歡迎來到調整（Graduation）的世界！

在精算工作中，我們經常處理原始死亡率或轉移數據。當我們觀察原始（粗略）利率時，由於抽樣雜訊、暴露數較少或意外事件的影響，這些數據在不同年齡之間往往會隨機上下波動。但在現實世界中，我們預期背後的生物學死亡率會隨著年齡增長呈現相對平滑的趨勢。

調整（Graduation） 簡單來說，就是將這些「凹凸不平」的原始利率進行平滑處理，從而得出一組具規律性、可靠且適用於定價、準備金評估及財務預測的轉移強度或機率。

在本章中，我們將探討為什麼要對數據進行調整、課程大綱規定的三種調整方法、如何檢定平滑度，以及用於評估對數據擬合度和檢測偏差的一系列統計檢定。

1. 為什麼要進行調整？

如果我們的原始樣本顯示 50 歲人群的死亡率是 51 歲人群的兩倍，而這僅僅是因為在較小的樣本中出現了幾宗意外身故，那麼基於這些粗略利率進行合約定價將會導致保費大幅波動並造成商業扭曲。

我們對粗略估計值進行調整主要有三個原因：

1. 消除隨機抽樣波動： 原始數據充滿了掩蓋背後真實形態的「雜訊」。
2. 確保規律性與平滑度： 利率應在各年齡之間符合邏輯地變動（例如：成年人口的死亡率通常隨年齡增長而上升），從而確保計算出的保費和準備金規律遞增。
3. 估計數據稀疏年齡段的利率： 平滑處理允許我們對觀測數據稀疏或缺失的年齡段進行內插估計。

平衡的藝術：擬合度（Fit）與平滑度（Smoothness）

調整數據涉及兩個相互競爭的準則之間的根本權衡：

• 對數據的擬合（Goodness of Fit）： 調整後的曲線應緊貼觀測到的原始利率，而不扭曲潛在的水平。
• 平滑度（Smoothness）： 相鄰年齡之間利率的變化應當平緩，且不存在不規則的轉折或劇烈的震盪。

比喻： 用直線段連接圖表上的每一個觀測點可以達到 100% 的擬合度，但平滑度卻是 0%。一條完全水平的直線具備 100% 的平滑度，但擬合度極差。成功的調整是在兩者之間取得最佳平衡。

2. 調整的方法

CS2 課程大綱指定了三種主要的調整方法。請注意：根據大綱目標 4.5，考生在考試中無需實際執行調整計算，但必須掌握每種方法的流程、原理以及優缺點。

A. 參數公式調整法（Parametric Formula）

我們在整個年齡區間內，用數學曲線擬合原始轉移強度或死亡率，例如 Gompertz 定律（ \( \mu_x = B c^x \) ）、Makeham 定律（ \( \mu_x = A + B c^x \) ）或多項式公式。
• 優點： 產生的利率天生平滑；便於儲存及編寫程式；易於計算精算函數。
• 缺點： 缺乏彈性；如果人群的真實死亡率形態在特定年齡段偏離了所選公式，擬合效果將會很差。

B. 參照標準表法（Reference to a Standard Table）

我們選取一個已建立且獲廣泛認可的標準死亡率表，並使用簡單的數學關聯函數對其進行微調以適應我們的具體經驗，例如線性轉換（ \( \mathring{q}_x = a + b q_x^s \) ）或 Logit 轉換（ \( \text{logit}(\mathring{q}_x) = \alpha + \beta \, \text{logit}(q_x^s) \) ）。
• 優點： 在數據集較小時非常有效，因為僅靠粗略數據無法確定死亡率曲線的形狀；可從可靠的人群中「借用」真實的生物學形態。
• 缺點： 受限於所選標準表的形態；如果不存在合適的標準表則不適用。

C. 樣條函數法（Spline Functions）

樣條函數將年齡區間劃分為數個由邊界點（稱為節點 (Knots)）分隔的子區間，並對每個子區間擬合低階多項式（通常為三次樣條），同時約束曲線及其一階和二階導數在節點處保持連續。
• 優點： 高度靈活；能夠在局部擬合複雜、非標準的死亡率形態，而不會在其他年齡區間引起不必要的波動。
• 缺點： 節點數量和位置的選擇可能具主觀性；設置過多節點會導致過度擬合（過度複製隨機雜訊）。

3. 平滑度檢定

平滑度是調整後利率本身的固有屬性，獨立於觀測數據之外。

• 有限差分（Finite Differences）： 檢定平滑度的標準方法是計算調整後利率的逐次差分，尤其是三階差分（ \( \Delta^3 \mathring{q}_x \) ）。
• 平滑度準則： 三階差分的數值應較小，隨年齡平穩變化，並避免頻繁的正負號交替。如果三階差分序列出現劇烈跳躍，則表示缺乏平滑度。

4. 擬合度與偏差的統計檢定

當得出調整後的利率後，我們需要檢定調整後的利率（ \( \mathring{q}_x \) 或 \( \mathring{\mu}_x \) ）是否與粗略數據充分吻合、是否存在系統性偏差，以及是否符合真實的潛在趨勢。設 \( d_x \) 為觀測死亡人數， \( E_x \) 為初始暴險數，而 \( \hat{d}_x = E_x \mathring{q}_x \) 為調整後利率下的預期死亡人數。

