歡迎來到生存模型的世界！

你好！歡迎來到你 CS2 之旅中最基礎的章節之一。在本章中，我們將學習如何為「事件」發生的時間進行建模。在精算學中，我們通常關注人類的生死，但這些原理同樣適用於機器零件損壞、貸款違約或理賠進展 (claims run-off)。不用擔心數學看起來很深奧——我們會一步步把它拆解！

未來壽命隨機變數

考慮一個今天剛好 x 歲的人。由於未來壽命是未知的，我們用一個連續隨機變數來表示其剩餘壽命，記為 \( T_x \)。

• \( T_x \) 是一個 \( x \) 歲的人的未來壽命。例如，如果一個 30 歲的人活到 75 歲去世，那麼 \( T_{30} = 45 \)。
• 去世時的年齡為隨機變數 \( X = x + T_x \)。

一致性條件

一個 \( x \) 歲的人能活到 \( x + t + s \) 歲，若且唯若他們首先存活到 \( x + t \) 歲，然後從 \( x + t \) 歲起再多活 \( s \) 年。這引出了聯繫不同年齡壽命隨機變數的基本一致性條件 (consistency condition)：
\( P(T_x > t + s) = P(T_x > t) \cdot P(T_x > t + s \mid T_x > t) = P(T_x > t) \cdot P(T_{x+t} > s) \)
在精算符號中，這可以簡潔地表示為：
\( {}_{t+s}p_x = {}_tp_x \cdot {}_sp_{x+t} \)

生存函數、分佈函數與密度函數

精算數學使用專門的符號來描述 \( T_x \) 的分佈：

1. 生存函數：\( S_x(t) \) 或 \( {}_tp_x \)

生存函數給出了一個 \( x \) 歲的人至少再多活 \( t \) 年的機率：
\( {}_tp_x = S_x(t) = P(T_x > t) \)
• 在 \( t = 0 \) 時，\( {}_0p_x = 1 \)。
• 當 \( t \to \infty \) 時，\( {}_tp_x \to 0 \)。
• 當 \( t = 1 \) 時，我們通常記作 \( p_x \) 而非 \( {}_1p_x \)。

2. 累積累積函數：\( F_x(t) \) 或 \( {}_tq_x \)

這是生存的補數——即一個 \( x \) 歲的人在 \( t \) 年內去世的機率：
\( {}_tq_x = F_x(t) = P(T_x \le t) = 1 - {}_tp_x \)
當 \( t = 1 \) 時，我們寫作 \( q_x \)。

3. 機率密度函數：\( f_x(t) \)

對分佈函數求導可得出未來壽命的機率密度函數 (PDF)：
\( f_x(t) = \frac{d}{dt} F_x(t) = -\frac{d}{dt} {}_tp_x \)

死亡力（危險率）：\( \mu_{x+t} \)

在年齡 \( x + t \) 的死亡力 (Force of Mortality)，記為 \( \mu_{x+t} \)，是活到該年齡的人的瞬時死亡率：
\( \mu_{x+t} = \lim_{dt \to 0^+} \frac{P(t < T_x \le t + dt \mid T_x > t)}{dt} = \frac{f_x(t)}{{}_tp_x} = -\frac{1}{{}_tp_x}\frac{d}{dt} {}_tp_x = -\frac{d}{dt} \ln({}_tp_x) \)

將兩邊從 \( 0 \) 到 \( t \) 進行積分，可得出基本關係式：
\( {}_tp_x = \exp\left( -\int_0^t \mu_{x+s}\,ds \right) \)

機率與密度的積分公式

從這些關係中，我們可以得出經常在考試中測驗的關鍵積分表達式：
• 密度函數：\( f_x(t) = {}_tp_x \mu_{x+t} \)
• 死亡機率：\( {}_tq_x = \int_0^t f_x(s)\,ds = \int_0^t {}_sp_x \mu_{x+s}\,ds \)
• 在年齡 \( x + t \) 與 \( x + t + u \) 之間死亡的機率：\( {}_{t|u}q_x = {}_tp_x - {}_{t+u}p_x = \int_t^{t+u} {}_sp_x \mu_{x+s}\,ds \)

