Understand the principles of rational choice theory

精算模型中的理性选择理论原则

欢迎来到 CM2 的理性选择理论 (Rational Choice Theory)！在金融经济学与精算学中，我们为经济主体在面对不确定性与风险时如何做出最佳决策进行建模。CM2 不再局限于确定性下的简单消费品选择，而是专注于决策者如何通过最大化期望效用 (Expected Utility)，在不确定的金融回报与投资机会之间做出选择。

基础：理性公理

为了建立不确定性下决策的严谨数学框架，理性选择理论假设个人对不确定前景（或称为彩票，lotteries）的偏好满足几项基本公理（即冯·诺伊曼—摩根斯坦公理，von Neumann-Morgenstern axioms）：

1. 完备性 (Completeness)：对于任意两个风险前景 \( A \) 和 \( B \)，个人总能对其进行排序：要么 \( A \succ B \)，要么 \( B \succ A \)，要么 \( A \sim B \)（无差异）。
2. 传递性 (Transitivity)：若 \( A \succ B \) 且 \( B \succ C \)，则 \( A \succ C \)。
3. 连续性 (Continuity)：若 \( A \succ B \succ C \)，则存在某个概率 \( p \in (0, 1) \)，使得决策者在确定获得 \( B \) 与以概率 \( p \) 获得 \( A \) 及以概率 \( 1 - p \) 获得 \( C \) 的彩票之间无差异。
4. 独立性 (Independence)：若 \( A \succ B \)，则对于任意第三个前景 \( C \) 以及任意概率 \( p \in (0, 1] \)，结合 \( A \) 与 \( C \) 的彩票严格优于结合 \( B \) 与 \( C \) 的彩票：即 \( pA + (1-p)C \succ pB + (1-p)C \)。

期望效用定理

当个人的偏好满足这些公理时，其行为可以用定义在财富 \( w \) 上的基数效用函数 (cardinal utility function) \( U(w) \) 来表示。根据期望效用定理 (Expected Utility Theorem)，给定一个以概率 \( p_i \) 获得回报 \( w_i \) 的风险前景，决策者会选择使效用期望值最大化的选项：

\( E[U(W)] = \sum_i p_i U(w_i) \)（离散情况）或 \( E[U(W)] = \int U(w) f(w) dw \)（连续情况）。

效用函数的关键特性

1. 非饱和性 (Non-Satiation)

理性投资者总是偏好更多财富而非较少财富。在数学上，边际效用严格为正：
\( U'(w) > 0 \)

2. 对待风险的态度

个人的风险偏好取决于其效用函数的曲率（即二阶导数 \( U''(w) \) 的符号）：

风险厌恶 (Risk Aversion)：投资者不喜欢风险，相对于具有相同期望回报的风险前景，更偏好确定的结果。根据琴生不等式 (Jensen's Inequality)，\( E[U(W)] < U(E[W]) \)。这对应于严格凹 (strictly concave) 的效用函数，其中边际效用随财富增加而递减：
\( U''(w) < 0 \)
风险中性 (Risk Neutrality)：投资者在风险赌局与其期望值之间无差异：\( E[U(W)] = U(E[W]) \)。这对应于线性效用函数：
\( U''(w) = 0 \)
风险追求 (Risk Seeking)：投资者相对于赌局的期望值更偏好赌局本身：\( E[U(W)] > U(E[W]) \)。这对应于严格凸 (strictly convex) 的效用函数：
\( U''(w) > 0 \)

风险厌恶的度量：阿罗—普拉特度量指标

为了在不受 \( U(w) \) 正线性变换影响的情况下量化风险厌恶程度，我们使用阿罗—普拉特 (Arrow-Pratt) 度量指标：

绝对风险厌恶 (Absolute Risk Aversion, ARA)

绝对风险厌恶系数定义为：
\( A(w) = -\frac{U''(w)}{U'(w)} \)
- 绝对风险厌恶递减 (DARA)：\( A'(w) < 0 \)。随着个人变得更加富有，他们愿意在风险资产中持有更多的绝对货币金额。这被广泛认为是最符合现实的经济行为。
- 常数绝对风险厌恶 (CARA)：\( A'(w) = 0 \)。财富的变化不会改变投资于风险资产的货币金额。
- 绝对风险厌恶递增 (IARA)：\( A'(w) > 0 \)。随着财富增加，个人会减少在风险资产中的货币敞口。

相对风险厌恶 (Relative Risk Aversion, RRA)

相对风险厌恶系数衡量相对于比例赌注及财富百分比的风险厌恶程度：
\( R(w) = w A(w) = -\frac{w U''(w)}{U'(w)} \)
- 常数相对风险厌恶 (CRRA)：\( R'(w) = 0 \)。随着财富变化，个人将其财富中投资于风险资产的比例保持不变。
- 相对风险厌恶递减／递增 (DRRA/IRRA)：随着财富增长，持有风险资产占财富的比例上升／下降。