在年齡 \( x \) 處的標準化偏差（殘差）為：
\( z_x = \frac{d_x - E_x \mathring{q}_x}{\sqrt{E_x \mathring{q}_x (1 - \mathring{q}_x)}} \approx \frac{d_x - \hat{d}_x}{\sqrt{\text{Var}(d_x)}} \)

A. 卡方（ \( \chi^2 \) ）檢定（整體擬合檢定）

檢定所有 \( m \) 個年齡段的整體擬合情況。
• 檢定統計量： \( \sum_{x} z_x^2 = \sum_{x} \frac{(d_x - E_x \mathring{q}_x)^2}{E_x \mathring{q}_x (1 - \mathring{q}_x)} \sim \chi_k^2 \)
• 自由度： \( k = m - p \) ，其中 \( m \) 為年齡組數， \( p \) 為調整過程中所估計的參數數量（當直接與標準表比較且未從數據中估計參數時， \( p = 0 \) ）。
• 應用： 若統計量超過 \( \chi_k^2 \) 的上臨界值，則拒絕 \( H_0 \) （代表整體擬合欠佳）。

B. 標準化偏差檢定（個別離群值檢定）

檢定個別偏差是否符合標準常態分佈特徵 \( z_x \sim N(0, 1) \) 。
• 應用： 我們檢查是否約有 68% 的 \( z_x \) 落在 \( (-1, 1) \) 內，95% 落在 \( (-2, 2) \) 內，且幾乎全部落在 \( (-3, 3) \) 內。若出現單一的 \( |z_x| > 3 \) ，則表明該特定年齡段存在嚴重擬合不佳的離群情況。

C. 累積偏差檢定（整體偏差檢定）

檢定整個年齡區間是否存在整體偏差（調整後的利率是否系統性地高估或低估了總死亡人數）。
• 檢定統計量： \( \frac{\sum (d_x - \hat{d}_x)}{\sqrt{\sum \text{Var}(d_x)}} \sim N(0, 1) \)
• 應用： 雙尾常態檢定。絕對值較大的正值或負值表明調整存在持續的系統性偏差。

D. 符號檢定（方向偏差頻率檢定）

計算 \( m \) 個年齡段中正偏差的次數 \( P \) 。
• 分佈： 在 \( H_0 \) （高估與低估的機率相等）下， \( P \sim \text{Binomial}(m, 0.5) \) （當 \( m \) 較大時可採用常態近似）。
• 應用： 檢測某一符號出現的次數是否顯著多於隨機預期。

E. 符號分組檢定（局部偏差遊程檢定）

檢定正號和負號是否聚集形成長遊程，這代表調整曲線切入數據且未能捕捉到真實的局部形態。
• 應用： 計算正遊程的數量 \( G \) 。將 \( G \) 與 Steven-Dodd 分佈臨界值或常態近似值進行比較。遊程過少表明存在局部偏差（符號聚集）。

F. 序列相關檢定（形態一致性／自相關檢定）

檢定相鄰殘差之間是否存在自相關，這揭示了調整曲線是否系統性地圍繞粗略數據扭曲。
• 檢定統計量： 樣本一階自相關係數 \( r_1 = \frac{\sum_{j=1}^{m-1} (z_j - \bar{z})(z_{j+1} - \bar{z})}{\sum_{j=1}^m (z_j - \bar{z})^2} \)
• 分佈： 對於較大的 \( m \) ， \( r_1 \sqrt{m} \sim N(0, 1) \) 。
• 應用： 顯著為正的 \( r_1 \) 表示存在正序列相關（年齡 \( x+1 \) 的偏差反映了年齡 \( x \) 的偏差）。

5. 針對重複保單調整擬合度檢定

在人壽保險及退休金數據集中，單一個人可能持有數張保單。如果某位被保人身故，將同時引發多宗理賠，這違反了保單死亡之間相互獨立的假設。

• 對變異數的影響： 雖然預期死亡人數保持不變（ \( E[d_x] = \hat{d}_x \) ），但觀測死亡人數的變異數會膨脹一個因子 \( r_x > 1 \) ：
\( \text{Var}(d_x) = r_x \cdot E_x \mathring{q}_x (1 - \mathring{q}_x) \)
其中 \( r_x = \frac{\sum k^2 n_k}{\sum k n_k} \) 為每名被保人的保單數量分佈之二階矩與一階矩的比率。
• 檢定統計量的調整： 如果忽略重複保單，卡方和個別標準化偏差等檢定統計量將被不實放大，導致錯誤拒絕本來合理的調整方案。修正檢定時，應將 \( \chi^2 \) 除以 \( r \) ，並將標準化偏差除以 \( \sqrt{r} \) 。

6. 檢定總覽一覽表

1. 三階差分： 檢定調整曲線本身的平滑度。
2. 卡方檢定： 檢定所有年齡段的整體擬合度（扣除損失的自由度）。
3. 累積偏差： 檢定淨整體方向性偏差。
4. 符號檢定： 檢定正負殘差比例中的方向性偏差。
5. 符號分組： 檢定相同符號的遊程，以檢測局部形態失真。
6. 序列相關： 檢定相鄰偏差之間的一階滯後相關性。
7. 標準化偏差： 檢定單一年齡段不可接受的擬合情況（離群值）。