著名死亡律

在標準計算生命表普及之前，精算師設計了參數模型來描述死亡力隨年齡的變化。課程大綱要求你掌握兩種經典定律：

• 高珀茨定律 (Gompertz Law)： 假設死亡力由於衰老隨年齡呈指數增長：
\( \mu_x = B c^x \quad (B > 0, c > 1) \)
• 麥克漢姆定律 (Makeham Law)： 增加了一個與年齡無關的基準風險，代表意外死亡：
\( \mu_x = A + B c^x \quad (A \ge -B, B > 0, c > 1) \)

截尾未來壽命：\( K_x \)

在人壽保險和退休金計劃中，保險金和保費通常是按年支付的。因此，精算師定義了截尾未來壽命 (curtate future lifetime) \( K_x \)，作為一個 \( x \) 歲的人在去世前度過的完整年數：
\( K_x = \lfloor T_x \rfloor \)
與 \( T_x \) 不同，\( K_x \) 是一個離散 (Discrete) 隨機變數，取非負整數值 \( k \in \{0, 1, 2, \dots\} \)。

\( K_x \) 的機率函數

一個 \( x \) 歲的人剛好度過 \( k \) 個完整年歲並在第 \( (k+1) \) 年內去世的機率為：
\( P(K_x = k) = P(k \le T_x < k + 1) = {}_kp_x - {}_{k+1}p_x = {}_kp_x \cdot q_{x+k} = {}_k|q_x \)

未來壽命的期望值與方差

1. 完全預期壽命：\( \mathring{e}_x \)

完全預期壽命 (Complete Expectation of Life) 是連續未來壽命 \( T_x \) 的期望值：
\( \mathring{e}_x = E[T_x] = \int_0^\infty t f_x(t)\,dt = \int_0^\infty {}_tp_x\,dt \)
二階動差 (Second moment) 為：
\( E[T_x^2] = \int_0^\infty t^2 f_x(t)\,dt = 2 \int_0^\infty t\,{}_tp_x\,dt \)
方差透過 \( \text{Var}(T_x) = E[T_x^2] - (\mathring{e}_x)^2 \) 計算得出。

2. 截尾預期壽命：\( e_x \)

截尾預期壽命 (Curtate Expectation of Life) 是 \( K_x \) 的期望值：
\( e_x = E[K_x] = \sum_{k=0}^\infty k P(K_x = k) = \sum_{k=1}^\infty {}_kp_x \)
二階動差為：
\( E[K_x^2] = \sum_{k=1}^\infty k^2 P(K_x = k) = \sum_{k=1}^\infty (2k - 1)\,{}_kp_x \)
方差為 \( \text{Var}(K_x) = E[K_x^2] - (e_x)^2 \)。

3. \( \mathring{e}_x \) 與 \( e_x \) 之間的關係

假設在每個年齡區間內死亡均勻分佈 (UDD)，死亡平均發生在該年齡的中點，從而得出標準近似公式：
\( \mathring{e}_x \approx e_x + \frac{1}{2} \)

雙狀態單減損模型 vs. 隨機壽命模型

生存模型可以透過兩種不同的數學方式進行概念化：

• 隨機壽命模型 (Random Lifetime Model)： 將生存表述為死亡前的時間 \( T_x \)，作為 \( [0, \infty) \) 上的連續隨機變數，由其生存函數 \( S_x(t) \) 或危險函數 \( \mu_{x+t} \) 來刻畫。
• 雙狀態馬可夫模型 (Two-State Markov Model)： 將該過程表述為連續時間馬可夫過程 \( \{Y_t\}_{t \ge 0} \)，狀態空間為 \( S = \{\text{Alive}, \text{Dead}\} \)，其中「死亡 (Dead)」狀態為吸收狀態，在年齡 \( x + t \) 從「存活 (Alive)」轉移到「死亡」的轉移強度為 \( \mu_{x+t} \)。

比較： 兩種表述方式會產生相同的生存和死亡機率：\( P(Y_t = \text{Alive} \mid Y_0 = \text{Alive}) = {}_tp_x = \exp\left(-\int_0^t \mu_{x+s}\,ds\right) \)。然而，雙狀態馬可夫框架很容易擴展到多狀態模型（例如健康–患病–死亡、殘疾或嚴重疾病）和多重減損 (multiple decrements)，而隨機壽命模型則直接側重於單一減損中持續時間的分佈。