta i) \approx P(i) \cdot (1 - D_{mod} \cdot \Delta i)\)

例子： 如果一个债券的修正久期为 7，而利率上升了 0.5%（\(\Delta i = +0.005\)），那么债券价格大约会变动 \(-7 \cdot 0.005 = -3.5\%\)。

方法 B：基于麦考利久期的一阶近似

直接基于麦考利久期的年复利近似公式为：

\(P(i + \Delta i) \approx P(i) \left(\frac{1+i}{1+i+\Delta i}\right)^{D_{mac}} = P(i) \left(1 + \frac{\Delta i}{1+i}\right)^{-D_{mac}}\)

因此，近似的百分比变动为：

\(\frac{\Delta P}{P} \approx \left(1 + \frac{\Delta i}{1+i}\right)^{-D_{mac}} - 1\)

当 \(i\) 的变动较小时，两种方法得出的近似值非常接近，但请务必根据考试题目要求的具体版本作答。

4. 分步教学：如何计算久期

在 Exam FM 中，遇到任何涉及从一组现金流计算久期的题目时，请遵循以下步骤：

第 1 步： 列出所有时间 \(t\) 和现金流 \(R_t\)。
第 2 步： 使用给定的利率计算每一笔现金流的现值（PV）：\(PV(R_t) = R_t (1+i)^{-t}\)。
第 3 步： 将这些 PV 相加，算出总价格（P）。
第 4 步： 将每一笔支付款的 PV 乘以对应的时间 \(t\)，并将结果相加，得到 \(\sum t \cdot PV(R_t)\)。
第 5 步： 用第 4 步的结果除以价格。这就是你的麦考利久期 \(D_{mac}\)。
第 6 步： 如果题目要求的是修正久期，则计算 \(D_{mod} = \frac{D_{mac}}{1+i}\)。

常见错误： 许多学生最后忘记除以价格。请记住，久期是一种加权平均值，所以你必须除以总价值（即价格）。

5. 投资组合的久期

投资组合的久期是各个资产久期的加权平均值，权重为这些资产的市场价值（Market Value）（价格）：

\(D_{port} = \sum_{j} w_j \cdot D_j\)

其中 \(w_j = \frac{P_j}{P_{total}}\) 且 \(\sum w_j = 1\)。此公式同样完全适用于麦考利久期和修正久期。

例子： 你持有价值 $400 的债券 A（久期 = 3）和价值 $600 的债券 B（久期 = 8）。
总价值 = $1,000。
\(D_{port} = \left(\frac{400}{1000} \cdot 3\right) + \left(\frac{600}{1000} \cdot 8\right) = 1.2 + 4.8 = 6.0\)。

6. 总结与 SOA Exam FM 重要惯例

以下是你在考试当天必须掌握的核心要点：

1. SOA 默认惯例： 除非 Exam FM 题目中另有说明，否则“久期（duration）”一词默认指麦考利久期（而“凸性（convexity）”则默认指修正凸性）。
2. 麦考利久期 (\(D_{mac}\))： 现金流的时间加权平均：\(D_{mac} = \frac{\sum t \cdot v^t R_t}{P}\)。想成是“重心”。
3. 修正久期 (\(D_{mod}\))： 定义为 \(-\frac{P'(i)}{P(i)}\)。衡量价格敏感度。
4. 两者联系： \(D_{mod} = \frac{D_{mac}}{1+i} = v \cdot D_{mac}\)。
5. 线性近似： \(\frac{\Delta P}{P} \approx -D_{mod} \cdot \Delta i\)。
6. 麦考利近似： \(P(i + \Delta i) \approx P(i) \left(1 + \frac{\Delta i}{1+i}\right)^{-D_{mac}}\)。
7. 零息债券法则： \(n\) 年期零息债券的麦考利久期刚好就是 \(n\)。