Understand the principles of rational choice theory

精算模型中的理性選擇理論原則

歡迎來到 CM2 的理性選擇理論 (Rational Choice Theory)！在金融經濟學與精算學中，我們為經濟主體在面對不確定性與風險時如何做出最佳決策進行建模。CM2 不再局限於確定性下的簡單消費品選擇，而是專注於決策者如何透過最大化期望效用 (Expected Utility)，在不確定的金融回報與投資機會之間做出選擇。

基礎：理性公理

為了建立不確定性下決策的嚴謹數學框架，理性選擇理論假設個人對不確定前景（或稱為彩票，lotteries）的偏好滿足幾項基本公理（即馮·諾伊曼—摩根斯坦公理，von Neumann-Morgenstern axioms）：

1. 完備性 (Completeness)：對於任意兩個風險前景 \( A \) 和 \( B \)，個人總能對其進行排序：要麼 \( A \succ B \)，要麼 \( B \succ A \)，要麼 \( A \sim B \)（無差異）。
2. 傳遞性 (Transitivity)：若 \( A \succ B \) 且 \( B \succ C \)，則 \( A \succ C \)。
3. 連續性 (Continuity)：若 \( A \succ B \succ C \)，則存在某個概率 \( p \in (0, 1) \)，使得決策者在確定獲得 \( B \) 與以概率 \( p \) 獲得 \( A \) 及以概率 \( 1 - p \) 獲得 \( C \) 的彩票之間無差異。
4. 獨立性 (Independence)：若 \( A \succ B \)，則對於任意第三個前景 \( C \) 以及任意概率 \( p \in (0, 1] \)，結合 \( A \) 與 \( C \) 的彩票嚴格優於結合 \( B \) 與 \( C \) 的彩票：即 \( pA + (1-p)C \succ pB + (1-p)C \)。

期望效用定理

當個人的偏好滿足這些公理時，其行為可以用定義在財富 \( w \) 上的基數效用函數 (cardinal utility function) \( U(w) \) 來表示。根據期望效用定理 (Expected Utility Theorem)，給定一個以概率 \( p_i \) 獲得回報 \( w_i \) 的風險前景，決策者會選擇使效用期望值最大化的選項：

\( E[U(W)] = \sum_i p_i U(w_i) \)（離散情況）或 \( E[U(W)] = \int U(w) f(w) dw \)（連續情況）。

效用函數的關鍵特性

1. 非飽和性 (Non-Satiation)

理性投資者總是偏好更多財富而非較少財富。在數學上，邊際效用嚴格為正：
\( U'(w) > 0 \)

2. 對待風險的態度

個人的風險偏好取決於其效用函數的曲率（即二階導數 \( U''(w) \) 的符號）：

風險厭惡 (Risk Aversion)：投資者不喜歡風險，相對於具有相同期望回報的風險前景，更偏好確定的結果。根據真生不等式 (Jensen's Inequality)，\( E[U(W)] < U(E[W]) \)。這對應於嚴格凹 (strictly concave) 的效用函數，其中邊際效用隨財富增加而遞減：
\( U''(w) < 0 \)
風險中性 (Risk Neutrality)：投資者在風險賭局與其期望值之間無差異：\( E[U(W)] = U(E[W]) \)。這對應於線性效用函數：
\( U''(w) = 0 \)
風險追求 (Risk Seeking)：投資者相對於賭局的期望值更偏好賭局本身：\( E[U(W)] > U(E[W]) \)。這對應於嚴格凸 (strictly convex) 的效用函數：
\( U''(w) > 0 \)

風險厭惡的度量：阿羅—普拉特度量指標

為了在不受 \( U(w) \) 正線性轉換影響的情況下量化風險厭惡程度，我們使用阿羅—普拉特 (Arrow-Pratt) 度量指標：

絕對風險厭惡 (Absolute Risk Aversion, ARA)

絕對風險厭惡系數定義為：
\( A(w) = -\frac{U''(w)}{U'(w)} \)
- 絕對風險厭惡遞減 (DARA)：\( A'(w) < 0 \)。隨著個人變得更加富有，他們願意在風險資產中持有更多的絕對貨幣金額。這被廣泛認為是最符合現實的經濟行為。
- 常數絕對風險厭惡 (CARA)：\( A'(w) = 0 \)。財富的變化不會改變投資於風險資產的貨幣金額。
- 絕對風險厭惡遞增 (IARA)：\( A'(w) > 0 \)。隨著財富增加，個人會減少在風險資產中的貨幣敞口。

相對風險厭惡 (Relative Risk Aversion, RRA)

相對風險厭惡系數衡量相對於比例賭注及財富百分比的風險厭惡程度：
\( R(w) = w A(w) = -\frac{w U''(w)}{U'(w)} \)
- 常數相對風險厭惡 (CRRA)：\( R'(w) = 0 \)。隨著財富變化，個人將其財富中投資於風險資產的比例保持不變。
- 相對風險厭惡遞減／遞增 (DRRA/IRRA)：隨著財富增長，持有風險資產佔財富的比例上升／下降。