常用的效用函数

考试大纲要求熟悉标准效用函数的数学与经济特性：

1. 二次效用函数 (Quadratic Utility)：\( U(w) = w - b w^2 \)（适用于 \( w < \frac{1}{2b} \)，\( b > 0 \)）
- 导数：\( U'(w) = 1 - 2bw > 0 \)，\( U''(w) = -2b < 0 \)
- 绝对风险厌恶：\( A(w) = \frac{2b}{1 - 2bw} \)，随 \( w \) 增加而递增 (IARA)。这一特性在经济学上违反直觉，因为它意味着富人承担的绝对金融风险反而更少。
- CM2 的核心特点：期望效用仅取决于财富的均值和方差：\( E[U(W)] = E[W] - b E[W^2] = E[W] - b(Var(W) + (E[W])^2) \)，将理性选择直接与均值-方差资产组合理论 (mean-variance portfolio theory) 联系起来。

2. 对数效用函数 (Logarithmic Utility)：\( U(w) = \ln(w) \)（适用于 \( w > 0 \)）
- 导数：\( U'(w) = \frac{1}{w} > 0 \)，\( U''(w) = -\frac{1}{w^2} < 0 \)
- \( A(w) = \frac{1}{w} \) (DARA)
- \( R(w) = w \left(\frac{1}{w}\right) = 1 \) (CRRA)

3. 幂效用函数 (Power Utility)：\( U(w) = \frac{w^{1 - \gamma}}{1 - \gamma} \)（适用于 \( \gamma > 0, \gamma \neq 1 \)）
- 导数：\( U'(w) = w^{-\gamma} \)，\( U''(w) = -\gamma w^{-\gamma - 1} \)
- \( A(w) = \frac{\gamma}{w} \) (DARA)
- \( R(w) = \gamma \)（CRRA，其中 \( \gamma \) 为常数相对风险厌恶系数）

4. 指数效用函数 (Exponential Utility)：\( U(w) = -e^{-a w} \)（适用于 \( a > 0 \)）
- 导数：\( U'(w) = a e^{-aw} \)，\( U''(w) = -a^2 e^{-aw} \)
- \( A(w) = a \)（CARA，常数绝对风险厌恶）
- \( R(w) = a w \) (IRRA)

当前财富与状态依赖效用

个人的当前初始财富 \( w_0 \) 会沿着效用曲线平移评估点。如果一项投资带来回报 \( X \)，则最终总财富为 \( W = w_0 + X \)，投资者会最大化 \( E[U(w_0 + X)] \)。在 DARA 条件下，\( w_0 \) 的增加会让投资者更愿意接受给定的赌局。

在标准效用理论中，效用仅取决于最终财富。然而，在状态依赖效用 (state-dependent utility) 下，效用函数本身会随外部自然状态而改变：\( U(w, s) \)。例如，在健康状况不佳或经济萧条的状态下获得的赔偿，其边际效用可能高于在繁荣状态下获得的相同赔偿。

精算应用：保险与投资

1. 评估投资机会

为了比较两个风险资产 \( X \) 和 \( Y \)，投资者会计算 \( E[U(w_0 + X)] \) 与 \( E[U(w_0 + Y)] \)，并选择期望效用较高的一个。确定性等价 (certainty equivalent) \( C \) 是指使 \( U(C) = E[U(W)] \) 成立的确定财富金额。两者之差 \( E[W] - C \) 代表投资者的风险溢价 (risk premium)。

2. 分析简单保险问题

考虑一个拥有初始财富 \( w \) 的个人，面临以概率 \( p \) 发生的潜在损失 \( L \)。若保险公司提供全额保险，保费为 \( P \)：
- 未投保时的期望效用：\( E[U_{no\_ins}] = (1 - p) U(w) + p U(w - L) \)
- 投保时的效用：\( U_{ins} = U(w - P) \)
对于风险厌恶的个人（\( U'' < 0 \)），琴生不等式确保他们愿意支付的最高保费 \( P_{max} > pL \)（即严格大于公平保费的保费），以消除风险。

总结摘要框

CM2 核心要点：
- 理性主体以最大化期望效用 \( E[U(W)] \) 为行动目标。
- 非饱和性： \( U'(w) > 0 \)；风险厌恶： \( U''(w) < 0 \)。
- 阿罗—普拉特度量指标： 绝对 \( A(w) = -\frac{U''(w)}{U'(w)} \) 及 相对 \( R(w) = -\frac{w U''(w)}{U'(w)} \)。
- 二次效用： IARA，仅取决于均值与方差。
- 指数效用： CARA。
- 幂效用与对数效用： DARA 与 CRRA。
- 保险： 风险厌恶的个人愿意支付高于期望损失的保费以获得确定性。