常用的效用函數

考試大綱要求熟悉標準效用函數的數學與經濟特性：

1. 二次效用函數 (Quadratic Utility)：\( U(w) = w - b w^2 \)（適用於 \( w < \frac{1}{2b} \)，\( b > 0 \)）
- 導數：\( U'(w) = 1 - 2bw > 0 \)，\( U''(w) = -2b < 0 \)
- 絕對風險厭惡：\( A(w) = \frac{2b}{1 - 2bw} \)，隨 \( w \) 增加而遞增 (IARA)。這一特性在經濟學上違反直覺，因為它意味著富人承擔的絕對金融風險反而更少。
- CM2 的核心特點：期望效用僅取決於財富的均值和方差：\( E[U(W)] = E[W] - b E[W^2] = E[W] - b(Var(W) + (E[W])^2) \)，將理性選擇直接與均值-方差投資組合組合理論 (mean-variance portfolio theory) 聯繫起來。

2. 對數效用函數 (Logarithmic Utility)：\( U(w) = \ln(w) \)（適用於 \( w > 0 \)）
- 導數：\( U'(w) = \frac{1}{w} > 0 \)，\( U''(w) = -\frac{1}{w^2} < 0 \)
- \( A(w) = \frac{1}{w} \) (DARA)
- \( R(w) = w \left(\frac{1}{w}\right) = 1 \) (CRRA)

3. 冪效用函數 (Power Utility)：\( U(w) = \frac{w^{1 - \gamma}}{1 - \gamma} \)（適用於 \( \gamma > 0, \gamma \neq 1 \)）
- 導數：\( U'(w) = w^{-\gamma} \)，\( U''(w) = -\gamma w^{-\gamma - 1} \)
- \( A(w) = \frac{\gamma}{w} \) (DARA)
- \( R(w) = \gamma \)（CRRA，其中 \( \gamma \) 為常數相對風險厭惡系數）

4. 指數效用函數 (Exponential Utility)：\( U(w) = -e^{-a w} \)（適用於 \( a > 0 \)）
- 導數：\( U'(w) = a e^{-aw} \)，\( U''(w) = -a^2 e^{-aw} \)
- \( A(w) = a \)（CARA，常數絕對風險厭惡）
- \( R(w) = a w \) (IRRA)

當前財富與狀態依賴效用

個人的當前初始財富 \( w_0 \) 會沿著效用曲線平移評估點。如果一項投資帶來回報 \( X \)，則最終總財富為 \( W = w_0 + X \)，投資者會最大化 \( E[U(w_0 + X)] \)。在 DARA 條件下，\( w_0 \) 的增加會讓投資者更願意接受給定的賭局。

在標準效用理論中，效用僅取決於最終財富。然而，在狀態依賴效用 (state-dependent utility) 下，效用函數本身會隨外部自然狀態而改變：\( U(w, s) \)。例如，在健康狀況不佳或經濟蕭條的狀態下獲得的賠償，其邊際效用可能高於在繁榮狀態下獲得的相同賠償。

精算應用：保險與投資

1. 評估投資機會

為了比較兩個風險資產 \( X \) 和 \( Y \)，投資者會計算 \( E[U(w_0 + X)] \) 與 \( E[U(w_0 + Y)] \)，並選擇期望效用較高的一個。確定性等價 (certainty equivalent) \( C \) 是指使 \( U(C) = E[U(W)] \) 成立的確定財富金額。兩者之差 \( E[W] - C \) 代表投資者的風險溢價 (risk premium)。

2. 分析簡單保險問題

考慮一個擁有初始財富 \( w \) 的個人，面臨以概率 \( p \) 發生的潛在損失 \( L \)。若保險公司提供全額保險，保費為 \( P \)：
- 未投保時的期望效用：\( E[U_{no\_ins}] = (1 - p) U(w) + p U(w - L) \)
- 投保時的效用：\( U_{ins} = U(w - P) \)
對於風險厭惡的個人（\( U'' < 0 \)），真生不等式確保他們願意支付的最高保費 \( P_{max} > pL \)（即嚴格大於公平保費的保費），以消除風險。

總結摘要框

CM2 核心要點：
- 理性主體以最大化期望效用 \( E[U(W)] \) 為行動目標。
- 非飽和性： \( U'(w) > 0 \)；風險厭惡： \( U''(w) < 0 \)。
- 阿羅—普拉特度量指標： 絕對 \( A(w) = -\frac{U''(w)}{U'(w)} \) 及 相對 \( R(w) = -\frac{w U''(w)}{U'(w)} \)。
- 二次效用： IARA，僅取決於均值與方差。
- 指數效用： CARA。
- 冪效用與對數效用： DARA 與 CRRA。
- 保險： 風險厭惡的個人願意支付高於期望損失的保費以獲得確定性。